2026年新高考数学专题复习学案 44.费马点问题与应用

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1.费马点：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小.

图1 图2
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A.（通常只考查三角形的最大顶角小于120°）
证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
2.费马点的应用主要集中在两个方面：
（1）.计算到三角形三个顶点距离之和最小的情形；
（2）.已知费马点，利用相关结论，即费马点与三角形三个顶点的连线所成的夹角均为120度.
（3）.特别地，若三角形为直角三角形（），若点为费马点，结合余弦定理和勾股定理，一定有：
，整理可得：
，即. （凌晨讲数学）
4. 若 的三 内 角 均 小 于 ，则 ，其中 $x, y, z$ 表示 的费马点到顶点 $A, B, C$ 的距离。
证明记 ，
由 可得
在 中， ，化简为
同理可得
以上三式相加得

5.嵌入不等式
一般地，若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当
取等.
二．典例分析
例1．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质， 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解析：由题的几何意义为点到点的距离之和的最小值.
由题可知，此时，且在轴上.故.，.故的最小值为，故选：D
例2．若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，，设，，，
则，
即为点到三点的距离之和，则是等腰锐角三角形，如图：

由费马点的性质可知，当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，所以，则的最小值.
故选：AB
例3．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为___________．
解析：根据题意， 点为的费马点，的三个内角均小于，所以，设，所以在和中，，且均为锐角，所以
所以由正弦定理得：，，所以，，因为
所以
，因为，所以，所以，所以，故实数的最小值为.故答案为：
例4．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，．
(1)求角；（凌晨讲数学）
(2)若，求的周长；
(3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解析：（1）由已知，得，由正弦定理，得，
即，即，由于，所以，所以.
（2）设，则．所以，由得：，即，
由余弦定理得，，即，即，
又，联立解得．所以的周长为.
（3）设，由（2）在中，由余弦定理得，联立求解可得，所以，所以，，即，令，
由对勾函数性质知在上单调递减，所以．即的取值范围为．
例5．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点为，直线交于两点，点在上．当的坐标为时，的费马点的坐标为．
(1)求的方程；（凌晨讲数学）
(2)当为的右顶点时，若，求与轴的交点的坐标；
(3)当过点时，记的费马点为，，，的面积分别为，求的最小值．
解析：（1）因为在上，所以，
又因为的费马点的坐标为，所以，
所以，
所以，所以的方程为.
（2）如图：
当为右顶点时，．设，
若的斜率不存在时，因为，所以.
不妨设的直线方程为，
代入椭圆方程整理得，
由得，故的方程为，此时直线过；
若的斜率存在时，设的方程为，
由得，则
由，
因为，
，
所以，符合题意，所以直线与轴的交点坐标为．
（3）如图：
设的方程为，
因为过点，所以．
由变形得，
即，
所以，
整理得，
所以，即．
当中有一条直线斜率不存在时，也满足．
．
因为，
所以，
即．
令，则，所以．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即．
所以当时，的最小值为．
三．习题演练
1．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．在费马提出的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，费马点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，费马点为三角形最大内角的顶点．
已知中，，，分别是角，，所对的边，且，．
(1)求角的大小；
(2)若点为的费马点，求的值．
解析：（1）由，及正弦定理得，因为，所以，消去得．因为，故或，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以．
（2）由（1）可知，，结合三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，
结合题设易知点P一定在的内部．由余弦定理可得，解得，
所以，所以
．
2．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和最小．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角），该点称为费马点．试用以上知识解决下面问题：
(1)在中，若，，；
①求的面积；
②点P为的费马点，求；
(2)在中，若，点Q为的费马点，，求实数t的最小值．
解析：（1）①在中，，，，由正弦定理
，
②由（1）知，的三个内角均小于，则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；所以
，
所以，
所以
．
（2）中，，因为点Q为的费马点，则，设，，，，，，则由，得；由余弦定理得中，，
，
，故由得，即，而，，故m+n+2=mn≤m+n22，当且仅当，结合，解得时，等号成立，又，即有，解得或（舍去），故实数t的最小值为．