2026年新高考数学专题复习学案 14.双极值点函数的计算与应用

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1.消元，找到极值点与的关系（根据导函数的零点来建构，常为韦达定理），构建单个极值点或的函数，最终将目标函数转化为或的函数.
2.消元，构建极值点与与有关参数的函数（根据导函数的零点来建构，常为韦达定理），最终将目标函数转化为参数的函数
3.构造齐次式消元
方法1.已知函数，若，不妨设，则令，可得：.于是，我们需要进一步找寻与的关系，从而实现比值代换.
方法2.对数减法：或是
方法3.齐次分式：例如：等；
方法4.合分比结构：如果，则.
方法5.非对称型：如或者商型结构：或分式型等是应用比值代换的天然沃土.
4.对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．

5.两个重要的三变量命题函数
先介绍两个函数：，.
这两个函数的零点要注意，首先，一定是一个零点，其次，当满足一定条件时，还会再有两个零点出现，并且，这两个函数有一个很重要的特点，若，则有
，这就意味着剩下的两个零点会有隐含关系：，这个关系在解决相关多极值点问题时至关重要！
二．典例分析
★1.消元，构建单个极值点或的函数
例1.（2018全国1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：.
解析：（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.
★2.消元，构建有关参数的函数
例2．已知函数有两个极值点，.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
解析：（1）∵，∴有两个不等正根，，∴，解得.
（2）由已知得，，，
，
，
，
令，则，，，，∴是增函数，，即.
★3.构造齐次式消元
例3.已知函数有两个不同的极值点、.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：，且.
解：（1）因此，实数的取值范围是；
（2）由题意可知，、为方程的两个实根，由于，则，当时，，，由（1）可知，
，，令，设，.，所以，函数在上单调递减，所以，，因此，.
★4.对数均值不等式
例6.（2018全国1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：.
（1）略.
（2）证明：由（1）可得，当时，存在两个极值点. 且是导函数的两零点，故.
由于，由对数均值不等式可知，代入可得：
，证毕.
★5.三极值点问题中的奥秘
例7.设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有个极值点.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.（凌晨讲数学）
解析：（ⅰ）由于 故
（ⅱ）证明：此时有，设，则只需证明
，求导得，所以在上单调递增，注意得到，所以，所以只需证明，实际上，上式等价于成立，所以原不等式得证.
★6.新定义问题
例8．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在使的极值差比系数为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的极值差比系数的取值范围．
解析：（1）当时，，所以，
当时，；当时，．所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，所以，因此极值可差比函数．
（2）的定义域为，，即，假设存在，使得的极值差比系数为，则是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，由于
，所以，从而，得，
令，则，所以在上单调递增，有，因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
（3）由（2）知极值差比系数为，即极值差比系数为，不妨设，令，则，极值差比系数可化为，
，又，即，解得，
令，则，
设，所以在上单调递减，当时，，从而，所以在上单调递增，所以，即．故的极值差比系数的取值范围为
三．习题演练
1.（安徽省合肥市2025届高三一模）已知函数f(x)=lnx−a(x−1x)，其中a>0.
（1）讨论f(x)的单调性;
（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1ln2−34.
2.已知函数，其中．
（1）求的极值；
（2）设函数有三个不同的极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
3．定义运算：，已知函数.
（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；
（2）证明：；
（3）若函数存在两个极值点，证明：.
参考答案
1.（安徽省合肥市2025届高三一模）已知函数f(x)=lnx−a(x−1x)，其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1ln2−34.
解析 ：(1)函数f(x)定义域为(0,+∞)，且a>0，f'(x)=1x−a−ax2=−ax2+x−ax2，
令g(x)=−ax2+x−a，
当1−4a2≤0，即a≥12时，g(x)≤0恒成立，则f'(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减；
当1−4a2>0，即0