广西钦州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广西钦州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，3B， 等比数列的前项和为，且，，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第四章～第七章，选择性必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下表是离散型随机变量的概率分布列，则常数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为离散型随机变量的概率之和为1，
所以，解得.
故选：B
2. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【详解】由二项分布公式可得：
所以，
故选：C.
3. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A B. 2C. D.
【答案】D
【详解】因为.
故选：D
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.2C. 0.4D. 0.5
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A.
5. 有4辆车停放于5个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问不同的停放方法有（ ）
A. 40种B. 48种C. 56种D. 64种
【答案】B
【详解】从个并排车位中选出并排的车位，共有种情况，
则甲乙辆车的不同排法有种，
再将剩余的辆车停放在剩余的个车位，则不同的排法有，
所以总共有.
故选：B.
6. 等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 100B. 102C. 103D. 105
【答案】C
【详解】等比数列的前项和为，且，，
所以公比为：，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【详解】因为函数在区间上不单调，
所以在区间上有零点，
由，得，则得，
故选：D．
8. 已知数列满足，，且，则的前51项的和为（ ）
A. 37B. 40C. 42D. 46
【答案】B
【详解】当为奇数时，也是奇数，因为，所以当为奇数时，，
，令，则，令，则，
令，则，令，则，
以此类推，偶数项为和交替，
前项中有项奇数项，和为，
有项偶数项，有个、个，和为，
所以的前51项的和为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】由题意：.故AB正确；
所以.
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD
10. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）
A. 与相互对立B. 与相互独立C. D.
【答案】BC
【详解】对于A，由题意可知，事件与事件有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误；
对于B，依题意，，，
所以事件与事件相互独立，故B正确；
对于C、D，，因为，所以，
所以，故C正确，D错误．
故选：BC．
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在处取得极大值1
B. 在处的切线方程为
C. 有两个零点
D. 若在上恒成立，则
【答案】ABD
【详解】由题得，
所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又因为，所以在处取得极大值1，故A正确；
由于，，
所以在处的切线方程为，
整理得：，故B正确；
由，所以只有一个零点，故C错误；
由，可得，构造，求导得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如下是一个列联表，则________.
【答案】
【详解】由题意可得，则，可得，所以.
故答案为：.
13. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产500件、300件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为2%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是________.
【答案】##0.03
【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且，

设任取一件产品，取到的是次品为事件，则

故答案为：.
14. 某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则________.
【答案】
【详解】设袋中黑球个数为，则白球个数为，
则，故，
则的可能取值为1,2,3，
，，，
故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的展开式中第5项为常数项.
（1）求的值；
（2）求展开式中所有的无理项.
【答案】（1）；
（2）时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为.
【小问1详解】
根据二项式定理，的展开式的通项为，
化简得，
因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）得，当时展开式的通项为，
要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时，
即不为整数，则取奇数时满足条件，
对应的无理项为：时，；
时，；
时，.
16. 已知数列为等差数列，为正项等比数列，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】（1），.
（2）证明见解析
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题设有，因，故解得，
故，.
【小问2详解】
,
故
.
17. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益不少于14.6（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为
，，.
【答案】（1）；
（2）；
【小问1详解】
由表格中的数据可得，，
，
，，
所以，
由，则可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度.
【小问2详解】
由（1）可得，
，
所以，由，则.
所以回归直线方程为，令，则，解得，
所以需研发投入至少亿元.
18. 甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制（三轮两胜制是指在一场比赛中，参赛者进行三轮比赛，其赢得两轮比赛即为获胜）.在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响.
（1）当时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得4分，失败者得3分；方案二：最终获胜者得2分，失败者得1分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【小问1详解】
记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件，
于是，与为互斥事件，
由于，，
则，
即甲最终获胜的概率为．
【小问2详解】
由（1）可知，，
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取，
，
则的分布列为：
则，
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取，
，
则的分布列为：
则，
所以，所以应该选第一种方案．
19. 已知函数，.
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若且时，求证.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增
（3）证明见解析
【小问1详解】
，
，
令，解得，
当时，，，得，单调递减，
当时，，，得，单调递增，
因此，是的极小值点，极小值为，
综上，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
定义域为，
，
当时，在上恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，得，单调递减，
当时，，得，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
当时，，定义域为，
，
，即，，，
令，定义域为，
，其中，恒成立，
假设解得，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
因此最小值为，
由可知，，
所以，即的最小值为0，
综上，，得证.3
4
5
6
y
x
总计
总计
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
2
6
8
9
10
4
2
1