高中数学人教版新课标B选修2-3离散型随机变量的数学期望教案

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-3离散型随机变量的数学期望教案，共12页。教案主要包含了复习引入，讲解新课，讲解范例，课堂练习，小结 ，课后作业，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望或期望。
过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”。能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的数学期望或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的数学期望或期望的概念。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出数学期望或期望。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。
2. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出。
若是随机变量，是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
5. 分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1。
7.离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）。
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)。
8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量。“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生。如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么
（k＝0,1,2,…， ）。于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
称这样的随机变量ξ服从几何分布。
记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， 。
二、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数。这就是我们今天要学习的离散型随机变量的数学期望或期望。
根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n次射击中，预计大约有
次得4环；
次得5环；
…………
次得10环。
故在n次射击的总环数大约为
，
从而，预计n次射击的平均环数约为
。
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平。
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数：
…。
1. 数学期望： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望。
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3. 平均数、均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
4. 数学期望或期望的一个性质：若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质：
5.若ξB（n,p），则Eξ=np。
证明如下：
∵，
∴0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵，
∴＋＋…＋＋…＋。
故若ξ～B(n，p)，则np。
三、讲解范例：
例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望。
解：因为，
所以。
例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9），，
。
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5，所以他们在测验中的成绩的期望分别是：
。
例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0. 01。该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下3 种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3 800 元。
方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元，但围墙只能防小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失。
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即
X1 = 3 800。
采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即
同样，采用第 3 种方案，有
于是，
EX1＝3 800，
EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )
= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600，
EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)
= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100。
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2。
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的。一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小。由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的。
例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望。
解：∵，
=3.5。
例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次。求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）。
解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：
（=1，2，…，10）
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：。由此可得的概率分布如下：
根据以上的概率分布，可得的期望
。
例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望。
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
所以
1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5。
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值。
例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)。从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km。某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量。设他所收租车费为η。
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
求所收租车费η的数学期望；
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟。
解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；
(Ⅱ)
∵ η=2ξ+2
∴ 2Eξ+2=34.8（元）
故所收租车费η的数学期望为34.8元；
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟。
四、课堂练习：
1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75
答案：C
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望；
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望。
解：⑴因为，，所以
1×＋0×；
⑵η的概率分布为
所以0×＋1×＋2×＝1.4；
⑶ξ的概率分布为
所以 0×＋1×＋2×＝2.1。
3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个。今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望。
分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k)，进而可求Eξ。
解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=。
∴ P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）。
∴ ξ～B(n,)，故Eξ =n×=。
五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ。公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
六、课后作业：P64-65练习1，2，3，4 P69 A组1，2，3
1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）
解：令取取黄球个数 (=0、1、2)则的要布列为
于是 E（）=0×+1×+2×=0.8，
故知红球个数的数学期望为1.2。
2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数。
①求的概率分布列；
②求的数学期望。
解：①依题意的取值为0、1、2、3、4。
=0时，取2黑，概率p(=0)=
=1时，取1黑1白，概率p(=1)=
=2时，取2白或1红1黑，概率p(=2)= +
=3时，取1白1红，概率p(=3)=
=4时，取2红，概率p(=4)=
∴分布列为
（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=
3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望。
解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3），
表示第i台仪器不出现故障，则：
p(=1)=p(A1··)+ p(·A2·)+ p(··A3)
=p1(1－p2) (1－p3)+ p2(1－p1) (1－p3)+ p3(1－p1) (1－p2)
= p1+ p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3
p(=2)=p(A1· A2·)+ p(A1··)+ p(·A2·A3)
= p1p2 (1－p3)+ p1p3(1－p2)+ p2p3(1－p1)
= p1p2+ p1p3+ p2p3－3p1p2p3
p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3
∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p1+p2+p3。
注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望。
4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2 。
解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为
。
5.、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，。
（1）求，的概率分布； （2）求，。
解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0。
根据题意知，所以
（Ⅱ），
因为,所以。
七、板书设计（略）
八、教学反思：
(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ。
公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
ξ
1
2
3
…
k
…
P
…
…
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.15
0.1275
0.1084
0.092
0.0783
0.0666
0.0566
0.0481
0.0409
0.2316
ξ
1
2
3
4
5
6
P
ξ
15
16
17
18
P
0.1
0.5
0.3
0.1
η
0
1
2
P
ξ
０
１
2
3
P

0
1
2
p

0
1
2
3
4
p

0
1
2
P
对阵队员
A队队员胜的概率
B队队员胜的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3