2024-2025学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的展开式的第4项的系数是
A．B．C．D．
2．下列命题中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．《哪吒之魔童闹海》《唐探1990》《熊出没重启未来》三部贺岁片引爆了2025年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小王和他的5位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有
A．种B．种C．种D．种
4．已知随机事件，，，，，则
A．B．C．D．
5．函数，，的最小值为
A．B．0C．D．3
6．函数在，上存在单调递增区间，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论不正确的是
A．
B．第2025行所有数字之和为
C．第12行从左到右第3个数与第4个数之比为
D．第2025行从左到右第1014个数比该行其他数都大
8．已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为
A．，，B．
C．D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.）
（多选）9．已知，则下列等式正确的是
A．
B．
C．
D．
（多选）10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列命题正确的是
A．若五位同学排队，甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有24种
B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有30种
C．若五位同学排队，甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队（不必相邻），则不同的排法有60种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学至少到一个社区，则不同的分配方案有36种
（多选）11．已知的零点为，的零点为，则
A．B．
C．D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.）
12．在的展开式中，项的系数为 ．
13．已知f（x）＝2f（2﹣x）+x2﹣lnx，则f（x）在点x＝1处的导数为 ．
14．已知直线是曲线与的公切线，则 ．
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于46．
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项．
16．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，甲、乙、丙的正品率分别为0.95、0.90、0.96，甲、乙、丙生产该产品所占比例分别为，将三家产品混放在一起．
（1）任取一件产品，计算它是次品的概率；
（2）现取到一件产品为次品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？说明理由．
17．已知函数在处有极值．
（1）求的极值；
（2）若在区间，上有三个零点，求的取值范围．
18．（17分）已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若任意的，，，，求的取值范围．
19．（17分）已知函数在点，（1）处的切线经过点．
（1）求的值；
（2）若有两个零点，，求证：．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）
1．的展开式的第4项的系数是
A．B．C．D．
【答案】
解：二项式的展开式的通项公式为，，1，，8，
令，则第4项的系数为．
故选：．
2．下列命题中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】
解：，错误；
，错误；
，错误；
，正确．
故选：．
3．《哪吒之魔童闹海》《唐探1990》《熊出没重启未来》三部贺岁片引爆了2025年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小王和他的5位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有
A．种B．种C．种D．种
【答案】
解：小王和他的5位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有种．
故选：．
4．已知随机事件，，，，，则
A．B．C．D．
【答案】
解：根据题意，（A），（B），，
故（B），
．
故选：．
5．函数，，的最小值为
A．B．0C．D．3
【答案】
解：对求导，得，
令，解得或，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
，时，，单调递增，
；
；
（1）；
（2），
综上所述最小值为0．
故选：．
6．函数在，上存在单调递增区间，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
解：函数在，上存在单调递增区间，
，，使得有解，
即，，使得成立，即当，时，，
令，则，
令，得，
当，时，，当，时，，
当时，取得极小值，也是最小值，即当，时，（2），
．
故选：．
7．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论不正确的是
A．
B．第2025行所有数字之和为
C．第12行从左到右第3个数与第4个数之比为
D．第2025行从左到右第1014个数比该行其他数都大
【答案】
解：对于，，
即正确；
对于，第2025行所有数字之和为，
即正确；
对于，第12行从左到右第3个数与第4个数之比为，
即正确；
对于，第2025行共2026个数，
由组合数的性质可得：从左到右第1013个数与第1014个数相等且比该行其他数都大，
即错误．
故选：．
8．已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为
A．，，B．
C．D．
【答案】
解：令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又是定义在上的偶函数，且也是定义在上的偶函数，
是定义在上的偶函数，
不等式可等价转化为（2），
即（2），
，
解得或．
故选：．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.）
（多选）9．已知，则下列等式正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
解：对于，，故错误；
对于，，
，故正确；
对于，，故正确；
对于，
，
故正确．
故选：．
（多选）10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列命题正确的是
A．若五位同学排队，甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有24种
B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有30种
C．若五位同学排队，甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队（不必相邻），则不同的排法有60种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学至少到一个社区，则不同的分配方案有36种
【答案】
解：对于，若五位同学排队，甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，
则不同的排法有种；
即正确；
对于，若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
则不同的排法共有种；
即错误；
对于，若五位同学排队，甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队（不必相邻），
则不同的排法有种，
即错误；
对于，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学至少到一个社区，
则不同的分配方案有种，
即正确．
故选：．
（多选）11．已知的零点为，的零点为，则
A．B．
C．D．
【答案】
解：因为是定义在上的增函数，且的零点为，
所以方程存在唯一实数根，满足，
在上为增函数，且方程存在唯一实数根，
对于，用代换，可得，
所以，可得，故项正确；
根据是定义在上的增函数，
因为，所以，
结合（1），可得，，
根据（2），（3），可得，
由，，可得，所以项正确；
根据，，，可得，所以项不正确；
根据基本不等式，可得，
结合、不相等，可知以上不等式的等号不成立，故，所以项正确．
故选：．
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.）
12．在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】．
解：由多项式，即为，
要得到项，结合组合的运算，可得项为：
，
所以项的系数为．
故答案为：．
13．已知f（x）＝2f（2﹣x）+x2﹣lnx，则f（x）在点x＝1处的导数为 ．
【答案】．
解：f（x）＝2f（2﹣x）+x2﹣lnx，
则f'（x）＝﹣2f'（2﹣x）+2x﹣，
故f'（1）＝﹣2f'（1）+2﹣1，解得f'（1）＝．
故答案为：．
14．已知直线是曲线与的公切线，则 1 ．
【答案】1．
解：因为与的导数分别为与，
设直线与曲线，分别切于点，，
所以，
所以，所以．
故答案为：1．
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于46．
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项．
【答案】（1）512；（2）18．
解：（1）前三项的二项式系数和为，
解得，
所以的展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式的通项公式为：
，，1，，9，
令，解得，
故展开式中的常数项为．
16．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，甲、乙、丙的正品率分别为0.95、0.90、0.96，甲、乙、丙生产该产品所占比例分别为，将三家产品混放在一起．
（1）任取一件产品，计算它是次品的概率；
（2）现取到一件产品为次品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？说明理由．
【答案】（1）0.06；（2）次品来自乙广的概率最大，理由见解答．
解：（1）设表示“任取一件产品为次品”，
则、、分别表示“任取一件，产品为甲、乙、丙厂生产”，
由已知，，，
，，，
任取一件产品，它是次品的概率为：
（A）
．
（2），
，
，
，次品来自乙广的概率最大．
17．已知函数在处有极值．
（1）求的极值；
（2）若在区间，上有三个零点，求的取值范围．
【答案】．
解：（1）的定义域为，，
由条件知（2），得，
所以，
令，得或2，
，随的变化情况如下表：
所以的极大值为，极小值为．
（2）由（1），在，上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
又，（3），
而在，上有三个零点且，
解得，
所以的取值范围．
18．（17分）已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若任意的，，，，求的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当 时，在 上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2），．
解：（1） 的定义域为，
．
若，则．
①若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②若，当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③若，，当且仅当 时取等号，
此时在 上单调递增；
④若，当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当 时，在 上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）不妨设，则
．
设，则，
所以在上单调递增，
所以对 恒成立，
所以对恒成立，
又，
所以当时，取最大值，
所以，解得，即的取值范围为，．
19．（17分）已知函数在点，（1）处的切线经过点．
（1）求的值；
（2）若有两个零点，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解答．
解：（1）因为，所以，
所以（1），（1），
所以切线方程为，又切线经过，
所以，解得；
（2）证明：由（1）知，所以，
所以当，，单调递减；
当，，单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以在上单调递增，
由，可得，
即，
所以，
所以，即，得证．
0
2
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增