2023-2024学年重庆市长寿区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市长寿区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1．若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a=0B．a=1C．a≠﹣1D．a≠0
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知直线、相交于点O，平分，，则的度数是（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，由此作法便可得，其依据是（ ）
A．B．C．D．
6．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．或B．C．D．以上答案均不对
7．现有两根木棒，它们长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取( )
A．10cm的木棒B．40cm的木棒
C．90cm的木棒D．100cm的木棒
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ）
A．17B．16C．15D．16或15或17
9．据悉，成渝高速路复线全线长约公里．成渝高速路复线全线长比目前的成渝高速路里程缩短了约公里，设计时速提高了，运行时间缩短了小时．设成渝高速路的时速为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，
下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（8个小题，每小题4分，共32分）
11．因式分解： ．
12．计算： ．
13．化简的结果为 ．
14．关于x的方程无解，则m的值是 ．
15．如图，在中，，若、分别垂直平分和，则 ．
16．如图，中，，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是 cm．

17．在轴上有点，在轴上有点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有 个．
18．对于任意的正整数，所有形如的数的最大公约数是 ．
三、解答题（8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分)
19．解分式方程：．
20．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
21．求的值，其中．
22．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，连接，求证：
(1)；
(2)平分．
23．长寿重百商场用50000元从外地购回一批恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回是第一次进货件数3倍的恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完．求：
(1)商场第一次购买了多少件T恤衫？
(2)商场在这两次生意中共盈利多少元？
24．先化简，再求值：
，其中是方程的解．
25．如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE=CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．
26．如图，直线，连接线段，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定∶线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接、，构成、、三个角．
(1)当动点P落在第①部分时，如图1，求证：；
(2)当动点P落在第②部分时，是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直接写出这三个角之间的关系．
(3)当动点P落在第③部分时，延长，点P在射线的左侧和右侧时，分别探究、、之间的关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵a+1≠0，
∴a≠-1．
故选C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：A.不符合轴对称图形的定义，此项不符合题意；
B.符合轴对称图形的定义，此项符合题意；
C.不符合轴对称图形的定义，此项不符合题意；
D.不符合轴对称图形的定义，此项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查幂的运算，单项式乘单项式，单项式除以单项式．根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式法则进行判断即可．
【详解】A选项：，故本选项错误；
B选项：，故本选项错误；
C选项：，故本选项错误；
D选项：，故本选项正确．
故选：D
4．D
【分析】根据角平分线的定义求出，最后根据进行求解．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形判定的五种方法：、、、、．
由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定．
【详解】解：依题得：，，
在和中
，
．
故选：．
6．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据，则或，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断，先根据求出、的值 ，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：，，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长，
∴三角形的周长为，
故选：B．
7．B
【详解】试题解析：已知三角形的两边是40cm和50cm，则
10<第三边<90.
故选40cm的木棒.
故选B.
点睛：三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边.
8．D
【详解】多边形的内角和可以表示成 (且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
9．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．设原时速为每小时公里，提速后的时速为每小时公里，根据题意可得，提速后行驶公里比提速前行驶公里少用小时，据此列方程．
【详解】解：原时速为每小时公里，提速后的时速为每小时公里，
由题意得：，
故选：A．
10．B
【分析】根据中位线的性质可判断①，根据三线合一可判断②，根据折叠的性质可得到垂直平分，进而可判断③，根据三角形的外角的性质，即可判断④．
【详解】①点是边的中点，
要使，则需是的中位线，根据折叠得，显然本选项不一定成立；
②要使，则需，显然本选项不一定成立；
③根据折叠得到垂直平分，则，故本选项正确；
④根据三角形的外角的性质，得，，又，则，故本选项成立．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查因式分解，解题关键是利用平方差公式进行分解．
12．
【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂除法，掌握法则并熟练应用是解题关键．根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．x
【分析】先把两分数化为同分母的分数，再把分母不变，分子相加减即可．
【详解】，
故答案为x．
14．0
【分析】本题考查了分式方程无解问题．先将分式方程去分母化成整式方程，由原方程无解得，再将代入整式方程中即可求出m的值．
弄清楚分式方程无解的条件是解题的关键．
【详解】将原方程去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
解得．
∵原方程无解，
∴，
解得，
，
解得，
故答案为：0．
15．##60度
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质求出，然后便不难求出．
【详解】解：，
，
、分别垂直平分和，
∴，，
，，
，
．
故答案为：．
16．3
【分析】过D作于E．根据角平分线性质求解即可．
【详解】解：过D作于E．如图，

∵是的平分线，，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．分三种情况讨论，以为底，为腰，画出图形即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论：
①以为底，在原点上；
②以为腰，且为顶点，点有种可能的位置；
③以为腰，且为顶点，点有种可能的位置；
则满足条件的点最多有个，
故答案为：．
18．
【分析】主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据其实际意义来求解．把所给的等式因式分解，因为、、是连续的三个正整数，所以其中必有一个是的倍数、一个是的倍数，所以原式一定是的倍数，即最大公约数为．
【详解】解：，
、、是连续的三个正整数，
其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，
一定是的倍数，
又的最小值是，
最大公约数为，
故答案为：．
19．
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、合并同类项、化系数为即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
合并同类项得：，
解得：
经检验：是原方程的解．
原方程的解为．
20．证明见解析．
【分析】由∠1=∠2可得∠CAB =∠DAE，再根据ASA证明△ABC≌△AED，即可得出答案．
【详解】∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，∠B=∠E，AB=AE，∠CAB=∠DAE，
∴△ABC≌△AED，
∴BC=ED．
21．
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先根据求出、的值，然后对所求式子去括号、合并同类项，最后把、的值代入计算即可．
【详解】解：由，
得，，
解得，．

原式
．
当，时，原式．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．
（1）证明，即可得结论；
（2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，，
平分．
23．(1)商场第一次购买了1000件T恤衫
(2)共盈利72800元
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．
（1）设商场第一次购买了件恤衫，则第一次进价为元，第二次购买了件恤衫，进价为元，根据商场又紧急调拨18.6万元采购回是第一次进货件数3倍的恤衫，列出分式方程，解方程即可；
（2）分别求出两次的盈利，即可得出结论．
【详解】（1）解：设商场第一次购买了件恤衫，则第一次进价为元，第二次购买了件恤衫，进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：商场第一次购买了1000件恤衫；
（2）解：由（1）可知，第一次购买了1000件恤衫，进价为50元；
第二次购买了3000件恤衫，进价为62元；
则第一次盈利为（元，
第二次盈利为（元，
（元，
答：商场在这两次生意中共盈利72800元．
24．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式方程的解法．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，解分式方程求出，代入计算即可．
【详解】解：
，
解分式方程，得，
经检验，是原方程的解，
当时，原式．
25．（1）见解析
（2）相等．证明见解析
【分析】（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；
（2）猜想：BE′=CF．
证明：如图，
过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
，
∴△CEG≌△BE′D′（AAS），
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．
26．(1)见解析
(2)不成立，，作图与推理过程见解析
(3)点P在射线的左侧时，；点P在射线的右侧时，
【分析】本题考查平行线的判定及性质．
（1）过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此；
（2）过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此，而，则不成立；
（3）①当点P在射线的左侧时，过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此；②当点P在射线的右侧时，过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此．
【详解】（1）过点P作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）不成立，、、之间的关系是，
如图，
过点P作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴不成立；
（3）①如图，当点P在射线的左侧时，
过点P作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点P在射线的右侧时，
过点P作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．