初中平行线同步测试题

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知识点01 同一平面内两条直线的位置关系
同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.
【微点拨】
（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.
（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点.
【即学即练1】
（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）下面语句中，正确的是（ ）
A．永不相交的两条直线叫做平行线．
B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行．
C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行．
D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行．
【答案】C
【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键．
根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意；
D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
知识点02 平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【微点拨】
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
【即学即练2】
（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短．
【答案】见解析
【分析】先过点B作线段的平行线，再过点A作，垂足为点D，此时的长最短．
【详解】解∶如图，点 D 即为所求．
知识点03 平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【微点拨】
平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【即学即练3】
（21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，下列条件，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，不可以得到，故此选项符合题意；
C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
D、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
故选：B．
知识点04 平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
【微点拨】
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
【即学即练4】
（2022·山西长治·二模）如图，直线a，b被直线m，n所截，且a∥b，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＋∠3＝180°C．∠3＝∠4D．∠1＋∠4＝180°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：如图，
A．无法判断∠1和∠2的大小，故本选项错误，不符合题意；
B．因为a∥b，所以∠2=∠3，故本选项错误，不符合题意；
C．无法判断∠1和∠2的大小，故本选项错误，不符合题意；
D．因为a∥b，所以∠1+∠5=180°，因为∠4=∠5，所以∠1＋∠4＝180°，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
知识点05 两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
【微点拨】
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
【即学即练5】
（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为．
【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，，
∴，
∴，
即a与c的距离为．
故选：B.
题型01 同一平面内两条直线的位置关系
【典例1】（2020·上海浦东新·三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA；B．棱AB；C．棱GH；D．棱GF．
【答案】A
【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．
【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．
故选：A．
【点评】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．
【变式1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行
【答案】B
【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答．
【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（ ）
A．aB．bC．mD．n
【答案】B
【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断，
本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义．
【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线，
其中只有b的延长线不与l相交，
∴．
故选：B．
【变式3】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1_______AB，AA1_______AB．
【答案】// ⊥
【分析】根据在长方体中，棱与面，面与面之间的关系有平行和垂直两种，填空即可.
【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直.
故答案为∥，⊥.
【点评】本题借助于几何体的特征考查了矩形的性质．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外，其中垂直是相交的特例)．
题型02画平行线
【典例2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）如图，C是线段外一点，按要求画图：
(1)画射线；
(2)过点C画直线；
【答案】见解析
【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键．
（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图．
【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求；
（2）解：如图所示：直线即为所求；
【变式1】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点作的平行线．
(2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键．
（1）过作水平线即可；
（2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可．
【详解】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；
图1
（2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；
图2
【变式2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）．
(1)画射线，画直线；
(2)过点A画射线的垂线，垂足为点D；
(3)过点O画直线的平行线．
【答案】见详解
【分析】本题考查了网格作图；
（1）按要求作图，即可求解；
（2）用直尺和三角板画图，即可求解；
（3）按要求作图，即可求解；
掌握作法是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
射线，直线为所求作；
（2）解：如图，
垂线为所求作；
（3）解：如图，
直线为所求作．
【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知．
(1)过点画，垂足为；
(2)过点画，交于点．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点，
（1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形；
（2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形；
熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键．
【详解】（1）如图所示：
将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌
∴即为所求；
（2）如图所示：
用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E，
∴即为所求．
题型03平行公理及其推论
【典例3】（21-22七年级下·全国·课后作业）下面推理正确的是（ ）
A．，，∴c∥dB．，，∴c∥d
C．，，∴b∥cD．，，∴a∥c
【答案】C
【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键．
【详解】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；
B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；
D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴b∥c，
∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，
故选A．
【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（ ）．
A．①②B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键．
根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可．
【详解】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，故本项符合题意；
②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意；
③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意；
故选：C．
【变式3】（23-24七年级下·天津河北·期中）已知a，b，c为不重合的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．理由是_______________________________________________．
【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】本题考查了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【详解】解：∵a∥b，b∥c（已知），
∴a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
题型04 平行线的判定
【典例4】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，能判定的条件是（ ）
A．B．C．∠2+∠C=180°D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：A、由，不能判定，故此选项不符合题意；
B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项不符合题意；
C、由∠2+∠C=180°，不能判定，故此选项不符合题意；
D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，能判定的条件是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；根据，即可判定；其它条件均不能判定．
【详解】解：当时，∠BDE+∠DEF=140°+40°=180°，
则有；
而添加其它条件无法得到；
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使______度，依据是________________________．
‍
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解，要使公路和在同一方向上，即和平行，根据内错角相等，两直线平行，可得．
【详解】解：要使公路和在同一方向上，即，
当时，
依据是内错角相等，两直线平行，
故答案为： 内错角相等，两直线平行
【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空：
如图所示，完成推理过程．
(1)∵（已知）
∴____________（ ）
(2)∵（已知）
∴（ ）
(3)∵（已知）
∴（ ）
(4)∵（已知）
∴____________（ ）
【答案】(1)，内错角相等，两直线平行
(2)同位角相等，两直线平行
(3)同旁内角互补，两直线平行
(4)，同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
（2）∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
（3）∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
（4）∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行）
题型05在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【典例5】（24-25七年级上·江苏·假期作业）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则a∥c；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查两直线的位置关系．根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可．
【详解】解：①如果，，则a∥c，故①说法正确；
②如果，b∥c，，则，故②说法正确；
③如果，，则，故③说法正确；
④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
【变式1】（23-24七年级下·陕西安康·期中）在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（ ）
A．，，B．a⊥b，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直于同一条直线的两直线平行，平行于同一条直线的两直线平行，进行判断即可．
【详解】解：A、，，，不能得到，原选项错误；
B、 a⊥b，，，原选项错误；
C、，，无法得到，原选项错误；
D、，，，正确；
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行C．垂直或平行D．重合
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
……，
以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，
∵，
∴，
故选：B．
【变式3】（22-23七年级下·浙江温州·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个）
【答案】平行
【分析】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用．根据题意画出画出图形，再利用平行线的判定证明．
【详解】如图，，，说明．
解：，（已知），
∴，（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
题型06 平行线的性质
【典例6】（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，由题意得，，，即可求解；
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是△ABC的角平分线，
∴，
∴，故选：C
【变式1】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，交CD于点，且于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出的度数是解题关键．直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，，且，则（ ）
A．B．60°C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，即可得到答案，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，故选：．
【变式3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ）
A．72°B．C．D．
【答案】B
【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可；
此题考查平行线的性质，关键是利用两直线平行，同位角相等解答．
【详解】解：于B，，
，
；故选：B．
题型07平行线的判定于性质的综合应用
【典例7】（23-24七年级下·全国·单元测试）完成下面的证明：
如图，，，，求的度数．
解∶∵（已知）
∴______（ ）
______（等量代换）
∴______（ ）
∴______（ ）
∵
______．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定完成填空即可求解．
【详解】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴
【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，是延长线上一点，，求证：．
解：，
（________）
，
，（________），
，
．
【答案】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；
【分析】本题考查平行线性质及判定的应用，解题关键是要掌握平行线的性质及判定定理，熟练运用它们进行推理和计算．根据平行线的性质及判定填空即可．
【详解】解：，
（两直线平行，同位角相等）
，
，（内错角相等，两直线平行），
，
．
【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，
（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出；
（2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
【变式3】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
题型08两条平行线的距离
【典例7】（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为_______．
【答案】8
【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴平行线a、b之间的距离为，
故答案为：8．
【变式1】（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为_________．
【答案】
【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则．
【详解】解：连接，
∵，，
∴
∴；
同理：
∴．故答案为：．
【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________．
【答案】3或9
【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当在、之间，
直线a和c的距离为；
②当在、之间，
直线a和c的距离为；
故答案：3或9．
【变式3】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________．
【答案】
【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论．
【详解】解：设与之间的距离为，
则，
，，，
，
设与之间的距离为，
故答案为：．
1．（16-17七年级下·广东揭阳·期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．垂直D．平行或相交
【答案】D
【分析】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交．
【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．
故选：D
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不可以得到，故A符合题意；
B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故B不符合题意；
C、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故C不符合题意；
D、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故D不符合题意；
故选：A．
3．（23-24七年级下·山东聊城·期中）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵，，∴B．∵，，∴
C．∵，，∴D．∵，，∴
【答案】C
【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键．
【详解】解：A、a，c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；
B、c，d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
C、b，c都和a平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；
D、a，c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
故选：C．
4．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可．
【详解】解：①如果，，则，故①说法正确；
②如果，，，则，故②说法正确；
③如果，，则，故③说法正确；
④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误，
∴正确的有3个，故选：C．
5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果．
【详解】解：设点到的距离为，
∵，
∴点到的距离也为，
∴；故选B．
6．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转，再左转B．先左转，再右转
C．先左转，再右转D．先右转，再右转
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键．
根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可．
【详解】解：如图所示：
A、
故本选项错误；
B、
故本选项正确；
C、
故本选项错误；
D、
故本选项错误．
故选B．
7．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列说法：
①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交；
②若直线，直线，那么直线；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
其中错误的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可．
【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误；
②若直线，直线，那么直线，故原说法正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误．
错误的有3个，故选：A．
8．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，下列条件中能判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
根据平行线的判定对各选项判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，不能判定直线，故A不符合要求；
由，不能判定直线，故B不符合要求；
由，能判定直线，故C符合要求；
由，不能判定直线，故D不符合要求；
故选：C．
9．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图所示的长方体中，用符号表示两棱的位置关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，根据位置关系，进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项错误；
B、，原选项错误；
C、，原选项正确；
D、，原选项错误；
故选C．
10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，，的关系是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到．
【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即，
根据平行线的性质得，，
，
，
又，
，
即，
故选：A．
11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，过点作．则的度数是_________．
【答案】30°
【分析】本题考查了平行线的性质，由可得，结合即可求解．
【详解】解：∵，．
∴，
∵
∴
故答案为：
12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知，直线l与相交于C，D 两点，把一块含角的三角尺按如图位置摆放．若，则_________．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，由，得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为_________．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质与判定，过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出．
【详解】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
故答案为：．
14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是_________．
【答案】或
【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线之间，和直线在直线的外侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当直线在直线之间时，直线与的距离是；
当直线在直线的外侧时，直线与的距离是；
故答案为：或．
15．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有_________（填写序号）
【答案】③④
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，故①不符合题意；
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
故答案为：③④．
16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．设，即可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到，依据列方程解答即可．
【详解】解：设，
∴，
由折叠可得：，
又∵，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：．
17．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，已知，，，，则_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，由平行线的性质得到则，再由平行线的性质得到证明 根据 可得，则 ．
【详解】解：如图，过作 过作
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
故答案为：．
18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，、、分别平分、、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．（填序号）

【答案】①②③
【分析】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识．利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④．
【详解】解：，
，，故①正确，
平分，平分，
，，
，
，故②正确，
平分，
，
，
，
，故③正确，
无法判断，故④错误．
故答案为：①②③．
19．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是_________．（填“平行”或“垂直”）
【答案】平行
【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行．
【详解】解：∵， ，，…
∴，，…，
∴，
∵，
∴，
故答案为∶平行．
20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则_________度．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数．
【详解】解：过作，

，
，
，，
，
．
和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
；
以此类推，，
当∠度时，等于．故答案为：．
21．（23-24七年级上·全国·单元测试）按要求完成作图．如图，在三角形中：
(1)过点画的垂线，垂足为；
(2)过点画AB的平行线，交于点．
【答案】图见解析．
【分析】本题考查的知识点是作垂线、平行线，解题关键是熟练掌握垂线和平行线的作法．
（1）利用三角板过点作于点即可；
（2）利用三角板和直尺过点作，交于点即可．
【详解】（1）解：利用三角板过点作于点，即为所求，如下图：
（2）解： 利用三角板和直尺过点作，交于点，即为所求，如下图：
22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，求的大小．

解：，
_______（__________________）
又∵（已知）
（__________________）
_______（__________________）
_________（__________________）
，
∴．
【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可．
【详解】解：，
（两直线平行，同位角相等）
又，
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
，
．
23．（23-24七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：．
解：因为，
所以 （ ）
又因为，
所以 （ ）
所以（ ）
【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案．
【详解】解：∵，
∴ (内错角相等，两直线平行)，
∵，
∴ (同旁内角互补，两直线平行)，
∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点分别在上，交于点G，交于点．
(1)与平行吗？请说明理由．
(2)试说明．
解：（1）．理由如下：
因为，（已知），（_______），
所以_______（_______），
所以______________（_______）．
（2）因为（已知），
所以_______（________）．
又因为，（已知）
所以______（_______）．
所以______________（_______），
所以（_______）．
【答案】(1)．理由见解析；(2)见解析
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
（1）首先根据对顶角相等得到，然后等量代换根据同位角相等两直线平行证明即可；
（2）首先得到，推出，然后证明出，即可得到．
【详解】（1）解：（1）．理由如下：
因为（已知），（对顶角相等），
所以（等量代换），
所以（同位角相等，两直线平行）；
（2）因为（已知），
所以（两直线平行，同位角相等）．
又因为（已知），
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，内错角相等）．
25．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，，，平分，试说明：．
解：因为平分，
所以 （ ）
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以 （ ），
所以（ ）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以（ ）
【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【详解】解：因为平分，
所以∠1=∠2（角平分线的定义），
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以（同角的补角相等），
所以（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
26．（23-24七年级下·全国·单元测试）推理填空：已知：，，，试说明．
解：作射线，使（作辅助线）
∵（已知）
∴__________（ ）
∴__________（ ）
∵（已知）
∴____________（ ）
∴（ ）
∵
∴___________（ ）
∴
∵（ ）
∴
∴（ ）
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
作，根据平行线的判定和性质证明，结合平角的定义求出，根据垂直线的定义即可得出结论．
【详解】解：作射线，使（作辅助线）
∵（已知）
∴（ 等量代换 ）
∴（ 内错角相等，两直线平行 ）
∵（已知）
∴（ 平行于同一直线的两条直线平行）
∴（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵
∴（ 等量代换）
∴
∵（ 平角的定义 ）
∴
∴（ 垂直的定义 ）
27．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等，由对顶角相等结合题意得出，推出，由平行线的性质得出，结合题意得出，从而推出，即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
28．（2024八年级上·贵州·专题练习）如图，在四边形中，，，点分别在上，．
(1)判断与的大小关系，并说明理由．
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析；(2)
【分析】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键．
（1）由得到，由，得到，从而，进而即可解答；
（2）由求得，根据平分得到，从而，进而即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
29．（23-24七年级下·全国·期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，．
(1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数；
(2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由；
(3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
（1）根据∠1、及∠3的和为180°可求出∠3，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；
（3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
【详解】（1）解：如图（1）．
，，
．
，
．
（2）解：如图（2），过点作，
在中，，，
．
，，
，
，．
．
．
．
（3）解：．
理由如下：如图（3），过点作，
．
平分，，
，．
，
，．
．
，
．
．
．
30．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点运动到使时，求的度数．
(3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
(4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？
【答案】(1)；(2)；(3)不变，，理由见解析；(4)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得；
（2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得；
（3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得；
（4）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴
，
所以的度数为．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：不变，，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（4）解：，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
课程标准
学习目标
①平行线的定义；
②平行线的画法；
③平行公理及其推论；
④平行线的判定方法；
⑤掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
⑥了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念。
1.掌握平行线的定义并能够判断平行线；
2.掌握平行线的画法能够画已知直线的平行线；
3.掌握平行公理及其推论，并能够熟练运用；
4.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行；
5.掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
6.了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念。