【暑假预习】第一章 集合与常用逻辑用语-章末检测-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)（含答案）

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
故选：B
3．设全集为，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，所以.
故选：D.
4．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，，所以，
故选：A.
5．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，，
故.
故选：C.
6．命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，原命题的否定为：
.
故选：C
7．“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】当时，，不成立；
当时，，不成立；
当时，，成立；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C．
8．命题P：的是命题Q：的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【详解】命题Q：可变形为，即，
即，即或.
()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件；
()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件；
综上两种情况可知，是的不必要条件；
命题P：,去掉绝对值符号，有以下四种情况：
()当，即时，，，即，
故是的不充分条件；
()当，即时，，，即，
故是的充分条件；
()当，即时，，，即，
故是的充分条件；
()当，即时，，，即，
故是的不充分条件；
综上四种情况可知，是的不充分条件；
所以是的即不充分也不必要条件.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．关于集合的性质，以下说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
选项A，若，即A是B的真子集，所以，故A正确．选项B，若，则A，B不一定互为补集，故B错误．选项C，是由集合A，B的公共元素构成，所以，故C正确．选项D，根据并集的知识可知，故D正确．
10．[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（ ）
A．B．若，则
C．D．集合表示y轴所在直线
【答案】BCD
【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确．
11．已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个B．
C．D．所有子集的个数为
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
对于B选项，，，所以，故B正确；
对于C选项，，，故C正确；
对于D选项，，
所以，，则，
其的子集的个数为，故D正确．
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ．
【答案】2
【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2．
13．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由方程，解得或，可得集合，
若，则满足，解得，此时满足；
若，当，即时，，满足，符合题意；
当，即时，中有两个元素，，则满足无解，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：.
14．已知集合，则中的元素个数为 ．
【答案】4
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
由集合C中元素满足互异性，所以．
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）设，集合,．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，解得，
所以.
（2）由,得，
由已知方程的判别式，
从所以．
故实数的取值范围为．
16．（15分）已知集合，.
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或，且；
(2).
【详解】（1）由，
所以或，且；
（2）由，显然不是空集，且，
所以，可得.
17．（15分）已知集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）解：由，即，可得，所以，
因为，所以，
当时，有，解得，满足题意；
当时，则满足，解得，即，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知：集合，，
①当时，则满足，解得；
②当时，则满足，此时满足条件的m不存在；
③当时，则满足，解得，
综上可得，实数m的取值范围为．
18．（17分）已知全集.
(1)若中有四个元素，求和q的值；
(2)若，求实数q的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合，
则方程有两个相等的实数解.
又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4，
所以只有，从而，所以.
所以.
（2）由知，即方程无解，
所以，解得，
故实数q的取值范围是.
19．（17分）已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；
因为，所以；
综上可得，.
（2）先证明：若，，则；
设，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，
当，时，，，所以，所以；
（3）因为，
所以，
所以，都是整数，
所以为整数，
所以，
假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以，即.