2026年新高考数学专题复习学案 2. 函数单调性与应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 2. 函数单调性与应用，共15页。
1．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即的范围是.故选：B.
2．（2023·全国·高考真题新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D
3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即的最小值为．故选：C．
4．（2023·全国·高考真题乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.（凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载）
解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.
5．（2020年新高考2卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：由得或，所以f(x)的定义域为
因为在上单调递增，所以在上单调递增
所以，故选：D
6．（2020年新高考1卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在(0,+∞)上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或，解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.
7．（2020年全国2卷）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.
8．（2020年全国1卷）若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
9．（2020年全国2卷）若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
10．(2019年全国3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )
A．B．
C．D．
解析：是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．
11．（2018·全国·高考真题）若在是减函数，则的最大值是
A．B．C．D．
解析：因为，所以由得，因此，从而的最大值为，故选：A.
11．(2017年高考数学新课标1卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若
,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
解析：因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
12．（2017年全国2卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A．B．C．D．
解析： 是奇函数，故 ；又 是减函数，，
即 则有 ，解得 ，故选D.
13．（2015年全国1卷）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A．B．(−1,0)∪(1,+∞)
C．D．
解析：构造新函数,，当时.所以在0,+∞上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
14．（2017年全国3卷）设函数则满足的x的取值范围是_________.
解析：由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
15．（2014年全国2卷）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_________.
解析：因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.
二．考点汇编
1.判断给定函数的单调性
2.利用单调性（结合奇偶性）解不等式
3.已知单调性求参数
4.利用单调性之间比较多元变量之间的大小
1.复合函数单调性问题
例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
解析：函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D
例2．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数
B．是奇函数，且在上是减函数
C．是偶函数，且在上是增函数
D．是偶函数，且在上是减函数
解析：由题意可得： 且，由，故是偶函数；当时，，令，在时为单调递增函数，而 是单调递增函数，故函数在时为单调递增函数，故选：C
例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
解析：由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C.
例4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
解析：依题意在上恒成立且，
又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.故选：B
2.利用单调性解不等式
例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，
且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选:A.
例6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：令，则，因为，，∴为奇函数，
又因为，由复合函数单调性知为的增函数，
∵，则，∴，
， ∴，解得或，故
故选：D.
例7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．
【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，
，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.
例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：因为对任意不相等的实数，恒有，
所以，对任意不相等的实数，恒有，即，
令，所以，对任意不相等的实数，恒有，即，不妨设，则，所以，，即，
所以，在上单调递减.所以
，所以不等式的解集为.
故选：D.
例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：D.
例10．已知，若，则实数的取值范围是（）
A．B． C．D．
【详解】因为在上为增函数，所以在上为增函数，
则，解得：，即a的取值范围为，
故选: C.
注：求解函数不等式时，由条件脱去，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
3.利用单调性求解析式
例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（ ）
A．9B．15C．17D．33
解析：因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使
由方程，得，则，所以 设，由于均为定义域内的单调递增函数，所以在R上是增函数，且3，所以，所以，故故选：C
例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________．
解析：因为函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，可设，故，且，
解可得，，所以，则．故答案为：．
注：利用单调性求解析式实质是严格单调函数的一一对应关系.
4.利用单调性找出多元变量之间的关系
利用单调性，即严格单调函数的一一对应关系找到多元变量的关系，从而解决问题.
例13．已知正实数满足，则的最小值为___________.
解析：由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数，
所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：
例14．已知实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
解析：由得，令，，在上单调递增，，，，，故当时，取最小值.故选：C.
5.已知单调性求参数
（1）已知单调性直接求参数
基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然.
（2）同构出函数单调性后求参数
（3）分段函数单调性问题要注意
例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C.
例16．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为命题 在上为增函数，则有，解得，又因为命题Q：在单调增函数，则有，解得，若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.
例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：不等式恒成立，即，
即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得，
同时在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或，
所以．故选：C.
6.利用单调性之间比较大小
比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
例18．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】任取，则，所以.
由为定义在上的奇函数，所以，所以，
即在上都有.由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为： 对任意实数恒成立.
结合二次函数图像可得.故选：A.
7.同构出单调性后比较大小
例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【详解】∵，即，
构建，可知当时，则，故在上单调递减，又∵，即，且，
则，解得，故不等式的解集为.故选：C.
8.利用单调性求函数最值
例20．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，,
当时，，在上单调递减，
在上单调递增，所以在处取得最小值
当时，，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
当时，，在上单调递减， 于题意不符；
当时，，在上单调递减， 于题意不符；
.故选：C.
三．配套演练
1．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，其中，则（ ）
A．f(x)在上单调递增B．f(x)在上单调递减
C．曲线是轴对称图形D．曲线是中心对称图形
6．设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则不等式的解集为 .
8．已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为 .
参考答案
1.解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，
且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选:A.
2.解析：令，则，因为，，∴为奇函数，
又因为，由复合函数单调性知为的增函数，
∵，则，∴，
， ∴，解得或，故
故选：D.
3【详解】当且，时，恒成立，
可得在上单调递减，且关于对称，所以在上单调递增，，，，即.故选：B.
4.【详解】对任意，都有，
令，则Fx在R上单调递增，
其中，
当时，，解得，
且，解得或，
故，
当时，，
因为，所以，
故Fx在1,+∞上单调递增，满足要求，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
5【详解】由题设，，定义域为且，
所以关于对称，C正确；
又，
当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；
当时，在上，即在上递增，B错误；
由，不可能为定值，故D错误.
故选：C
6.【详解】由于，知，及其，则，解得，
对AB，，设函数，，
故在上单调递减，则1，即，故A对B错；
对C，由于，设，，
故在上单调递减，，故，
若，故C对；
对D，，设，，
令，则，则，，则，，
则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误.
故选：AC.
7.解析：由已知得：，
所以，即，则不等式等价于，再由，可得在上单调递增，所以，解得，故答案为：.
8.【详解】，
记，在定义域上单调，可得ℎx必为单调函数.
若ℎx单调递增，则恒成立，即，
∴.又函数在时值趋近于0，不满足.
若ℎx单调递减，则恒成立，即
，即，∴，
设，，则，
当时，不成立；
当时，，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，即，
∴，即，解得.
故答案为：