四川省广安友谊中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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1. 在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性可得结果.
【详解】点 关于 轴 对称点的坐标为 ，
故选：C.
2. 若直线 的方向向量为 ，且过点 ，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程.
【详解】因直线 的方向向量为 ，则直线 的斜率
于是直线 的方程为 ，即 .
故选:A.
3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了 10 名同学在某天校
园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据
的第 70 百分位数是（ ）
A. 56 B. 59 C. 62 D. 64.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式求解即可.
【详解】数据个数共有 10 个，且为从小到大排列，
这组数据的第 70 百分位数为第 7 个数据 56 和第 8 个数据 62 的平均数 59，
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故选:B.
4. 已知双曲线 ， 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的渐近线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线方程，再由双曲线的方程求解渐近线方程即可．
【详解】因为 的焦点（2，0），
所以 a2+3＝4,
∴a2＝1，
∴双曲线方程为： ．
∴渐近线方程为： ．
故选：B
5. 记数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 0 B. 12 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可得 为等差数列，利用等差数列的性质求解.
【详解】由 ，即 ，
所以数列 为等差数列，
又 ，即 ，则 ，
.
故选：A.
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6. 已知圆 ，直线 ，若圆 上至少有 3 个点到直线 的距离为 1，则 的取值
范围为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得 ，求解即可.
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
由圆 上至少有 3 个点到直线 的距离为 1，
所以 .
故选：A.
7. 如图，在平行六面体 中， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，利用空间向量的夹角公式可求异面直线 与 所成角的余弦值.
【详解】设 ，
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，
.
， .
，
异面直线 与 所成角的余弦值 .
故选：D.
8. 已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三行为 7，9，11，
第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，例如 ，
， ，若 ，则 （ ）
A 64 B. 65 C. 68 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据奇数数列的通项，明确 为 个奇数，根据宝塔数表的排列性质，通过计算，
求得 所在的位置，可得答案.
【详解】由题意，令 ，解得 ，则 是第 个奇数，
∵宝塔形数表第 行有 个数， 前 行共有 个数，
， 在宝塔形数表的第 行中，
为第 行从左往右数第 个数，即 ，
.
故选：C.
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【点睛】方法点睛：本题通过观察宝塔形数表，归纳出一般规律来考查归纳推理及等差数列求和公式，属
于难题题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推
出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的
归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系
相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
二、多选题（每题 6 分，共 18 分.答对给 6 分，答错不给分，部分答对给部分分.）
9. 已知事件 ，事件 发生的概率分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件 与事件 互斥，则
B. 若事件 与事件 相互独立，则
C. 若事件 发生时事件 一定发生，则
D. 若 ，则事件 与事件 相互独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式进行分析判断即得.
【详解】对于 A， 事件 与事件 互斥， ，故 A 正确；
对于 B， 事件 与事件 相互独立， ，
，故 B 正确；
对于 C， 若事件 发生时事件 一定发生， 则 ，故 C 错误；
对于 D，因 则事件 与事件 相互独立，
故事件 与事件 相互独立，故 D 正确.
故选:ABD.
10. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当 取得最大值时，
C. 数列 是递减数列 D.
【答案】AC
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【解析】
【分析】ABD 选项，根据 、 和求和公式得到 ， ， ；D 选项，
根据等差数列的性质判断增减性.
【详解】解析： ，故 ，选项 A 正确；
，即 ，故 且 ，选项 D 错误；
又因为 是等差数列，故数列 是递减数列，选项 C 正确；
当 取得最大值时， ，故 B 错误．
故选：AC.
11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 右支上的
动点，则（ ）
A. 若 到渐近线的距离为 1，则
B. 当点 异于顶点时， 的内切圆的圆心总在定直线 上
C. 若 ，则点 的纵坐标为
D. 过点 作双曲线的切线交渐近线于 两点，若 ，则曲线的渐近线方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项 A，根据题意 ，进而可得；
选项 B，由双曲线的定义和内切圆的性质，可得 ，即得 ，进而可得；
选项 C，设 ， 由 ，联立 可得；
选项 D，当 点坐标为 时，由 得 ，进而可判断错误.
【详解】选项 A：因 到渐近线的距离为 1，故 ，故 ，故 A 正确；
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选项 B：
如图， 的内切圆的圆心为 ，分别与 切于点 ,
则 ,
由双曲线的定义可得 ，故 ，
故 ，即 ，
又 ，故 ，故 ,
故 的内切圆的圆心总在定直线 上，故 B 正确；
选项 C：
设 ，则 ， ，
因 ，故 ，故 ，
代入 可得 得 ，得 ，故 C 正确；
选项 D：
当 点坐标为 时，切线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
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联立 得 ，联立 得 ，
故 ，得 ，此时渐近线方程为 ，故 D 错误，
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题选项 B 考虑到内切圆的性质，由双曲线的定义可得 ，进而可判
断；选项 D，先考虑特殊点， 点位于顶点时得到 ，可判断选项 D 错误.
三、填空题（每题 5 分，共 15 分.）
12. 过 三点的圆的标准方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解.
【详解】设圆的方程为 ，
代入三点 ，有
解得 ，
故圆的方程为 ，
故圆的标准方程为 .
故答案为：
13. 已知数列 满足 ， ，则数列 前 8 项的和为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由递推关系及 ，求出数列的前 项，即可求解.
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【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
， ，
， ，
所以数列 前 8 项的和为 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 的上顶点为 分别为椭圆的左、右焦点，过点 作线段
的垂线 ，垂线 与椭圆 交于 两点，若椭圆 的离心率为 ，且 ，则 的周长为
______.
【答案】26
【解析】
【分析】由离心率可得 ，可得 为等边三角形，从而可得 的倾斜角为 ，求得直线
的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理与弦长公式可得 ，求解即可.
【详解】 离心率 ， ，
，又因为 为等边三角形，
设 ，
过点 作线段 的垂线 ， 的倾斜角为 ，
直线 的方程为 ，代入 中，
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得 ，
，
周长 .
故答案为： .
四、解答题
15. （1）已知数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】分别根据 、累加法计算，即可一次求解（1）（2）数列的通项公式.
【详解】（1） ，
当 时， ；
当 时， ，
，
易知 不符合上式，
所以 .
（2）由 ，
得 ，
各式相加得 ，
又 ，所以 .
16. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则
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换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 ，甲、乙每次投篮的结果相
互独立，第一次投篮者为甲.
（1）求第 3 次投篮者为乙的概率；
（2）求前 4 次投篮中甲投篮次数不少于 3 次的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式即可求解，
【小问 1 详解】
设事件 "甲第 次投篮投进"，事件 "乙第 次投篮投进"，事件 "第三次投篮者 乙"，
根据题意可知， 与 互斥，
；
【小问 2 详解】
设事件 "前 4 次投篮中甲投篮次数不少于 3 次"，根据题意可知：
，
事件 互斥，且每次投篮的结果相互独立，
.
17. 数列 满足 ， ， ，数列 满足 ， ．
（1）证明数列 是等差数列并求其通项公式．
（2）数列 的前 项和为 ，问 是否存在最小值?若存在，求 的最小值及取得最小值时 的值；
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若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析，
（2）存在最小值，最小值为－9，此时
【解析】
【 分 析 】（ 1） 因 为 数 列 满 足 ， 所 以 对 数 列 两 边 同 时 ， 得 到
，再代入数列 中，即可证明结论并求出通项公式.
（2）利用等差数列的前 项和公式求出 ，再利用数列的函数性质即可求得 的最小值及取得最小值时
的值.
【小问 1 详解】
证明：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
所以数列 是首项 ，公差 的等差数列．
所以 ．
【小问 2 详解】
解：根据等差数列的前 项和公式，得 ．
对于二次函数 ，其图象的对称轴为直线 ，
所以当 时， 取得最小值．因为 ，
所以 存在最小值，最小值为－9，此时 ．
18. 在平行四边形 中（如图 1）， ， 为 的中点，将等边 沿 折起，
连接 ，且 （如图 2）．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）点 在线段 上，且满足 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明 ，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；
（3）由题意，求出 的坐标，利用空间向量法求解面面角即可.
【小问 1 详解】
如图，连接 ，则 ，
由余弦定理得 ，
在 中，有 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，
由（1）知 平面 .又 平面 ，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，得 ，
过 作 ，则 ，又 ，
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建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
得 ， ，
设平面 一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
得 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
易知平面 的一个法向量为 .
由（2）知， ，
由 ，得 ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
得 ，设平面 与平面 所成角为 ，
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则 ，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 .
19. 在平面直角坐标系 中，椭圆 方程为 ．已知椭圆的长轴长为 ，离心率
为 ， ， 分别是椭圆左、右焦点，直线 与椭圆 交于 ， 两点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 是圆 的任意一条切线，求 的值；
（3）若直线 不经过左焦点 ，设焦点 到直线 的距离为 ，如果直线 ， ， 的斜率依次成等
差数列，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可求椭圆方程；
（2）分直线 的斜率不存在和存在两种情况，根据直线与椭圆相交，以及直线与圆相切的条件，求
的值；
（3）首先利用坐标表示直线 和 的斜率，根据斜率成等差数列，列式得到 ，整
理后代入韦达定理得到 ，根据条件得 ， ，结合韦达定理了，以及
点到直线的距离公式，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，椭圆的长轴长为 ，即有 ，即 ，又 ，解得
，即有椭圆的标准方程为 ；
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小问 2 详解】
圆 ，设 ，则 .
直线 为圆 的切线，分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线 的斜率不存在时，直线 .
若 ，由 ，解得 ，此时 .
若 ，同理得： .
②当直线 的斜率存在时，设 .
由 ，得 ，①
，又直线 是圆 的切线，
故 ，可得 ， 恒成立，
又 ，而 ，
，即 .
综上，恒有 .
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【小问 3 详解】
分别是椭圆 的左、右焦点，可得 ，
则 ，②，
由直线 的斜率 依次成等差数列，
可得 ，
所以有 ，
化简井整理得:
假设 ，则直线 的方程为: ，即直线 经过点 ，不符合条件，
则 ，
由方程（1）及韦达定理可知: ，则 ，③
由②③可知， ，化简得: ，这等价于: ，
反正，当 满足③及 时，直线必不经过 （否则将导致 ，与③矛盾），
而此时 满足②，从而直线 1 与椭圆有两个不同的交点
同时也保证了 的斜率存在（否则 中的某一个为-1，
结合 可知 ，与方程①有两个不同的实根矛盾）
记点 到直线 的距离为 ，则
，注意到 ，
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令 ，则 ，从而④式可改写为: ，
考虑到函数 在 上单调递减，则 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标，结合韦达定理表示条件中的几何关系，尤其是第三问，利
用 ，表示 的不等式关系.
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