【数学】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版），共20页。试卷主要包含了 下列四个命题中，是假命题的是， 一组数据，4；， 估计的值应在等内容，欢迎下载使用。
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ，2，B. 1，，2C. 3，6，7D. 6，8，12
【答案】B
【解析】A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B
3. 如图为某电动车厂家某款电动车在去年5月到12月间销量（台）随月份（月）变化的图像，则下列说法正确的是（ ）
A. 5到8月之间，电动车销量（台）随月份（月）的增大而增大
B. 5月份销量最低
C. 9月份销量最高
D. 8月和11月销量相同
【答案】C
【解析】由图象可知：
6到7月之间，电动车销量y（台）随月份t（月）的增大而减小，原说法错误，故选项A不合题意；
7月份销量最低，原说法错误，故选项B不合题意；
9月份销量最高，故选项C符合题意；
8月和12月销量相同，原说法错误，故选项D不合题意．
故选：C．
4. 下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A为真命题．
B．对角线互相垂直的矩形是正方形．矩形的对角线原本相等且平分，若再满足垂直，则符合正方形的对角线性质，故B为真命题．
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C为真命题．
D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形，需先满足平行四边形条件，故D为假命题．
故选：D．
5. 一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是（ ）
A. 极差B. 方差C. 中位数D. 众数
【答案】B
【解析】原数据3，4，4，4，5的极差为5-3=2，
原数据3，4，4，4，5的中位数为4，
原数据3，4，4，4，5众数为4，
原数据3，4，4，4，5的平均数为=4，
原数据3，4，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4；
新数据的3，4，4，5的极差为5-3=2，
新数据的3，4，4，5的中位数为（4+4）÷2=4，
新数据的3，4，4，5的众数为4，
新数据的3，4，4，5的平均数为=4，
新数据的3，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5；
∴添加一个数据4，方差发生变化，
故选：B．
6. 估计的值应在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A. 32B. 34C. 37D. 41
【答案】C
【解析】第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
8. 如图，菱形的对角线、相交于点，菱形的周长为20，，于，连接，则线段的长度为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，菱形的周长为20，
∴，，，．
在中，由勾股定理得，
∴．
∵于E，∴．
又∵，
∴．
故选：B
9. 如图，已知正方形的边长为8，点在上，，点是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】A
【解析】连接，
∵正方形的边长为8，
∴垂直平分，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值是10；
故选：A．
10. 已知，，为正整数．下列说法：
始终大于；
若，则随的增大而增大；
若满足条件的整数有且只有个，则的值为．
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵为正整数，，
∴，说法正确；
由，
∵，
∴随的增大而增大，说法正确；
由，
∴，
∵整数的取值为，共有（个），
由当仅有个整数时，，
解得，
验证此时的取值为，符合条件，说法正确，
综上，均正确，共个，
故选：．
二、填空题
11. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】依题意，得，
解得：，
故答案为．
12. 已知一组数据1，3，9，8，3，则这组数据的中位数是______．
【答案】
【解析】从小到大排列为，，，，，
∴中位数为，
故答案为：．
13. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则关于方程组的解为______．
【答案】
【解析】∵一次函数和的图象经过点，
∴关于方程组解为；
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________．
【答案】
【解析】如图所示：连接、，过点向轴作垂线，垂足为，向轴作垂线，垂足为，
∵点D的坐标是，O是原点，
∴，，
在中，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
15. 若一次函数与y轴交于负半轴，关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_______．
【答案】
【解析】∵一次函数与y轴交于负半轴，
∴，且，
∴且，
∵，
不等式组整理得：，
由解集，得到，
即，
∴，且，
整数，，，，
∴，
故答案为：．
16. 对于一个四位自然数，如果满足：各数位上的数字均不等于0且互不相等，千位上的数字是百位上的数字的3倍，十位数字比个位数字大1，则称为“智能数”，则最大的“智能数”是______；对于一个“智能数”，若将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为，记，若是一个完全平方数时，则满足条件的自然数为______．
【答案】①. ；②.
【解析】对于一个“智能数”，
最大为，则，各数位上的数字均不等于0且互不相等，则最大为，，
∴最大的“智能数”是；
依题意，，，
∴，
∵是一个完全平方数，
∴是整数，
∴是的倍数，
∵，，则，
∵，，则，
经检验，当，时，是的倍数，
∴，则；
当，时，是的倍数，
∴，则重复，不合题意，
当，时，是的倍数，
∴，则；
当时，，
∴，则，
∴，不是完全平方公式，舍去，
当时，，
∴，则，
∴是完全平方公数，
∴满足条件的自然数，
故答案为：，．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）；
（2）求证：四边形为矩形．
证明：，①______．
四边形是菱形，
，，，
，
，②______，
又，四边形为③______．
，④______．
，
四边形为矩形．
（1）解：如图即为所求：
作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点
（2）证明：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
∴四边形为矩形．
故答案为：①；②；③平行四边形；④．
19. 有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于分，用表示，共分三组：．，．，．)，下面给出了部分信息：
抽取的对款评分数据是：，，，，，，，，，．
抽取的对款评分数据在组中的数据是：，，，．
抽取的对和的评分统计表：
抽取的的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为和哪款聊天机器人更受欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)；
（3）该区选取人参与款聊天机器人进行评分，选取人参与款聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有多少人？
解：（1）中组数据个数为%个，而组数据的个数为，
所以这组数据的中位数为
组数据的个数为个，
则，即，
评分的众数分，
故答案为：，，；
（2）机器人更受欢迎，
由表知，两款机器人评分的平均数相等，而评分的中位数大于，
所以评分的高分人数多于，
所以更受欢迎；
（3）(人)，
答：估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有人．
20. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求线段的长．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
同理：．
∴．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
如图：过点P作于M，
，
∴，，
∵，
∴，
∴.
21. 如图，在矩形中，，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着方向运动，点Q沿着方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将的长度记为，的面积记为．
（1）直接写出与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出的图象并写出的一条性质；
（3）若函数与有两个交点，求k的取值范围．
解：（1）当时，点Q在上运动，
则
当时，点Q在上运动，
同理可得：，
即，
则；
（2）对于，
当时，，当时，，当时，，
对于，
当时，，当时，，
通过对上述点描点、连线、绘制图象如下：
从图象看，当时，随x的增大而减小，当，随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点，
将代入得：，则，
将代入得：，则，
∴k的取值范围为：．
22. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，)
（1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km)
（2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计)
解：（1）分别过点B、C作于E，于F，
依题意可知：，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴，
又∵，
∴
（2）16分钟秒，
∵，，，
∴，
∴从A点运送到D点的时间为：，
∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将代入，得，
∴点B的坐标为，
将代入，得，解得，
∴点A的坐标为．
（2）∵点在直线上，
∴，
∴点P的坐标为．
如图，过点P作轴于点H．
∵，，
∴，．
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
∴，
设直线的表达式为．
将，代入，
得解得，
直线的表达式为．
（3）存在，E的坐标为或，理由如下：
∵轴，轴，
∴，
∵轴，
∴四边开形为矩形，
如图2，设点E的坐标为，
∵轴，
∴点Q的纵坐标也为．
把代入，得，解得．
∴点Q的坐标为，
∴，．
∵当时，矩形为正方形，
∴，解得或．
当时，；当时，，
∴当点E的坐标为或时，四边开形为正方形．
24. 在平行四边形中，为对角线，且，，为平面上的一点．
（1）如图1，若，垂足为点，，求的长；
（2）如图2，若点在边上，且，，求的长；
（3）如图3，若点在对角线所在直线上，交于点，点是的中点，连接，求证：．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交于点，
则，
由（1）可得是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
（3）证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵点在对角线所在直线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．类型
平均数
中位数
众数