四川省阿坝藏族羌族自治州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省阿坝藏族羌族自治州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后， 只将答题卡交回， 下列说法正确的是， 已知展开式中共有8项等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前， 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后， 只将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】C
【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作，
所以不同方法种数为.
故选：C
2 若随机变量，且，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】随机变量，且，，
由正态密度曲线的对称性可知，，
所以．
故选：B.
3. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则
，，
，
故选：B.
4. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下：
由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ）
A. 85.5B. 86.5C. 87.5D. 88.5
【答案】C
【详解】因为：，.
由线性回归方程经过点且得：.
所以.
当时，.
故选：C
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选：C.
6. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】D
【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；
数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；
数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；
则一共可以表示个两位数；
故选．
7. 若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ）
A. 2或3B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【详解】由题可知：，
所以化简得到，又，所以2或3.
故选：A
8. 已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】令，则，
由，即，
所以当时，，即在上单调递增，
对于A，由，则，所以，即，故A正确；
对于B，由，则，所以，即，故B正确；
对于C，由，则，所以，即，故C正确；
对于D，由，则，所以，即，故D错误.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越不好
B. 若随机变量，则
C. 数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21
D. 一组数，，．．．，的平均数为a，若再插入一个数a，这个数的方差不变
【答案】AC
【详解】对于A，由一元线性回归模型的知识可知，决定系数越大，表示残差平方和越小，
即模型的拟合效果越好，也即残差平方和越大的模型拟合的效果越不好，故A正确；
对于B，因为随机变量服从二项分布，
由二项分布的方差计算公式可知，
再由方差的性质可知，故B错误；
对于C，从小到大排列一共有7个数据，，
故第80百分位数是第6个数据，即21，故C正确；
对于D，由题意可知，若再插入一个数，
则平均数为，即平均数不变，
而原来的数据的方差为，
可算得新数据的方差为，
所以方差会变，故D错误；
故选：AC
10. 已知展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为128B. 所有项的系数和为
C. 系数最大项为第3项D. 有理项共有4项
【答案】ACD
【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以.
故所有项的二项式系数和为，故A正确；
B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：
，，
C项， 当，设项系数最大，
由，解得，则，
且，第3项系数为，
当时，，系数为1；
当时，，系数为；
由，故第3项的系数最大；故C正确；
D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列满足，，的前n项和为，则（ ）
A. B. 是等比数列
C. D.
【答案】AB
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，由B可知数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，即，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分.
12. 已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%，该零件是合格品，则每件可获利10元，该零件不是合格品，则每件亏损15元．若某销售商销㫿该零件10000件，则该销售商获利的期望为______万元．
【答案】8.75##
【详解】由题意可得：该销售商销售每件零件获利的期望是元，
则该销售商销售该零件10000件，获利的期望为元，即8.75万元．
故答案为：8.75.
13. 碰碰车是一种充满乐趣和刺激的游乐设施，它可以让人们在享受快乐的同时，也能感受到速度和惊险.某游乐场的碰碰车设施包括碰碰车车辆及如图所示的三块并排平整的场地.某碰碰车在碰撞时每次都会从所在场地的通道口随机选择一个到达相邻场地或者到达场外，一旦碰碰车到达场外，本次游乐就结束.已知该碰碰车初始位置在1号场地，则游乐结束时该碰碰车是从1号场地到达场外的概率为__________.

【答案】
【详解】设碰碰车为，用表示碰碰车在号场地最终从1号场地到达场外的概率，，3，
即表示碰碰车在1号场地最终从1号场地到达场外的概率，
表示碰碰车在2号场地最终从1号场地到达场外的概率，
表示碰碰车在3号场地最终从1号场地到达场外的概率.
分为两种情况：①碰碰车在1号场地从或出，概率为；②碰碰车在1号场地从进入2号场地，概率为，在2号场地最终从1号场地到达场外的概率为.故.

分为两种情况：①碰碰车从到1号场地，概率为，在1号场地最终从1号场地到达场外的概率为；②碰碰车从进入3号场地，概率为，在3号场地最终从1号场地到达场外的概率为.故.

只有一种情况：碰碰车从到2号场地，概率为，在2号场地最终从2号场地到达场外的概率为，所以.

综上所述，解得.
故答案为：
14. 已知不等式恒成立，其中，则的最大值为________．
【答案】
详解】令，求导得，而，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
依题意，，设，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，解得，所以的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）递增区间是，递减区间是；
（2）
【小问1详解】
由题得，且定义域为R．
当时，函数，因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是．
【小问2详解】
由函数在时取得极值，得，解得，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
满足在时取得极小值，故，
又1，
所以函数在区间上的最小值是．
16. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
（1）求的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．
【答案】（1），
（2）有理项有3项，分别为
【小问1详解】
令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为，
则，解得，
展开式有5项，二项式系数最大的为第3项;
【小问2详解】
二项式的展开式的通项公式为，
令，且，解得，
则展开式中含的有理项有3项，分别为.
17. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下：
（1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数；
（2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关?
附：经验回归方程为，其中．
，其中．
【答案】（1），客户人数为55;
（2）有把握.
【小问1详解】
由表中的数据知，，，
，
，，，
不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为，
当x＝8时，，
所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55.
【小问2详解】
零假设：服务满意度与性别无关，
由表中的数据得，
所以有99%的把握认为满意度与性别有关.
18. 已知数列的前项和为，，且.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
法1：由，得，而，当时，
，
而满足上式，所以.
法2：由，得，则，
因此数列是常数列，则，即，
所以.
小问2详解】
由（1）得，当时，，
则，而满足上式，
所以的通项公式.
【小问3详解】
由（2）得，依题意，对任意的都成立，
设函数，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，因此当时，，则，
所以的取值范围是.
19. 马尔科夫链是概率统计中一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为．
（1）求、；
（2）求；
（3）证明：是等比数列．
【答案】（1）；
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，
由题可知：，.
【小问2详解】
记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得，
由题易得的所有可能取值为、、、，
且，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望为.
【小问3详解】
记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，
由题，可得，
而，
，
，
于是，，
也即，
首项为，
因此是首项为，公比为等比数列.（十万元）
5
6
7
8
9
（十万元）
55
60
70
75
80
月份x
1
2
3
4
5
不满意的人数y
120
105
100
95
80
满意
不满意
合计
女客户
48
12
男客户
22
18
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828