【暑假预习】第06讲 第一章 集合与常用逻辑用语-章末复习-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)（含答案）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 集合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．集合的三种基本运算
4.集合基本运算的常见性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；
∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
知识点2 充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
3.熟记常用结论
eq \\ac(○,1)．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
知识点3 全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
2．全称量词命题与存在量词命题
3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
考点一 集合的概念
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
（多选题）2．若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，记且.则 ， .
4．已知集合．
(1)若，求集合；
(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．
考点二 集合间的基本关系
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则集合M的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
考点三 集合的基本运算
1．已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知集合，则 （ ）
A．B．C．D．
4．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（ ）
A．4B．10C．11D．12
5．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
考点四 充分条件与必要条件
1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0B．2或C．或D．0或或
2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“”D．“”是“”的必要条件
4．已知．
（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ．
考点五 全称量词与存在量词
1．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
3．已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（ ）
A．B．C．D．
4．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
知识导图记忆
知识目标复核
1．集合的概念
2．集合间的基本关系
3．集合的基本关系
4．充分条件与必要条件
5．全称量词与存在量词
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b都是有理数，则是有理数B．若a，b都是无理数，则是无理数
C．若，则D．若是小数}，则
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
4．对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．6
5．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）.
A．506B．507C．1012D．1013
6．已知，且，则（ ）
A．0B．C．0或3D．或3
7．设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
9．若，则以下正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．(多选)下列关于集合的描述，正确的是（ ）
A．偶数集用描述法可以表示为
B．方程组的解集可表示为
C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为
D．集合与集合交集为空集
12．(多选)已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）
A．若，则具有性质B．若，则具有性质
C．若，则一定具有性质D．若，则一定具有性质
13．(多选)给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
14．设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质.
15．(判断题)在集合中，可用符号表示为．( )
16．(判断题)判断下列结论是否正确（请在括号中填“正确”或“错误”）
（1）集合，用列举法表示为．( )
（2）．( )
（3）若，则或．( )
（4）对任意集合，都有．( )集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \a\vs4\al(N)
N*或N＋
eq \a\vs4\al(Z)
eq \a\vs4\al(Q)
eq \a\vs4\al(R)
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或
BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A
⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
文字语言
图形表示
符号语言
集合的并集
所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集
所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集
全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
AB
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
AB
p是q的既不充分条件也不必要条件
pq且qp
AB且A⊉B
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
命题
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词命题
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
命题名称
命题结构
命题简记
全称量词
命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
存在量词命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
命题
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称量词
命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，
p(x)
∃x0∈M，p(x0)
存在量词命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，
p(x0)
∀x∈M，p(x)
教材习题01
已知全集，，，那么是（ ）
A．B．
C．D．
解题方法
由题可得，全集
对于选项A，，不符合题意；
对于选项B，，，不符合题意；
对于选项C，，不符合题意；
对于选项D，，符合题意；
【答案】D
教材习题02
已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)求能使成立的实数的取值范围．
解题方法
（1）当时，集合，，
所以，.
（2）由，可知，
则，解得，
故实数的取值范围为．
【答案】(1)，
(2)
教材习题03
已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围．
解题方法
由题意，命题，，
因为是的充分而不必要条件，即是的充分而不必要条件，
即命题是命题的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
【答案】