四川省德阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省德阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．已知复数：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为
A．14B．20C．21D．70
4．若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ）
A．B．3πC．D．π
5．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）
A．甲组数据的第70百分位数为23
B．甲､乙两组数据的极差不相同
C．乙组数据的中位数为24.5
D．甲､乙两组数据的方差相同
7．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）
A．a，b，B．，，
C．a，，D．，，b
10．已知向量不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．向量在上的投影向量相等
11．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知函数，则 ．
13．平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则l，m所成角正切值为 .
14．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s．
四、解答题
15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若．
(1)求△的面积；
(2)若，求c．
16．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若α是的一个零点，求的值．
17．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．

(1)求证：平面；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论．
18．已知函数．
(1)探讨函数图象的对称性，并说明理由；
(2)将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数的图象．
①求的值；
②若函数满足，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？
19．将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数λ使得，则称λ为f的一个特征值．
(1)若，求；
(2)如果，计算f的特征值，并求相应的；
(3)若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？
1．C
首先将集合中的函数的定义域求出来，然后求集合的交集.
【详解】因为，
所以要使得函数有意义，则.
解得.
所以，只有1个元素.
故选：C.
2．A
利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】依题意，，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．A
先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数.
【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170，
故老年职工人数为70，中年职工人数100，
抽样比为，
则抽取的老年职工的人数为，
故选．
4．D
【详解】设圆锥侧面展开图的弧长为，圆锥的底面圆的半径为，
则，可得，
所以，可得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：.
5．A
利用“不动点”定义求出，再利用三角函数定义求解即可.
【详解】由，得，解得，点，
所以.
故选：A
6．D
根据已知平均数的关系求得，再求出极差、中位数、方差判断各项正误即可.
【详解】由题设得，，解得，
甲组数据中，故第70百分位数为24，A错；
甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，所以甲､乙两组数据的极差相同，故B错；
乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错；
甲的平均数为，
乙的平均数为，
所以甲的方差为，
乙的方差为，故两组数据的方差相同，D对.
故选：D
7．B
根据题意，任取一个数字，确定数字黑洞，即，代入，结合三角函数诱导公式进行化简计算即可.
【详解】由题意，任取数字，经过第一步变为，经过第二步变为，再变为，再变为，所以数字黑洞为，即，代入得，
.
故选：B.
8．D
根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可.
【详解】由可知：当时，，
即当时，，
可得在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称，
所以在上单调递减，且，，
可得，即，
又因为，，
所以，
易知，恒成立，因此，，即，,
的值域是，的值域是，
解得.
故选：D.
9．ACD
由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.
【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；
故选：ACD.
10．AD
向量加法的平行四边形法则，结合和向量平分一个内角，可得菱形，根据菱形的性质可作出各选项的判断.
【详解】

由向量不共线，向量平分与的夹角，则如图可得：
则四边形是平行四边形，
又因为平分，所以四边形是菱形，
即，而，所以，故A正确，
由于四边形是菱形，不一定是矩形，故BC错误；
由图可得，向量在上的投影向量都是，故D正确；
故选：AD．
11．BD
利用指数和对数的关系、基本不等式的性质、对数的运算法则对选项逐一判断即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以A错误；
，B正确；
，所以，C错误；
因为，，所以，D正确.
故选：BD.
12．
根据分段函数的解析求解函数值即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
13．
根据题意，延拓几何体，找出对应的交线，再求解其夹角.
【详解】根据题意，延拓正方体如下图所示：
因为//，且//，
故平面//平面，且过点A，
故平面即为满足题意的平面，
由图可知直线分别对应图中的直线.
故即为所求角或其补角.
设正方体的棱长为1，
在中，因为，
由余弦定理可得：
解得，又因为直线的夹角范围为
故所成的角为，则
故答案为：.
14．
【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，
，，，，，
由可得，
，，
，
在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为且，
两式联立得：，又因为，所以或（舍），
故，由三角形面积公式得
（2）因为，且由（1）知，设三角形的外接圆半径为R，
由正弦定理得：，
解得或（舍），所以
16．(1)函数的单调递增区间为.
(2).
【详解】（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数：
函数的单调递增区间为.
令：
解得：
故函数的单调递增区间为.
（2）根据零点条件：
利用倍角公式：
，
所以
17．(1)证明见解析；
(2)当为中点时，平面平面，证明见解析.
（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面.
【详解】（1）因为，又为的中点，
所以为等边三角形，四边形为菱形，所以，
因为为的中点，所以，所以，即
连接，所以，
若使构成的四棱锥体积最大，则平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面；

（2）当为中点时，平面平面.
取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以平面平面，
由（1）得平面，又平面，所以平面平面，
所以平面平面.

18．(1)关于原点对称，理由见解析；
(2)①；②，或.
（1）利用函数的定义域和奇函数恒等式来证明，即可得到函数图象关于原点对称；
（2）①利用平移变换求得解析式，再用代入法证明恒等式成立；
②利用恒等式成立来转化求解的不等式，最后利用函数的单调性来进行推理，结合基本不等式来求最大值，利用取等号关系可求得取最大值时的a、b的值.
【详解】（1）由可知函数的定义域为，
再由，
所以，故是奇函数，它的图象关于原点对称.
（2）由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数为：
，此时定义域为，
再由，
所以；
由于，所以不等式可变形为：
，
因为当时，，所以是在上的增函数，
又因为当时，是在上的增函数，
所以也是在上的增函数，
即是在上的增函数，
因为，所以，
即，又因为，所以，
它们取等的条件为，此时满足，
所以或.
19．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）,
所以，
又因为，
所以，
当时，取到最大值，此时.
（2），
所以，即，
两式相除得，解得，
当时，，
此时，方程有无数多个解，所以，
当时，同理得.
（3）,
所以，故
可得，又因为都不为0，
所以向量与平行，
所以存在实数满足，
所以，
因为要使f有唯一的特征值，
所以，
所以应满足的条件为，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
A
D
B
D
ACD
AD
题号
11









答案
BD