【数学】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 式子有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意有：，
∴，
故选：A．
2. 如图，菱形中，边长为5，则该菱形周长是（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 25
【答案】C
【解析】∵菱形边长为5，
∴，
∴该菱形周长是．
故选：C.
3. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项A：，即，被开方数含分母2，需化为，故本选项的二次根式不是最简二次根式．
选项B：的被开方数为，无法分解为平方和以外的形式，且无分母，满足最简条件，故本选项的二次根式是最简二次根式．
选项C：的被开方数含分母3，需化为，故本选项的二次根式不是最简二次根式．
选项D：的被开方数含平方因数4，可化简为，故本选项的二次根式不是最简二次根式．
故选：B．
4. 已知一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：A.
5. 估计的值在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】D
【解析】，
∵，
∴，
∴，
∴的值在和之间，
故选：．
6. 一组数据是：35，42，36，38，40，75，42，50，这组数据的中位数是（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【答案】D
【解析】1．数据排序：将原数据从小到大排列：
原数据：35，42，36，38，40，75，42，50
排序后：35，36，38，40，42，42，50，75
2．确定数据个数：共有8个数据，为偶数个．
3．计算中位数：
偶数个数据时，中位数为中间两个数的平均数．
中间两个数为第4个和第5个数，即40和42．
即中位数为：．
因此，这组数据的中位数是41，
故选：D．
7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A：设，则，，
∵，
∴，满足勾股定理，能判定为直角三角形，故该选项不符合题意；
B：设，则，，
∴，解得，
∴，，，不是直角三角形，故该选项符合题意；
C：由可知，边对角为直角，符合勾股定理，能判定为直角三角形，该选项不符合题意；
D：∵，
又∵，
∴，
解得，是直角三角形，故该选项不符合题意．
故选：B．
8. 下列命题：①对角线互相垂直的四边形是正方形；②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；③对角线相等的矩形是正方形．其中是真命题的个数是（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】D
【解析】①对角线互相垂直的四边形不一定是正方形．例如，菱形的对角线互相垂直，但菱形不一定是正方形（需同时满足对角线相等）．故①为假命题．
②对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形．若对角线未互相平分，则四边形可能仅为一般四边形，而非正方形．例如，可构造对角线相等且垂直但不对称的四边形．故②为假命题．
③矩形本身对角线相等，但需对角线互相垂直（或邻边相等）才是正方形．普通矩形（长宽不相等）对角线相等但非正方形，故③为假命题．
综上，真命题个数为0．
故选：D．
9. 如图，矩形中，，的角平分线交于点，连接交于点，过点作交于点，则长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵在矩形中，，
∴在中，，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：D.
10. 已知实数，有，，，对于，有以下结论：
①对任意实数，若成立，则；
②当时，的值一定是；
③当时，若为负整数，则整数的值有2个．
其中正确的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】由得，化简得，即．因此，若对任意成立，则必须满足，结论①正确；
当时，，，，与无关，结论②正确；
当时，分式需为负整数，
由分式值为整数得分母为6的因数，可取，可取，
又分式值为负数，对的值逐个检验，只有，，符合题意，故共2个整数解，结论③正确；
综上，①②③均正确，正确个数为3个．
故选：D．
二、填空题
11. ______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图，中，，，，则______．
【答案】
【解析】中，，，，
∴．
故答案为：．
13. 一组数据的平均数、中位数、众数、方差，这几个统计量中最能反映这组数据的波动程度的是______．
【答案】方差
【解析】由题意，最能反映这组数据的波动程度的是方差；
故答案为：方差．
14. 关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是______．
【答案】14
【解析】解，得：，
∵关于的方程有整数解，
∴为整数，且，
∴，
∴，
解，得：，
∵使关于的不等式组的解集是，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：14．
15. 如图，中，，边，过点作于点，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，若点为中点，则线段______，边______．
【答案】①. ；②.
【解析】作交的延长线于点，
∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点为中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴；
∴；
故答案为：，．
16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，其百位数字比个位数字大2，我们称这样的三位自然数为“大二数”，记．比如624，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字6比个位数字4大2，所以624是“大二数”，则______；若一个“大二数”使能被13整除，则满足题意的的最大值与最小值的差是______．
【答案】①. 38；②. 596
【解析】由题意，；
∵是“大二数”，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵能被13整除，，
∴能被13整除，
当最大时，则：，，此时能被13整除，满足题意，
此时，，
当最小时，则：，此时当时，能被13整除，满足题意，
此时，，
∴；
故答案：38，596．
三、解答题
17. 计算：．
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，
原式
.
19. 在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答．
（1）如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明：，①______．
，，②______．
，③______．
．
进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等．
（1）解：如图，即为所求，
（2）证明：，
①．
，，
②．
，
③．
．
故答案为：，，.
进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形两腰上的中线相等．
证明：，，是的中线，
．，
，
，
．
．
故答案为：两腰上的中线.
20. 今年五一，我区推出“千年荣昌，来了就是一家人”为主题的文旅宣传品牌，展示荣昌风采．为促进同学们更深入学习“千年荣昌”历史文化，某校举行了相关知识竞赛，罗老师从甲、乙两个班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．．
甲班10名学生竞赛成绩在C组的数据是：92，94，90．
乙班10名学生竞赛成绩：86，96，82，96，90，89，86，100，99，96．
甲乙两班抽取的学生竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为甲乙哪个班级学生竞赛成绩更优秀？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲班有50人，乙班共45人，两个班所有同学都参加了此次知识竞赛，请估计这两个班此次竞赛的成绩优秀的学生人数是多少？
解：（1）由题意，甲班类成绩所占的比例为，
∴，
∴；
乙班数据中出现次数最多的是96，故；
甲班中数据排序后第5个和第6个数据分别为：和，
故；
故答案为：10，96，93；
（2）乙班学生竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个班的平均成绩相同，但是乙班的方差小于甲班的方差，成绩更稳定，故乙班学生竞赛成绩更优秀；
（3）（人）；
答：估计这两个班此次竞赛的成绩优秀的学生人数是62人．
21. 夏布是荣昌非遗产品．夏布小镇某夏布营销店最畅销的是A，B两种夏布产品，已知A产品的单价比B产品的单价高30元，经测算，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同．
（1）求A，B两种夏布产品的单价分别是多少？
（2）今年“五一”期间，该商店生意爆火，仅A，B两种夏布产品销售额就达到万元．在“五一”假期结束盘点商店货品时发现，这两种产品共售出件．则这个“五一”假期，该店销售了A，B两种夏布产品各多少件？
解：（1）设A种夏布产品的单价是x元，则B种夏布产品的单价是元，
则，
解得，，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴，
答：A种夏布产品的单价是元，则B种夏布产品的单价是元；
（2）设销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件，
则，
解得，
则，
答：销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件．
22. 如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线运动（点不与点重合），设点运动路程为，面积为．
（1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）在图2中给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据函数图象写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出面积大于2时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
解：（1）当时，点P在上，；
当时，点P在上，，
综上，；
（2）y与x的函数图象如图所示，
当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）令，；
令，．
∴当时，面积大于2．
23. 如图，四边形是某公园游览步道．我班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正西方向、点在东北方向，在点处测得点在正东方，点在南偏西方向；第二小组测得米．（参考数据：，）
（1）计算的长度；
（2）某同学欲从去往处，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米）
解：（1）作于点，作于点，由题意，可得：，，，
在中，，，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
答：的长度为米；
（2）由①知：，
∴，
选择线路①的路程为：米；
选择路线②的路程为：米；
∵，
故选择线路①的路程较短．
24. 如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标．
解：（1）∵点的横坐标为1，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得：，解得：，
∴；
（2）作关于轴的对称点，
则：，
∴当在线段上时，取的最小值，
∵，，
同（1）法可得，直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
（3）当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，得到，点对应点为，∴，当时，，
设，过点作，且，连接，则：，
当点在直线下方时，过点作轴于点，作，交的延长线于点，
则：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可得，直线的解析式为：，
∵，
∴点为直线与直线的交点，
联立，解得：，
∴；
当点在直线上方时，同法可得：，直线的解析式为：，
联立，解得：，
∴；
综上：或．
25. 正方形中，点是边上一动点，连接．
（1）如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长；
（2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
解：（1）如图，作于点H，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
即正方形的边长为；
（2），理由如下：
如图，延长至点N，使，连接，
点是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）设正方形边长为a，，则，
分两种情况：
当时，作于O，作交延长线于点P，连接，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
由旋转知，，
，
又，
，
又，，
，
，
又，
，
；
当时，作交的延长线于点Q，连接，
同理可证，
，，
，
，
．
综上可知，的值为1或．班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
92
100
50.4
乙班
92
93
34.6