高中数学人教版新课标B选修2-1直线与圆锥曲线教案及反思

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-1直线与圆锥曲线教案及反思，共4页。
1．熟练掌握直线与圆锥曲线三种位置关系的数与形的一一对应；
2．熟练掌握解决直线与圆锥曲线相关问题的常用方法；
3．培养学生熟练运用数形结合、方程和转化的数学思想解决数学问题的能力。
教学重点、难点：
重点：1．直线与圆锥曲线位置关系的判定；
2．点差法的应用。
难点：点差法的综合应用。
教学过程：
复习归纳：
直线与圆锥曲线的位置关系有哪些？相离，相切、相交；
一般如何判定？考察直线与曲线的公共点个数；
如何利用代数方法来判定？联立直线与曲线方程，考察消去（或）后的方程的解的情况。
归纳：
当时：相离，相切；相交；
特殊地：当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，但此时不是相切，而是相交；当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个公共点，但此时也不是相切，同样是相交。
填空：
“直线与圆锥曲线相切”是“直线与圆锥曲线只有一个公共点”的充分不必要条件；
“直线与圆锥曲线相交”是“直线与圆锥曲线有两个不同的公共点”的必要不充分条件；
提出问题：
问题1：已知双曲线与点，求过点的直线的斜率取值范围，使与分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点。
解析：考查直线与双曲线公共点个数问题，实际上是研究联立方程消去（或）后得到的新方程是否有实数解或实数解的个数问题，在解题过程中要注意二次项系数的讨论。
解：设
（＊）
(1)当即时，方程（＊）有一解，则与有一个交点；
当即时，方程（＊）有一解，则与有一个交点，
当或时，与有一个交点。
(2)当即且时，方程（＊）有两解，则与有两个交点。
(3) 当即时，方程（＊）无解，则与没有交点。
问题2：当时，与交与点、，求。
解析：求圆锥曲线中的弦长，常用弦长公式：
，
（其中，类似）
特殊地：当弦过焦点时，也可用焦半径求解。
解：
。
问题3：求以点为中点的弦所在直线方程。
解析：涉及圆锥曲线的中点弦问题，常用“点差法”，设而不求。
解：设直线与双曲线交与，，则，，
即，
即。
问题4：是否存在以为中点的弦？
解析：本题为存在性问题，考虑到存在弦的前提是直线与曲线有两个交点，因此在用“点差法”求出直线方程后，需检验直线是否与曲线有两个交点。
解：设存在在以为中点的弦，且设直线与双曲线交与，，
则，，
即，
即，
，
则直线与双曲线没有交点，因此，不存在以为中点的弦。
问题5：求过点的弦的中点的轨迹方程。
解析：由问题3和4可知，“点差法”体现了弦的中点与弦所在直线的斜率之间的关系，即弦所在直线的斜率可以用中点坐标来表示，同时在本题中，由于弦过定点，则由点的坐标及中点也可求出弦所在直线的斜率，从而找到，满足的方程。
解：设过点的直线交双曲线与，，则，，
，
又，，
则点的轨迹方程为。
课堂小结：
1.直线与圆锥曲线的位置关系及其判定方法，注意特殊情况的讨论，即注意二次项系数是否为的讨论。
2．“点差法”的应用，“点差法”融入了解析几何中重要的“设而不求”这一思想，它体现的是弦的中点与弦所在直线的斜率之间的关系，因此，在条件中出现涉及中点弦的问题，一般都可以用“点差法”来解决。