四川省凉山州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省凉山州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回， 在的展开式中，的系数为， 已知数列的前项和为，，且，则， 若直线被圆截得的弦长为，则， 已知函数， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，，集合中有且仅有2个元素，
则，所以实数的取值范围为.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由有，所以，
故选：B.
3. 设，则（ ）
A. B. iC. 1D.
【答案】A
【详解】，所以，
故选：A.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 30B. 15C. D.
【答案】B
【详解】因为二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，所以，
所以的系数为.
故选：B.
5. 已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【详解】已知，则，所以A错误；
由，可得，
可得，即，
当时，，即数列自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即，所以B错误；
，所以C正确，
当时，，符合条件，
当时，，所以D正确；
故选：CD.
6. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为.
设圆心到直线距离为：.
因为直线与圆截得的弦长为.
所以.
解得：.
故选：.
7. 已知函数（，）的图象关于原点对称，且与直线的所有交点中，最近的两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】已知，
函数图象关于原点对称，则，解得，
因，所以，可得，
当时，，则，
则或，
结合最近的两点间的距离为，即得，此时应满足，
解得，所以，
故函数最小正周期，所以，所以A错误；
，所以，所以B错误；
，所以C错误；
，所以，所以D正确；
故选：D.
8. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，解得或，定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，
当时，，求导得，
令，求导得，所以，
又，所以，
所以在上单调递增，
由，得，
所以，解得，解得，
解得或.
所以使不等式成立的的取值范围是.
二、多项选择题（共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. ，，是一组样本数据，去掉其中的一个最大数和一个最小数后，剩下的数的中位数不一定等于原样本的中位数
B. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥
C. 若随机变量，，则
D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望
【答案】BC
【详解】当一组数据去掉其中的一个最大数和一个最小数后，没有改变数据顺序，所以中位数不变，所以A错误；
根据独立事件概率乘法公式可知，因为，，
所以，所以不互斥，所以B正确；
由题意得，正态分布对称轴为，，所以随机变量更加集中，所以，所以C正确；
根据期望与方差的关系可知，代入得，所以D错误；
故选：BC.
10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A.
B. 有两个极值点分别为或
C. 当时，
D. 若，则解集为
【答案】AC
【详解】对于A，因为是奇函数，所以，令，
可得，解得，故A正确；
对于B，当时，由，可得，
令，可得，解得或（舍去），
当时，，当时，，所以是极大值点，
由奇函数的结称性可得是函数的极小点，
故函有两个极值点分别为或，故B错误；
对于C，当时，则，由，可得，
所以，故C正确；
对于D，由C可知，
当时，由，
当时，，所以，所以满足成立，故D错误
故选：AC
11. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 的离心率为B.
C. D. 当时，四边形的面积为
【答案】ABD
【详解】双曲线，则，，，，渐近线方程为，以为直径的圆方程为；
联立方程组得，解得，不妨设，
则，由，得，
解得，则，离心率，所以A正确；
可知，则，所以，所以B正确；
由，则，，，，
当位置互换时，，不符合条件，所以C错误；
由，则，所以，
已知，，
所以，所以D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、解答题（共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，若，则实数__________.
【答案】
【详解】因为，
所以.
因为，所以，
解得.
故答案为：.
13. 已知正实数，，满足，则的最小值为__________.
【答案】3
【详解】，
又，为正实数，所以，
则，当时取等，
所以的最小值为3.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则__________.
【答案】##0.25
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，直线的方程为，
由，可得，整理得，
解得或，当时，，当时，，
所以，，所以，
又中点，所以，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题（共5个大题，共77分，解答过程写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求，的极值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【小问1详解】
，，
则，，
所以在点处的切线方程为：，
即：.
【小问2详解】
由题意知的定义域为，
则，
①当时，在上恒成立，在上单调递减，所以在上无极值；
②当时，令，则，令，则，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以在时，取得极小值，无极大值；
综上所述：当时，在上无极值，
当时，在上有极小值，无极大值.
16. 如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，.
（1）若，平面与平面的交线为，证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明，平面，平面，
平面，
平面平面，平面，
.
【小问2详解】
由题意知，，，
，，，，
方法一：向量法
为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点平行于竖直向上为轴，
，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为.
则，所以，令，，
，所以，令，可得，
，
平面与平面所成角的正弦值为.
方法二：几何法：
过点分别向、引垂线，垂足分别为、，连接，
由（1）知，所以，，
为平面与平面所成角的平面角，
，，
根据余弦定理得：，
平面与平面所成角的正弦值为.
17. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）求周长的最大值.
【答案】（1）
（2）3
【小问1详解】
由及得：.
结合正弦定理得：.
因为，且为锐角三角形.
所以：.
即：，因为锐角三角形，所以.
因此：，故：；
【小问2详解】
由余弦定理知：.
即：.
所以：.
因此：周长为，即周长最大值为3.
18. 某学校食堂每天中午提供，两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为；如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为.
（1）该食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对套餐的满意程度情况，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）
根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对套餐的满意程度与套餐的改善有关?
（2）若套餐拟提供2种品类的素菜，（，）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机选择4种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值.
（3）设同学小李第天选择套餐的概率为，求.
参考数据：，其中
【答案】（1）学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关
（2）当时，有最大值
（3）
【小问1详解】
零假设：学生对套餐的满意程度与套餐的优化相互独立.
没有充分理由证明不成立，即学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关.
【小问2详解】
由题意知：小李同学选择荤菜种数的概率为：
由于，所以在处取得最大值.
【小问3详解】
同学小李第天选择套餐的概率为，则第天选择套餐的概率为，，
，
当时，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
因此.
19. 设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点.
（1）若离心率，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求；
（3）若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【小问1详解】
依题意，在椭圆中，，
由离心率，得，解得，
所以椭圆标准方程为：.
【小问2详解】
由（1）知，，设，由，得，
解得，由点在椭圆上，得，解得，
所以.
【小问3详解】
由线段的中垂线的斜率为2，得直线的斜率为，由，得，
直线过线段的中点，直线的方程为，即，
显然直线过椭圆内点，则直线与椭圆恒有两不同交点，设，
由消得，
，，由，得，
而，则有，
即，
即，解得，
所以存在这样的椭圆，使得，.套餐满意度情况
套餐改善前
套餐改善后
合计
满意
35
40
75
不满意
15
10
25
合计
50
50
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828