【数学】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，四位数为和，，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．是三次根式，不属于二次根式，故A选项不符合题意；
B．被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，故B选项符合题意；
C．，可化简为整数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D．被开方数含分母，需化为，不符合最简条件，故D选项不符合题意．
故答案选：B．
2. 已知的两条直角边、的长分别为3、4，则它的斜边的长为（ ）
A. 5B. C. D. 5或
【答案】A
【解析】在中，直角边，，根据勾股定理，斜边的长度为：．
故答案选：A．
3. 为防范新型毒品对青少年的危害，长寿某中学开展青少年禁毒知识竞赛，小王所在小组6名学生的真实成绩分别为，，，，，，由于小王不小心将其中一名成员的分错记为分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ）
A. 平均数变小，中位数变大B. 平均数不变，众数不变
C. 平均数变大，众数变大D. 平均数变大，中位数变大
【答案】D
【解析】小王所在小组6名学生的真实成绩分别为，，，，，，
∴真实成绩的平均数为，
∵排序后第三、四位数为和，
∴真实成绩的中位数为，
∵出现3次，出现次数最多，其余都只出现1次，
∴真实成绩的众数，
∵统计成绩（误记为）：，，，，，，
∴统计成绩的平均数为，
∵排序后第三、四位数均为，
∴统计成绩的中位数为，
∵出现4次，出现次数最多，
∴统计成绩的众数仍为，
∴平均数从到，变大，
中位数从到，变大，
众数保持不变，
故选：D．
4. 在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴，
，
故选：C．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】中被开方数不同的项不能直接合并，错误，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误
故选：C．
6. 关于x的一次函数的图象上有三个点，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数中，，
∴随增大而减小，
∵，
∴，
故选：B．
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 四边相等且对角线相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足条件但不是平行四边形，故A为假命题；
B．菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱形，故B为假命题；
C．矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为假命题；
D．四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合正方形的定义，故D为真命题．故选：D．
8. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是由沿直线翻折得到，
，
则，．
四边形是矩形，
，，．
在中，
，
．
设，则，，
在中，
，
，
解得：．
则．
故选：A．
9. 如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
四边形正方形，
，，
，
又∵，
∴，
，，
，
，
即，
∴是等腰直角三角形，，
，
，
故选：C．
10. 有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（ ）个．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】第一次操作后数列为．第二次操作时，对每个数取相反数得，加1后为，再取倒数得，
即，，，故①正确．
第三次操作后数列恢复为，形成周期为9项的循环．
计算余，对应第9项，即，故②正确．
每个周期9项的和为：
，
个周期余2项，总和为，故③正确．
综上，三个说法均正确，
故选D．
二、填空题
11. 若二次根式有意义，实数则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】由定理得被开方数，
故填：．
12. 王老师准备从八（1）班计算能力较好的五名同学中选一名同学参加全年级“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如表．若按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选_______同学．
【答案】丙
【解析】丙和丁的平均分都是分，高于甲的分和乙的分，
丙、丁成绩更优异．
丙的方差是，丁的方差是，，即丙的方差小于丁的方差，
丙发挥更稳定．
综上，丙成绩优异且发挥稳定，应选丙同学．故答案为：丙．
13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米．
【答案】18
【解析】如图所示：
∵是直角三角形，
∴，
∴大树的高度，
故答案为：18．
14. 若关于m的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为_______．
【答案】21
【解析】解不等式，
，
，
．
解不等式，
，
，
．
因为不等式组有解，所以，即；又因为最多有4个整数解，大于2的连续4个整数为3、4、5、6，所以，即，故．
对于一次函数，图象不经过第四象限，
则．
解，得；
解，得．
所以．
综合与，得，
满足条件的整数为6、7、8．
它们的和为．
故答案为：21．
15. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，，则的大小为_______，四边形的面积大小为_______．
【答案】①. ；②. 6
【解析】∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
过点A作于点F，如图所示：
在等腰中，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∵，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴正方形的面积为10，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；6．
16. 对于一个四位自然数a，如果a满足各个数位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，那么称这个数a为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记．例如：a＝1573，因为1+7＝5+3＝8，所以1573是一个“吉利数”，．若m是最小的“吉利数”，则=_______；若一个四位自然数n是“吉利数”，且为整数，则满足条件的四位自然数n的最大值与最小值之差为_______．
【答案】①. 98；②. 5544
【解析】根据“吉利数”定义，设，其中，且都是整数，，
，是千位，欲使的值取最小，取最小值即可，，也取最小值即可，
取最小值，取最小值，
则，
，
根据“吉利数”定义，设，其中，且都是整数，，
，
为整数，
是整数，
由于各个数位上的数字互不相同，代入数字验证，
当取最大值时，，
取最小值时，，
最大值为，
取最小值为，
，
故答案为，．
三、解答题
17. （1）计算：；
（2）计算：．
解：（1）原式；
（2）原式．
18. 如图，在平行四边形中，，于点F．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴①________，
∵，
∴②________，
∴，
∴③________，
∵平分，
∴④________，
在△ABE和△AGE中，
，
∴（⑤________），
∴．
（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
故答案为：①；②；③；
④；⑤．
19. 先化简，再求值：，其中
解：
，
当时，原式．
20. 2025年3月16日，2025重庆长寿湖半程马拉松比赛在长寿湖畔鸣枪起跑．某校为了解学生对长寿湖半程马拉松比赛的了解情况，举办了长寿湖半程马拉松知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）．
下面给出部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100.
八年级20名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在B组的数据是：
84，86，84，82，88，84，86，88，84.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有名学生，八年级有1100名学生参加了此次知识竞赛，请你结合数据，估计七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生共有多少人？
解：（1）由题意得，八年级20名学生的竞赛成绩在B组所占百分比为：，
∴，
∵把八年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数分别为84、86，
∴，
由题意得，，
故答案为：85，82，15；
（2）七年级的学生竞赛成绩更好，理由：七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同均为85.8，但七年级学生竞赛成绩的方差94小于八年级学生竞赛成绩的方差102
(答案不唯一) ；
（3），
答：估计七、八年级学生中半程马拉松竞赛成绩在90分及以上的人数约为575人．
21. 如图，学校C坐落于东西方向的公路一旁，当重型运输卡车P沿道路方向行驶时，在以卡车P为圆心，长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校C的距离越近噪声影响越大．已知学校C与直线上两点A，B的距离分别为和，，求：
（1）卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由．
（2）若重型卡车P沿道路方向行驶的速度为，卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长．
解：（1）卡车噪声对学校C有影响;
理由如下：如图，过点作于点，
由题意知，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形且，
根据题意，得，
∴，
∵，
∴卡车噪声对学校C有影响．
（2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵卡车的速度为，
∴影响时长为.
答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长为.
22. 长寿柚是长寿区的特色柚类品种，原名“长寿沙田柚”，自清朝光绪十三年（1887年）从广西沙田县引种以来，已有130余年的历史．经几代人精心培育，获其“源于沙田，优于沙田”的美评．某超市为了满足人们的需求，计划购进甲、乙两种规格精品沙田柚进行销售．经了解，每个乙种柚子的进价比每个甲种柚子的进价多2元，用600元购进甲种柚子的个数与用800元购进乙种柚子的个数相同．
（1）甲、乙两种柚子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种柚子共500个（两种都有），其中甲种柚子的个数不低于乙种柚子个数的3倍．若甲、乙两种柚子的售价分别为9元/个、12元/个，设购进甲种柚子m个，两种柚子全部售完时获得的利润为w元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
解：（1）设每个甲种柚子的进价为元，则每个乙种柚子的进价为元.
由题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则
答：每个甲种柚子的进价为元，每个乙种柚子的进价为元.
（2）由题意，得
解得：，
由题意，得
∵，
∴随的增大而减小，
又且为整数，
∴当时取得最大值，
，
则
答：购进甲种柚子个、乙种柚子个才能获得最大利润，为元.
23. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y．
（1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在如图2所示平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____．
（3）若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____．
解：（1）在平行四边形中，，
过点作于点．
，
，
，
，
，
，
∵点P从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒，的面积为，
∴当点P到达点时（秒），当点到达点时（秒），
∴当时，点在线段上，
此时；
当时，点P在线段上，
此时；
∴与的函数关系式为；
（2）函数图象如图：
由函数图象可得：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；
（答案不唯一）；
（3）平移直线与相交，函数图象如图：
把代入可得；
把代入可得，
解得：；
把代入可得，
解得；
由函数图象可得，直线与该函数图象有两个交点，
则常数的取值范围是．
24. 如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）x轴上存在点D，使得，求点D的坐标；
（3）在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线：交轴于点，当，则，则点，
设直线的解析式，
，
解得，
则直线的解析式；
（2）在x轴正半轴取一点，使得，如图，
∵直线：交轴于点，当，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
同理，在x轴负半轴也存在，
故点D的坐标为或；
（3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图，
∵，
∴，
则，
∵，，
∴，
设点，则，
那么，，
即，
解得或（舍去），
则直线解析式为，
∵第一象限内的点，
∴点P在直线上，
，
解得，
则点，
，
解得，
则点，
∵点与点关于直线对称，
∴，
解得，
则点，
故满足条件的点P的坐标为：或．
25. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点．
（1）如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF；
（2）如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE；
（3）在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积．
（1）解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
在和中，
∵，
∴（），
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接、，与相交于点P，
由（1）知，，
∴，
由旋转性质知，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接并延长到，使，过点作交直线于点，
当点在直线上运动时，点在直线上运动，
当时，有最小值，
此时，如图，与重合，与重合，
由（1）知为等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
，
，
，
，
．类别
甲
乙
丙
丁
平均分
90
94
97
97
方差
2
3.5
2
3.5
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
858
83.5
b
94
八年级
85.8
a
84
102