还剩14页未读,
继续阅读
5升6奥数拓展:数与形-数学六年级上册人教版
展开
这是一份5升6奥数拓展:数与形-数学六年级上册人教版,共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
5升6奥数拓展:数与形-数学六年级上册人教版
一、选择题
1.用木杆搭建围栏。按照下面的规律搭下去,第⑦幅图用( )根木杆。
……
A.26 B.28 C.30
2.观察下面点阵图的规律,第6幅点阵图中有( )个点。
……
A.18 B.21 C.24 D.27
3.用小木棒按下图方式摆放图形,第⑧个图形需要( )根小木棒。
A.33 B.30 C.36 D.27
4.如下图,第5个图形是由( )个小正方形拼成的。
A.16 B.20 C.25 D.36
5.观察下面的点子图,如果按图中的规律画下去,第⑧个方框里应画( )个点。
A.29 B.31 C.33
6.下表中下一行自然数的个数是上一行的2倍,根据规律第五行的最后一个数是( )。
第一行
1
第二行
2,3
第三行
4,5,6,7
…
…
A.15 B.31 C.45 D.63
二、填空题
7.仔细观察,根据发现的规律把表格填完整。
第几幅图
1
2
3
5
…
n
共几个面在外面
( )
( )
( )
( )
…
( )
8.观察下面每个图形中灰色小正方形的个数。
照这样接着画下去,第10个图形中有( )个灰色小正方形。
9.先观察下面算式的规律,再填一填。
( )
( )
( )
10.按要求做一做。
1=12 l+2+1=22 1+2+3+2+1=32
(1)利用上面的规律直接写一写。
1+2+3+4+3+2+1=( )2
1+2+3+4+5+4+3+2+1=( )2
=72
(2)利用上面的规律算一算。
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=( )
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=( )
11.“彩云之南——云南”是一个多民族省份,全省有25个少数民族。苗族、哈尼族等少数民族在庆祝重大喜庆节日时,至今还有摆长龙宴的习俗。长龙宴就是将若干张桌子拼在一起摆成长长的宴席,如图。
问题:如果每张桌子每边坐2人,那么摆:1张桌子可以坐8人,2张桌子可以坐12人,3张桌子可以坐16人,5张桌子可以坐( )人,n张桌子可以坐( )人。
12.下面是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,那么第5个图案由( )个基础图形组成,第n个图案由( )个基础图形组成。
13.按照下面图形的变化规律,完成表格。
正方形个数
2
3
4
…
…
直角三角形个数
4
8
…
100
…
14.用大小一样的圆形画图,先观察前四幅图阴影部分面积与1个圆面积的关系,再根据这个规律推算第五幅图阴影部分的面积相当于( )个圆的面积。
三、解答题
15.下图是由三角形构成的。
(1)填写下表。
图号
①
②
③
④
白色三角形个数
( )
( )
( )
( )
黑色三角形个数
( )
( )
( )
( )
(2)照这样的规律画下去,第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形?
16.搭建如图(1)的单顶帐篷需要17根钢管,若这样的帐篷按图(2)、图(3)的方式串起来搭建,则可节省结合处的钢管,那么串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管?
17.照这样的规律接着画下去,第5个图形中有多少个○?第8个图形呢?
32-1=8 42-22=12 52-32=16
18.请根据下面图形与数的规律画一画,并填一填。
想一想:第10个图形中有( )个小三角形。
19.观察日历找规律。
(1)观察日历中加框的4个数,你发现了什么?
(2)观察日历中加阴影的9个数,你又发现了什么?
(3)你还能在日历中找到什么规律?
20.先完成下面的计算,再探索规律,回答问题。
前2个奇数的和:( )
前3个奇数的和:( )
前4个奇数的和:( )
前5个奇数的和:( )
……
(1)前9个奇数的和是奇数还是偶数?前100个奇数的和是奇数还是偶数?请说明理由。
(2)在自然数中,按奇数从小到大的顺序,前n个奇数的和有什么规律?试着用这个规律求出前86个奇数的和。
参考答案:
1.C
【分析】看图,每幅图都是在上一幅图的基础上增加4根木杆。第①幅图用2+4×1=6(根)木杆,第②幅图用2+4×2=10(根)木杆,第③幅图用2+4×3=14(根)木杆。据此类推,那么第⑦幅图需要用(2+4×7)根木杆。
【详解】2+4×7
=2+28
=30(根)
所以,第⑦幅图用30根木杆。
故答案为:C
【点睛】本题考查了数与形,有一定观察总结能力是解题的关键。
2.B
【分析】通过观察,第1幅点阵图中有(3+3)个点,第2幅点阵图中有(3+3+3)个点;第3幅点阵图中有(3+3+3+3)个点……以此类推,可得出第n幅点阵图中有(3+3n)个点,据此解答。
【详解】据分析可知,第n幅点阵图中有(3+3n)个点;
第6幅点阵图中有
3+3×6
=3+18
=21(个)
第6幅点阵图中有21个点。
故答案为:B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律,关键根据图示发现这组图形的规律,并运用规律做题。
3.D
【分析】第1个图形需要6根小木棒,第2个图形需要(6+3)根小木棒,第3个图形需要(6+3×2)根小木棒……每增加一个正方形增加3根小木棒,第n个图形需要[6+3×(n-1)]根小木棒,最后求出n=8时式子的值,据此解答。
【详解】第n个图形需要小木棒的数量:6+3×(n-1)
=6+3n-3×1
=6+3n-3
=3n+6-3
=(3n+3)根
当n=8时。
3n+3
=3×8+3
=24+3
=27(根)
所以,第⑧个图形需要27根小木棒。
故答案为:D
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用,找出小木棒数量的变化规律是解答题目的关键。
4.C
【分析】观察图形,第1个图形是由1×1=1=12个小正方形拼成的,第2个图形是由2×2=4=22个小正方形拼成的,第3个图形是由3×3=9=32个小正方形拼成的,依次类推,可以看出第5个图形是由52个小正方形拼成的。据此解答。
【详解】52=5×5=25(个)
即第5个图形是由25个小正方形拼成的。
故答案为:C
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合,通过观察图形,把图形中变化的规律转化成数字,多多练习,培养数感。
5.A
【分析】根据图示,第1个方框中的点为:1个;第2个方框中的点为:1+4=5(个);第3个方框中的点为:1+4+4=9(个);第4个方框中的点为:1+4+4+4=12(个);则第n个方框中的点为:1+4(n-1)=(4n-3)个。据此解答。
【详解】第⑧个方框里应画的点数为:
4n-3=4×8-3
=32-3
=29(个)
则第⑧个方框里应画29个点。
故答案为:A
【点睛】本题考查了图形的变化类问题,主要培养学生的观察能力和总结能力。
6.B
【分析】观察发现每一行数字的特点:
第一行有1个数字且第一行第一个数字是1;
第二行有2个数字且第二行第一个数字是2,2=21=22-1;
第三行有4个数字且第三行第一个数字是4,4=22=23-1;
……
规律:第n行有2n-1个数字,第一个数字是2n-1,按此规律解答。
【详解】规律:第n行有2n-1个数字,第一个数字是2n-1。
当n=5时
2n-1=25-1=24=16
第五行有16个数字,且第一个数字是16;
最后一个数字是:16+16-1=31
根据规律第五行的最后一个数是31。
故答案为:B
【点睛】本题是找规律的题型,从已知的数据中找到规律,并按规律解题。
7.5;9;13;21;1+4n
【分析】每增加1个正方体就增加4个露在外面的面,所以露在外面的面的个数=5+(总个数-1)×4。
【详解】露在外面的面的个数=5+(n-1)×4。
=5+4n-4
=1+4n
第几幅图
1
2
3
5
…
n
共几个面在外面
5
9
13
21
…
1+4n
【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。
8.21
【分析】图1是边长为1+1=2的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个即2×2-1=3个;图2是边长为2+1=3的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个即3×2-1=5个;图3是边长为3+1=4的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个即4×2-1=7个;同理第4图灰色小正方形个数等于5×2-1=9个,据此规律解答。
【详解】根据分析,图10是边长为10+1=11的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个。
11×2-1
=22-1
=21(个)
照这样接着画下去,第10个图形中有(21)个灰色小正方形。
【点睛】考查应用数形结合探求规律,本题规律是:第n图的边长是(n+1),灰色小正方形个数等于2(n+1)-1。
9.
【分析】如下图,把正方形看作单位“1”。由图一可知:==;由图二可知:==;由图三可知:==;由图四可知:==;……由此发现规律:一个连加算式,第一个加数是,之后每个加数都是前一个加数的一半,这个算式的结果就是1减去最后一个加数所得的差。
【详解】=
=
=
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法,可以帮助理解计算方法,进行计算。
10.(1) 4 5 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1
(2) 36 81
【分析】第一个图中小正方形个数是1;第二个图中从对角线的方向观察,小正方形个数是左下角1个、涂色的2个、右上角1个的和即1+2+1,其结果等于2的平方;同理第三个图中小正方形个数等于1+2+3+2+1的结果即3的平方,据此规律解答。
【详解】(1)根据分析:
1+2+3+4+3+2+1=(4)2
1+2+3+4+5+4+3+2+1=(5)2
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=72
(2)1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62=6×6=(36)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=92=9×9=(81)
【点睛】考查应用数形结合方法探求规律,本题规律是:算式左边的加数加起来,和就是正方形图中包含的小正方形个数。
11. 24 4+4n
【分析】通过观察图形可知,1张桌子可以坐8人,2张桌子可以坐(8+4)人,3张桌子可以坐(8+4+4)人,……多一张桌子多坐4人,以此类推,n张桌子可以坐[8+4(n-1)]人。据此解答。
【详解】n张桌子可以坐:
8+4(n-1)
=8+4n-4
=(4+4n)人
当n=5时,
4×5+4
=20+4
=24(人)
5张桌子可以坐24人,n张桌子可以坐(4+4n)人。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律,关键根据图示发现这组图形的规律,并运用规律做题。
12. 16 3n+1/1+3n
【分析】观察图形,每个图案都在上个图案的基础上加上3个基础图形。第1个图案由1+3×1=4(个)基础图形组成,第2个图案由1+3×2=7(个)基础图形组成,第3个图案由1+3×3=10(个)基础图形组成。据此类推,第5个图案由1+3×5=16(个)基础图形组成,第n个图案由(1+3×n)个基础图形组成。
【详解】1+3×5
=1+15
=16(个)
1+3×n=1+3n=3n+1
所以,第5个图案由16个基础图形组成,第n个图案由(3n+1)个基础图形组成。
【点睛】本题考查了数与形,有一定观察总结能力是解题的关键。
13.(从左到右的顺序)12;26
【分析】第1个图,正方形有2个,直角三角形有4个,4=4×1;第2个图,正方形有3个,直角三角形有8个,8=4×2;第3个图,正方形有4个,直角三角形有12个,12=4×3;……由此发现规律:第n个图,正方形有(n+1)个,直角三角形有4n个。
【详解】4×(4-1)
=4×3
=12(个)
所以当正方形有4个时,直角三角形有12个。
解:设第n个图有100个直角三角形。
4n=100
4n÷4=100÷4
n=25
n+1=25+1=26(个)
所以当直角三角形有100个时,正方形有26个。
完成表格如下:
正方形个数
2
3
4
…
26
…
直角三角形个数
4
8
12
…
100
…
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时,一定要把图形和数一一对应。
14.
【分析】观察图示可知:阴影部分是由几个扇形组成的,且扇形的半径与所在圆的半径相等,扇形内角和可通过三角形内角和、四边形内角和推得,扇形的面积由半径和圆心角决定,据此可推算出第五幅图阴影部分的面积相当于几个圆的面积。
【详解】①三角形内角和为180°,阴影部分由三个扇形组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是三角形的一个内角,三个圆心角的和就等于三角形内角和180°,则S阴影=×S圆=S圆;
②四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,则S阴影=×S圆=S圆;
③四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和一个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上一个半圆圆心角为180°,则S阴影=×S圆=S圆;
④四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和两个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上两个半圆圆心角之和为360°,则S阴影=×S圆=2S圆;
⑤四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和三个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上三个半圆圆心角之和180°×3=540°,则S阴影=×S圆=S圆;
推算第五幅图阴影部分的面积相当于()个圆的面积。
【点睛】本题考查了图形变化的规律,需要对于多边形内角和比较熟悉,同时能够准确计算扇形的面积,还要善于发现图形之间的联系,找到变化的规律。
15.(1)见详解(2)45个;55个
【分析】(1)第一个图形,白色三角形数量为0个,黑色三角形数量为1=1个;
第二个图形,白色三角形数量为0+1=1个,黑色三角形数量为1+2=3个;
第三个图形,白色三角形数量为0+1+2=3个,黑色三角形数量为1+2+3=6个;
第四个图形,白色三角形数量为0+1+2+3=6个,黑色三角形数量为1+2+3+4=10个;
……
以此类推:
第n个图形,白色三角形数量为:1+2+……+(n-1)个,黑色三角形数量为:1+2+……+n个,据此解答。
【详解】(1)由分析得:
图号
①
②
③
④
白色三角形个数
0
1
3
6
黑色三角形个数
1
3
6
10
(2)白色三角形的个数:
1+2+……+9=45(个)
黑色三角形的个数:
1+2+……+10=55(个)
答:照这样的规律画下去,第10个图形中有45个白色三角形、55个黑色三角形。
【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。
16.226根
【分析】通过观察发现:帐篷的左侧面需要6根钢管。图(1)需要6+11=17(根)钢管;图(2)需要6+11×2=28(根)钢管;图(3)需要6+11×3=39(根)钢管;……由此发现规律:图(n)需要(6+11n)根钢管。据此求串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管列式为6+11×20。
【详解】6+11×20
=6+220
=226(根)
答:串搭20顶这样的帐篷需要226根钢管。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时,一定要把图形和数一一对应。
17.24个;36个
【分析】如下图,第1个图中○和●一共有32个,●的个数有12个,○的个数有32-12=8(个);第2个图中○和●一共有42个,●的个数有22个,○的个数有42-22=12(个);第3个图中○和●一共有52个,●的个数有32个,○的个数有52-32=16(个);……由此发现规律:第n个图中○和●一共有(n+2)2个,●的个数有n2个,○的个数有[(n+2)2-n2]个。
【详解】(5+2)2-52
=72-52
=49-25
=24(个)
(8+2)2-82
=102-82
=100-64
=36(个)
答:第5个图形中有24个○,第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法,可以帮助理解计算方法,进行计算。
18.图形见详解;100
【分析】观察图形可知,第一个图形有1个三角形,第二个图形有4个三角形,第三个图形有9个三角形,第四个图形有16个三角形,则第n个图形有n2个三角形。据此解答即可。
【详解】由分析可知:
第五个图形有52=25个三角形,第六个图形有62=36个三角形
如图所示:
第10个图形中有102=100个三角形。
【点睛】本题考查图形的变化规律,发现规律,利用规律是解题的关键。
19.(1)如果左上的数字为x,则右上为x+1,左下为:x+7,右下为:x+8。
(2)方框中9个数的和是中间数的9倍。
(3)表格每一列的数字从上到下依次增加7;每行中相邻的两个数字相差1。
【分析】(1)根据所给日历,利用日历中各数之间的关系,发现规律:如果左上的数字为x,则右上为x+1,左下为:x+7,右下为:x+8。
(2)根据所给日历,利用日历中的各数的关系,发现:中间的数为y,左面的数是y-1,右面是y+1,上面是y-7,下面是y+7,左上是y-8,右上是y-6;左下是y+6,右下是y+8,据此解答。
(3)根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7;每行中相邻的两个数字相差1。
【详解】(1)利用日历中各数之间的关系,发现规律:
如果左上的数字为x,则右上为x+1,左下为:x+7,右下为:x+8。
(2)10+11+12+17+18+19+24+25+26
=33+54+75
=162
=18×9
答:方框中9个数的和是中间数的9倍。
(3)我发现:表格每一列的数字从上到下依次增加7;每行中相邻的两个数字相差1。
【点睛】本题考查了数表中的规律,月历卡中不同的和的情况要一行一行的找,再相加进行解答。
20.4;9;16;25
(1)奇数;偶数;理由:求前几个奇数的和等于个数的平方。
(2)前n个奇数的和为n2;7396
【分析】先直接计算出算式的结果;再观察规律;
(1)可得规律为:求前几个奇数的和等于个数的平方,前9个奇数的和是:9×9=81;前100个奇数的和是:100×100=10000;据此解答;
(2)前n个奇数的和的规律为:n2,将n=86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和:1+3=(4)
前3个奇数的和:1+3+5=(9)
前4个奇数的和:1+3+5+7=(16)
前5个奇数的和:1+3+5+7+9=(25)
(1)前9个奇数的和是奇数;前100个奇数的和是偶数;理由:求前几个奇数的和等于个数的平方,9×9=81,81是奇数;100×100=10000,10000是偶数。
(2)前n个奇数的和的规律为:n2
当n=86,86×86=7396
【点睛】此题考查了数与形的知识,关键能够结合算式找出规律。
5升6奥数拓展:数与形-数学六年级上册人教版
一、选择题
1.用木杆搭建围栏。按照下面的规律搭下去,第⑦幅图用( )根木杆。
……
A.26 B.28 C.30
2.观察下面点阵图的规律,第6幅点阵图中有( )个点。
……
A.18 B.21 C.24 D.27
3.用小木棒按下图方式摆放图形,第⑧个图形需要( )根小木棒。
A.33 B.30 C.36 D.27
4.如下图,第5个图形是由( )个小正方形拼成的。
A.16 B.20 C.25 D.36
5.观察下面的点子图,如果按图中的规律画下去,第⑧个方框里应画( )个点。
A.29 B.31 C.33
6.下表中下一行自然数的个数是上一行的2倍,根据规律第五行的最后一个数是( )。
第一行
1
第二行
2,3
第三行
4,5,6,7
…
…
A.15 B.31 C.45 D.63
二、填空题
7.仔细观察,根据发现的规律把表格填完整。
第几幅图
1
2
3
5
…
n
共几个面在外面
( )
( )
( )
( )
…
( )
8.观察下面每个图形中灰色小正方形的个数。
照这样接着画下去,第10个图形中有( )个灰色小正方形。
9.先观察下面算式的规律,再填一填。
( )
( )
( )
10.按要求做一做。
1=12 l+2+1=22 1+2+3+2+1=32
(1)利用上面的规律直接写一写。
1+2+3+4+3+2+1=( )2
1+2+3+4+5+4+3+2+1=( )2
=72
(2)利用上面的规律算一算。
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=( )
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=( )
11.“彩云之南——云南”是一个多民族省份,全省有25个少数民族。苗族、哈尼族等少数民族在庆祝重大喜庆节日时,至今还有摆长龙宴的习俗。长龙宴就是将若干张桌子拼在一起摆成长长的宴席,如图。
问题:如果每张桌子每边坐2人,那么摆:1张桌子可以坐8人,2张桌子可以坐12人,3张桌子可以坐16人,5张桌子可以坐( )人,n张桌子可以坐( )人。
12.下面是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,那么第5个图案由( )个基础图形组成,第n个图案由( )个基础图形组成。
13.按照下面图形的变化规律,完成表格。
正方形个数
2
3
4
…
…
直角三角形个数
4
8
…
100
…
14.用大小一样的圆形画图,先观察前四幅图阴影部分面积与1个圆面积的关系,再根据这个规律推算第五幅图阴影部分的面积相当于( )个圆的面积。
三、解答题
15.下图是由三角形构成的。
(1)填写下表。
图号
①
②
③
④
白色三角形个数
( )
( )
( )
( )
黑色三角形个数
( )
( )
( )
( )
(2)照这样的规律画下去,第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形?
16.搭建如图(1)的单顶帐篷需要17根钢管,若这样的帐篷按图(2)、图(3)的方式串起来搭建,则可节省结合处的钢管,那么串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管?
17.照这样的规律接着画下去,第5个图形中有多少个○?第8个图形呢?
32-1=8 42-22=12 52-32=16
18.请根据下面图形与数的规律画一画,并填一填。
想一想:第10个图形中有( )个小三角形。
19.观察日历找规律。
(1)观察日历中加框的4个数,你发现了什么?
(2)观察日历中加阴影的9个数,你又发现了什么?
(3)你还能在日历中找到什么规律?
20.先完成下面的计算,再探索规律,回答问题。
前2个奇数的和:( )
前3个奇数的和:( )
前4个奇数的和:( )
前5个奇数的和:( )
……
(1)前9个奇数的和是奇数还是偶数?前100个奇数的和是奇数还是偶数?请说明理由。
(2)在自然数中,按奇数从小到大的顺序,前n个奇数的和有什么规律?试着用这个规律求出前86个奇数的和。
参考答案:
1.C
【分析】看图,每幅图都是在上一幅图的基础上增加4根木杆。第①幅图用2+4×1=6(根)木杆,第②幅图用2+4×2=10(根)木杆,第③幅图用2+4×3=14(根)木杆。据此类推,那么第⑦幅图需要用(2+4×7)根木杆。
【详解】2+4×7
=2+28
=30(根)
所以,第⑦幅图用30根木杆。
故答案为:C
【点睛】本题考查了数与形,有一定观察总结能力是解题的关键。
2.B
【分析】通过观察,第1幅点阵图中有(3+3)个点,第2幅点阵图中有(3+3+3)个点;第3幅点阵图中有(3+3+3+3)个点……以此类推,可得出第n幅点阵图中有(3+3n)个点,据此解答。
【详解】据分析可知,第n幅点阵图中有(3+3n)个点;
第6幅点阵图中有
3+3×6
=3+18
=21(个)
第6幅点阵图中有21个点。
故答案为:B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律,关键根据图示发现这组图形的规律,并运用规律做题。
3.D
【分析】第1个图形需要6根小木棒,第2个图形需要(6+3)根小木棒,第3个图形需要(6+3×2)根小木棒……每增加一个正方形增加3根小木棒,第n个图形需要[6+3×(n-1)]根小木棒,最后求出n=8时式子的值,据此解答。
【详解】第n个图形需要小木棒的数量:6+3×(n-1)
=6+3n-3×1
=6+3n-3
=3n+6-3
=(3n+3)根
当n=8时。
3n+3
=3×8+3
=24+3
=27(根)
所以,第⑧个图形需要27根小木棒。
故答案为:D
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用,找出小木棒数量的变化规律是解答题目的关键。
4.C
【分析】观察图形,第1个图形是由1×1=1=12个小正方形拼成的,第2个图形是由2×2=4=22个小正方形拼成的,第3个图形是由3×3=9=32个小正方形拼成的,依次类推,可以看出第5个图形是由52个小正方形拼成的。据此解答。
【详解】52=5×5=25(个)
即第5个图形是由25个小正方形拼成的。
故答案为:C
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合,通过观察图形,把图形中变化的规律转化成数字,多多练习,培养数感。
5.A
【分析】根据图示,第1个方框中的点为:1个;第2个方框中的点为:1+4=5(个);第3个方框中的点为:1+4+4=9(个);第4个方框中的点为:1+4+4+4=12(个);则第n个方框中的点为:1+4(n-1)=(4n-3)个。据此解答。
【详解】第⑧个方框里应画的点数为:
4n-3=4×8-3
=32-3
=29(个)
则第⑧个方框里应画29个点。
故答案为:A
【点睛】本题考查了图形的变化类问题,主要培养学生的观察能力和总结能力。
6.B
【分析】观察发现每一行数字的特点:
第一行有1个数字且第一行第一个数字是1;
第二行有2个数字且第二行第一个数字是2,2=21=22-1;
第三行有4个数字且第三行第一个数字是4,4=22=23-1;
……
规律:第n行有2n-1个数字,第一个数字是2n-1,按此规律解答。
【详解】规律:第n行有2n-1个数字,第一个数字是2n-1。
当n=5时
2n-1=25-1=24=16
第五行有16个数字,且第一个数字是16;
最后一个数字是:16+16-1=31
根据规律第五行的最后一个数是31。
故答案为:B
【点睛】本题是找规律的题型,从已知的数据中找到规律,并按规律解题。
7.5;9;13;21;1+4n
【分析】每增加1个正方体就增加4个露在外面的面,所以露在外面的面的个数=5+(总个数-1)×4。
【详解】露在外面的面的个数=5+(n-1)×4。
=5+4n-4
=1+4n
第几幅图
1
2
3
5
…
n
共几个面在外面
5
9
13
21
…
1+4n
【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。
8.21
【分析】图1是边长为1+1=2的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个即2×2-1=3个;图2是边长为2+1=3的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个即3×2-1=5个;图3是边长为3+1=4的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个即4×2-1=7个;同理第4图灰色小正方形个数等于5×2-1=9个,据此规律解答。
【详解】根据分析,图10是边长为10+1=11的正方形,灰色小正方形个数等于边长的2倍减掉共同顶点处的1个。
11×2-1
=22-1
=21(个)
照这样接着画下去,第10个图形中有(21)个灰色小正方形。
【点睛】考查应用数形结合探求规律,本题规律是:第n图的边长是(n+1),灰色小正方形个数等于2(n+1)-1。
9.
【分析】如下图,把正方形看作单位“1”。由图一可知:==;由图二可知:==;由图三可知:==;由图四可知:==;……由此发现规律:一个连加算式,第一个加数是,之后每个加数都是前一个加数的一半,这个算式的结果就是1减去最后一个加数所得的差。
【详解】=
=
=
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法,可以帮助理解计算方法,进行计算。
10.(1) 4 5 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1
(2) 36 81
【分析】第一个图中小正方形个数是1;第二个图中从对角线的方向观察,小正方形个数是左下角1个、涂色的2个、右上角1个的和即1+2+1,其结果等于2的平方;同理第三个图中小正方形个数等于1+2+3+2+1的结果即3的平方,据此规律解答。
【详解】(1)根据分析:
1+2+3+4+3+2+1=(4)2
1+2+3+4+5+4+3+2+1=(5)2
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=72
(2)1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62=6×6=(36)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=92=9×9=(81)
【点睛】考查应用数形结合方法探求规律,本题规律是:算式左边的加数加起来,和就是正方形图中包含的小正方形个数。
11. 24 4+4n
【分析】通过观察图形可知,1张桌子可以坐8人,2张桌子可以坐(8+4)人,3张桌子可以坐(8+4+4)人,……多一张桌子多坐4人,以此类推,n张桌子可以坐[8+4(n-1)]人。据此解答。
【详解】n张桌子可以坐:
8+4(n-1)
=8+4n-4
=(4+4n)人
当n=5时,
4×5+4
=20+4
=24(人)
5张桌子可以坐24人,n张桌子可以坐(4+4n)人。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律,关键根据图示发现这组图形的规律,并运用规律做题。
12. 16 3n+1/1+3n
【分析】观察图形,每个图案都在上个图案的基础上加上3个基础图形。第1个图案由1+3×1=4(个)基础图形组成,第2个图案由1+3×2=7(个)基础图形组成,第3个图案由1+3×3=10(个)基础图形组成。据此类推,第5个图案由1+3×5=16(个)基础图形组成,第n个图案由(1+3×n)个基础图形组成。
【详解】1+3×5
=1+15
=16(个)
1+3×n=1+3n=3n+1
所以,第5个图案由16个基础图形组成,第n个图案由(3n+1)个基础图形组成。
【点睛】本题考查了数与形,有一定观察总结能力是解题的关键。
13.(从左到右的顺序)12;26
【分析】第1个图,正方形有2个,直角三角形有4个,4=4×1;第2个图,正方形有3个,直角三角形有8个,8=4×2;第3个图,正方形有4个,直角三角形有12个,12=4×3;……由此发现规律:第n个图,正方形有(n+1)个,直角三角形有4n个。
【详解】4×(4-1)
=4×3
=12(个)
所以当正方形有4个时,直角三角形有12个。
解:设第n个图有100个直角三角形。
4n=100
4n÷4=100÷4
n=25
n+1=25+1=26(个)
所以当直角三角形有100个时,正方形有26个。
完成表格如下:
正方形个数
2
3
4
…
26
…
直角三角形个数
4
8
12
…
100
…
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时,一定要把图形和数一一对应。
14.
【分析】观察图示可知:阴影部分是由几个扇形组成的,且扇形的半径与所在圆的半径相等,扇形内角和可通过三角形内角和、四边形内角和推得,扇形的面积由半径和圆心角决定,据此可推算出第五幅图阴影部分的面积相当于几个圆的面积。
【详解】①三角形内角和为180°,阴影部分由三个扇形组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是三角形的一个内角,三个圆心角的和就等于三角形内角和180°,则S阴影=×S圆=S圆;
②四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,则S阴影=×S圆=S圆;
③四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和一个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上一个半圆圆心角为180°,则S阴影=×S圆=S圆;
④四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和两个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上两个半圆圆心角之和为360°,则S阴影=×S圆=2S圆;
⑤四边形内角和为360°,阴影部分由四个扇形和三个半圆组成,扇形半径与圆的半径相等,每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角,四个圆心角的和就等于四边形内角和360°,再加上三个半圆圆心角之和180°×3=540°,则S阴影=×S圆=S圆;
推算第五幅图阴影部分的面积相当于()个圆的面积。
【点睛】本题考查了图形变化的规律,需要对于多边形内角和比较熟悉,同时能够准确计算扇形的面积,还要善于发现图形之间的联系,找到变化的规律。
15.(1)见详解(2)45个;55个
【分析】(1)第一个图形,白色三角形数量为0个,黑色三角形数量为1=1个;
第二个图形,白色三角形数量为0+1=1个,黑色三角形数量为1+2=3个;
第三个图形,白色三角形数量为0+1+2=3个,黑色三角形数量为1+2+3=6个;
第四个图形,白色三角形数量为0+1+2+3=6个,黑色三角形数量为1+2+3+4=10个;
……
以此类推:
第n个图形,白色三角形数量为:1+2+……+(n-1)个,黑色三角形数量为:1+2+……+n个,据此解答。
【详解】(1)由分析得:
图号
①
②
③
④
白色三角形个数
0
1
3
6
黑色三角形个数
1
3
6
10
(2)白色三角形的个数:
1+2+……+9=45(个)
黑色三角形的个数:
1+2+……+10=55(个)
答:照这样的规律画下去,第10个图形中有45个白色三角形、55个黑色三角形。
【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。
16.226根
【分析】通过观察发现:帐篷的左侧面需要6根钢管。图(1)需要6+11=17(根)钢管;图(2)需要6+11×2=28(根)钢管;图(3)需要6+11×3=39(根)钢管;……由此发现规律:图(n)需要(6+11n)根钢管。据此求串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管列式为6+11×20。
【详解】6+11×20
=6+220
=226(根)
答:串搭20顶这样的帐篷需要226根钢管。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时,一定要把图形和数一一对应。
17.24个;36个
【分析】如下图,第1个图中○和●一共有32个,●的个数有12个,○的个数有32-12=8(个);第2个图中○和●一共有42个,●的个数有22个,○的个数有42-22=12(个);第3个图中○和●一共有52个,●的个数有32个,○的个数有52-32=16(个);……由此发现规律:第n个图中○和●一共有(n+2)2个,●的个数有n2个,○的个数有[(n+2)2-n2]个。
【详解】(5+2)2-52
=72-52
=49-25
=24(个)
(8+2)2-82
=102-82
=100-64
=36(个)
答:第5个图形中有24个○,第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法,可以帮助理解计算方法,进行计算。
18.图形见详解;100
【分析】观察图形可知,第一个图形有1个三角形,第二个图形有4个三角形,第三个图形有9个三角形,第四个图形有16个三角形,则第n个图形有n2个三角形。据此解答即可。
【详解】由分析可知:
第五个图形有52=25个三角形,第六个图形有62=36个三角形
如图所示:
第10个图形中有102=100个三角形。
【点睛】本题考查图形的变化规律,发现规律,利用规律是解题的关键。
19.(1)如果左上的数字为x,则右上为x+1,左下为:x+7,右下为:x+8。
(2)方框中9个数的和是中间数的9倍。
(3)表格每一列的数字从上到下依次增加7;每行中相邻的两个数字相差1。
【分析】(1)根据所给日历,利用日历中各数之间的关系,发现规律:如果左上的数字为x,则右上为x+1,左下为:x+7,右下为:x+8。
(2)根据所给日历,利用日历中的各数的关系,发现:中间的数为y,左面的数是y-1,右面是y+1,上面是y-7,下面是y+7,左上是y-8,右上是y-6;左下是y+6,右下是y+8,据此解答。
(3)根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7;每行中相邻的两个数字相差1。
【详解】(1)利用日历中各数之间的关系,发现规律:
如果左上的数字为x,则右上为x+1,左下为:x+7,右下为:x+8。
(2)10+11+12+17+18+19+24+25+26
=33+54+75
=162
=18×9
答:方框中9个数的和是中间数的9倍。
(3)我发现:表格每一列的数字从上到下依次增加7;每行中相邻的两个数字相差1。
【点睛】本题考查了数表中的规律,月历卡中不同的和的情况要一行一行的找,再相加进行解答。
20.4;9;16;25
(1)奇数;偶数;理由:求前几个奇数的和等于个数的平方。
(2)前n个奇数的和为n2;7396
【分析】先直接计算出算式的结果;再观察规律;
(1)可得规律为:求前几个奇数的和等于个数的平方,前9个奇数的和是:9×9=81;前100个奇数的和是:100×100=10000;据此解答;
(2)前n个奇数的和的规律为:n2,将n=86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和:1+3=(4)
前3个奇数的和:1+3+5=(9)
前4个奇数的和:1+3+5+7=(16)
前5个奇数的和:1+3+5+7+9=(25)
(1)前9个奇数的和是奇数;前100个奇数的和是偶数;理由:求前几个奇数的和等于个数的平方,9×9=81,81是奇数;100×100=10000,10000是偶数。
(2)前n个奇数的和的规律为:n2
当n=86,86×86=7396
【点睛】此题考查了数与形的知识,关键能够结合算式找出规律。