经典奥数专题：数与形（试题）数学六年级上册人教版（含解析）

这是一份经典奥数专题：数与形（试题）数学六年级上册人教版（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．按照下面的规律，下一幅图中应该有（ ）个圆。
A．16B．8C．4
2．按照下面3幅图的规律，如果每个圆的直径都是10厘米，那么第10个图形长（ ）厘米。

A．50B．55C．95D．100
3．在▲◇●□，◇●□▲，●□▲◇根据规律，下组图形是（ ）。
A．◇●□▲B．●□▲◇C．▲◇●□D．□▲◇●
4．古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看成两个相邻“三角形数”之和。下面的等式中，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10B．25＝19＋6C．36＝15＋21D．49＝18＋31
5．根据，，那么（ ）。
A．B．C．
6．泥瓦匠给一块地面铺瓷砖（如图所示），按照这样的规律，位置（5，6）处应铺瓷砖（ ）。
A．B．C．无法判断
二、填空题
7．算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝( ) ；
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( ) 。
8．小芳、小兰两人用红、黑两种棋子，按下图的要求玩跳棋游戏：从1号位出发，轮流按顺时针方向前进，小芳的红棋的走法是：2步—3步—2步—3步—2步…；小兰的黑棋的走法是：2步—1步—2步—1步—2步…。她们各走了60次后，小芳的红棋走到了( )号位，小兰的黑棋走到了( )号位。
9．甲、乙、丙、丁四位同学围成一个圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次是1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50的时候，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。在此过程中，甲同学拍手的次数为( )次。
10．按下面的规律铺瓷砖第28幅图中应铺( )块黑色瓷砖。
11．将一些▲按一定的规律摆放，（如图所示）。图中▲的个数依次是6、10、16、24…
第10个图形共有( )个▲。第m个图形中共有( )个▲。
12．如下图，用同样大小的黑色棋子按照所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第二十一个图案需要棋子( )枚。
13．小东用边长1厘米的正方形分别摆成下面的图形，并写出计算每个图形周长的算式，你能根据摆的规律写出第8个图形的算式吗？
……( )
14．王强同学用圆片摆图形（如图）。依据规律，第4幅图中有( )个，第6幅图中有( )个，第n幅图中有( )个。
三、解答题
15．用小棒摆三角形。

（1）根据上面图形与数的规律接着画一画。

（2）如果不画，那么这样摆下去，第10个图形用了多少根小棒？
（3）搭n个三角形需要多少根小棒？
16．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。

（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
17．请根据下面图形与数的规律画一画，并填一填。
想一想：第10个图形中有（ ）个小三角形。
18．任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的十位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．
重复这个过程．
例如，以823开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，…
（1）你选择的三位数是什么？你得到了什么结论？
（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？
19．仔细观察如图，任意框出四个数，请将表格中其余三个数用含有字母的式子表示出来。
如果框出的四个数的和是84，那么这四个数分别是多少？
20．如图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的．仔细观察后，请回答：
（1）五层的“宝塔”最下层包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
参考答案：
1．A
【分析】图一有2个圆，图二有4个圆，图三有8个圆，2×2＝4（个），4×2＝8（个），由此可知，图四有（8×2）个圆，依此计算并选择。
【详解】8×2＝16（个）
即下一幅图中应该有16个圆。
故答案为：A
【点睛】此题考查的是图形的变化规律，应根据前面已知的图形找到规律后再选择。
2．B
【分析】观察题意可知，第1个图形长（5＋1×5）厘米，第2个图形长（5＋2×5）厘米，第3个图形长（5＋3×5）厘米，……以此类推，第n个图形长厘米；据此解答。
【详解】第1个图形长10厘米，
第2个图形长15厘米，
第3个图形长20厘米，
……
所以第n个图形长：厘米
当n＝10时，
5＋5×10
＝5＋50
＝55（厘米）
故答案为：B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
3．D
【分析】观察▲◇●□，◇●□▲，●□▲◇，把第一组中的第一个图形移到最后，第一组其他图形顺序不变，就成了第二组图形，把第二组中的第一个图形移到最后，第二组其他图形顺序不变，就成了第三组图形。据此解答。
【详解】●□▲◇的下组图形是把第一个图形●移到最后面，其他图形顺序不变，是□▲◇●。
故答案为：D
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
4．C
【分析】根据“三角形数”的规律是：1，3，6，10，15，21，28，36，45……，而“正方形数”是两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。
【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”；
B．25＝19＋6，19不是“三角形数”；
C．36＝15＋21，符合规律；
D．49＝18＋31，18和31均不是三角形数。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是找清楚“三角形数”和“正方形数”的关系，从而进行求解。
5．C
【分析】观察式子，发现差的分母等于被减数分母和减数分母的积，分子相等。据此解题。
【详解】99×100＝9900
故答案为：C
【点睛】本题考查了算式的规律，有一定归纳总结能力是解题的关键。
6．B
【分析】根据题图可知，地砖共有和两种花色，当行数和列数相同时，铺的都是，其上下左右都是，（5，5）铺，则（5，6）处应铺，据此解答即可。
【详解】按照这样的规律，位置（5，6）处应铺瓷砖；
故答案为：B。
【点睛】解答本题的关键是找到所铺花色之间的规律，即当行数和列数相同时，铺的都是，其上下左右都是。
7． 25 85
【分析】由相加的数字规律可得：第一式子中最中间的数是7，左右两侧的数都是1、3、5，可运用左侧三个数之和的2倍加上7得出答案；第二个式子中最中间的数是13，左右两侧的数都是1、3、5、7、9、11，可运用左侧6个数字之和的2倍，再加上13，得出答案。
【详解】1＋3＋5＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5）×2＋7
＝18＋7
＝25
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）×2＋13
＝72＋13
＝85
【点睛】本题主要考查的是找出相加的数规律进行简便运算，解题的关键是掌握中间数的两边数相同的规律，进而计算得出答案。
8． 1 1
【分析】小芳的红棋子从1号位出发，第1次走2步，到达3；第2次走3步，到达6；第3次走2步，到达2；第4次走3步，到达5；第5次走2步，到达1。即小芳的红棋子走5次回到出发地，也就是小芳的红棋子到达的位置按3、6、2、5、1循环，每走5次一个循环。小兰的黑棋子从1号位出发，第1次走2步，到达3；第2次走1步，到达4；第3次走2步，到达6；第4次走1步，到达1。即小兰的黑棋子走4次回到出发地，也就是小兰的黑棋子到达的位置按3、4、6、1循环，每走4次一个循环。用60÷5、60÷4分别求出小芳的红棋子、小兰的黑棋子走了几个周期，如果有余数，余数是几，所求的位置就是周期中的第几个，如果没有余数，就是周期中的最后一个。
【详解】小芳的红棋子到达的位置按3、6、2、5、1循环，每走5次一个循环。
60÷5＝12（个）
小兰的黑棋子到达的位置按3、4、6、1循环，每走4次一个循环。
60÷4＝15（个）
所以小芳的红棋走到了1号位，小兰的黑棋走到了1号位。
【点睛】解决周期问题时，可以根据题中循环出现的规律列除法算式，求出余数，再根据余数得出所求问题的结果。
9．4
【分析】根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，据此解答。
【详解】50÷4＝12……2
所以甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，又因为若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。
所以甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次。
因此在此过程中，甲同学拍手的次数为4次。
【点睛】解答本题的关键是得出甲的报数次数以及分别报数的数据。
10．85
【分析】结合图形，发现：第一个图中有4块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖，由此得出规律即可解答问题。
【详解】根据题干分析可得：第一个图形有黑色瓷砖3＋1＝4块。
第二个图形有黑色瓷砖3×2＋1＝7块。
第三个图形有黑色瓷砖3×3＋1＝10块。
……
第n个图形中需要黑色瓷砖3n＋1块。
当n＝28时，黑色瓷砖有：
3×28＋1
＝84＋1
＝85（块）
所以，第28幅图中应铺85块黑色瓷砖。
【点睛】本题考查了数与形，有一定推理概括能力是解题的关键。
11． 114 m（m＋1）＋4
【分析】由题意可知：第1个图形有1×2＋4＝6个三角形，第2个图形有4＋2×3＝10个三角形，第3个图形有4＋3×4＝16个三角形，……，由此得出第n个图形中有n（n＋1）＋4个三角形，进一步代入求得答案。
【详解】第1个图形有1×2＋4＝6个三角形，
第2个图形有4＋2×3＝10个三角形，
第3个图形有4＋3×4＝16个三角形，
……，
所以，第m个图形中有m（m＋1）＋4个三角形，第10个图形棋子的颗数为：
10×（10＋1）＋4
＝10×11＋4
＝110＋4
＝114（个）
【点睛】本题考查了数与形，有一定抽象概括能力是解题的关键。
12．65
【详解】略
13．4＋4×7
【分析】第一个图形：有1个正方形，周长是4cm；
第二个图形：有（1＋1＋1）个正方形，周长是（4＋4×1）cm；
第三个图形：有（1＋2＋2）个正方形，周长是（4＋4×2）cm；
第四个图形：有（1＋3＋3）个正方形，周长是（4＋4×3）cm；
第五个图形：有（1＋4＋4）个正方形，周长是（4＋4×4）cm；
第六个图形：有（1＋5＋5）个正方形，周长是（4＋4×5）cm；
第七个图形：有（1＋6＋6）个正方形，周长是（4＋4×6）cm；
第八个图形：有（1＋7＋7）个正方形，周长是（4＋4×7）cm。
【详解】由分析得：
第8个图形的算式是：4＋4×7。
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
14． 13 19 3n＋1
【分析】观察图形，发现第2幅图是在第1幅图的外面增加3个圆片，第3幅图是在第2幅图的外面增加3个圆片，依次类推即可。
【详解】根据分析，第n幅图中有4＋3（n－1）＝3n＋1（个）圆片，把n＝4，n＝6代入进式子中，得出第4幅图中有13个圆片，第6幅图中有19个圆片。
【点睛】本题主要考查根据图形发现规律，能够找出相邻图形的不同，并进行归纳是解题的关键。
15．（1）见详解
（2）21根
（3）（2n＋1）根
【分析】（1）结合图形观察发现：每增加一个三角形，就需要增加两根小棒，因此摆五个三角形，需要11根小棒；摆六个三角形，需要13根小棒，据此画图即可。
（2）根据上述规律可知，第一个图形用了2×1＋1＝3根小棒；第二个图形用了2×2＋1＝5根小棒；第三个图形用了2×3＋1＝7根小棒……依次类推，第10个图形用2×10＋1=21根小棒。
（3）结合图形，综合上述规律可知：搭n个三角形需要（2n＋1）根小棒。
【详解】（1）如图：

（2）第10幅图形的小棒数：
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：第10个图形用了21根小棒。
（3）第n个图形用的小棒是：
2×n＋1
＝2n＋1
＝（2n＋1）根
答：搭n个三角形需要（2n＋1）根小棒。
【点睛】本题考查看图找规律，通过图形发现每增加一个三角形，就需要增加两根小棒。
16．（1）见详解
（2）50；1＋7n
【分析】（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋2×7，摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋3×7，⋯摆n个八边形需要的小棒数为：（1＋7n）根，据此解答即可。
【详解】（1）如图所示：

（2）摆7个八边形需要小棒的根数为：
1＋7n＝1＋7×7
＝1＋49
＝50
则摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。
【点睛】本题主要考查数.与形结合的规律，发现每多1个八边形就多7根小棒是解本题的关键。
17．图形见详解；100
【分析】观察图形可知，第一个图形有1个三角形，第二个图形有4个三角形，第三个图形有9个三角形，第四个图形有16个三角形，则第n个图形有n2个三角形。据此解答即可。
【详解】由分析可知：
第五个图形有52＝25个三角形，第六个图形有62＝36个三角形
如图所示：
第10个图形中有102＝100个三角形。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
18．（1）我选择的三位数是123，依次可得到：326，963，999，999，999…
（2）根据题中规律，总是会得到一个相同的三位数999．
【详解】通过分析可知运算规律：百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为 下一个数的十位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则急需相加直到得出一位数，据此解答即可．
19．17、18、24、25
【分析】此题考查了简单图形覆盖现象中的规律，明确：横着相邻的两个数，从左向右依次增加1；竖着相邻2个数，从上向下依次增加7，是解答此题的关键．
【详解】（1）根据表中数据可知：横着相邻的两个数，从左向右依次增加1；竖着相邻2个数，从上向下依次增加7；因为17＋18＋24＋25＝84，所以这四个数分别是17、18、24、25；
因为17＋18＋24＋25＝84，所以这四个数分别是17、18、24、25。
20．（1）五层的“宝塔”最下层包含9个小三角形，六层有11个，七层有13个，n层有2n－1个．
（2）整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形，六层有36个，七层有49个，n层有n2个．
【分析】（1）第一个图形的最下面一层是1个三角形，第二个图形最下面的一层是（1＋2）个三角形，第三个图形最下面的一层是（1＋2＋2）个三角形……，则第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2个三角形，据此即可解答问题．
（2）第一个图形有1层，有1＝12个三角形，第二个图形有2层，有1＋3＝22个三角形，第三个图形有3层，有1＋3＋5＝32个三角形，第三个图形有4层，有1＋3＋5＋7＝42个三角形，据此推测第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形．
【详解】（1）五层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＝9
六层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＝11
七层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝13
第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2＝2n－1个
（2）第五个图形：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52
第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＝36＝62
第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝72
第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形．
【点睛】解答本题的关键是：根据图形及其数列的变化规律求解即可．