2026年新高考数学专题复习学案 4. 函数的周期性与应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 4. 函数的周期性与应用，共13页。
相关结论在人教A版必修第一册87页，苏教版必修第一册119页均有涉及，读者可自行查阅，这里重点给出它们的后续应用.
应用1.直接由结论应用周期性
应用2.应用周期性求解析式
应用3.单个函数的周期性迭代
应用4.两个函数的周期性迭代
应用5.类周期函数
应用6.一类特殊的周期函数
应用7.周期性与零点问题
一．函数的周期性
1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
性质1.函数周期性有关结论:
设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，
则函数是周期函数，且是它的一个周期.
(1). (2).
(3). (4).
二.函数的对称性与周期性综合
性质2. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质3. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.
性质4.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质5.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质6.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.
性质7.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质8.周期性的应用:
(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到
整个函数的性质.
(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
(3).单调性：
由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).
二．典例分析
★应用1.直接由结论应用周期性
这里的结论主要指本文所罗列的性质1到性质7，最好能记住.
例1．已知是定义在上的奇函数，满足且，则（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
解析：由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数，
所以.故选：D.
例2．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0B．C．253D．506
解析：因为函数为上的奇函数，所以，又，则，所以，所以函数是周期为8的周期函数，又，则，
所以，所以.故选：A.
例3．已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
解析：因为在R上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，
所以.
故选：D.
例4．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．B．0C．D．
解析：因为是定义在上的偶函数，，可得，即，所以函数是以4为周期的周期函数，
可得，又因为当时，，可得，所以.
故选：C.
★应用2.应用周期性求解析式
例5．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为是定义在上的奇函数，为偶函数，所以，，即，所以，
所以，可得，所以的最小正周期为，
又当时，，当时，则，所以，又由是周期为的奇函数，
则，故，.
故选：D．
例6．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
解析：因为函数是周期为4的周期函数，所以时，，所以，即，故选：C
例7 ．已知，，，…，，则（ ）
A．B．C．D．3
解析：由，知，，．则为迭代周期函数，故，则，所以．故选：A．
★应用3.单个函数的周期性迭代
这种问题主要是指一个函数利用题干所给的恒等关系迭代出周期性，其核心在于理解周期性的定义.
例8．定义在上的函数满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，，所以，即，所以的周期为，且，可得，再由可得，，，，又，所以，所以为奇函数，所以，因为，所以，，，所以
.
例9.定义在R上的函数满足，，若，则__________，__________．
解析：因为，所以，
所以，则，所以是以为周期的周期函数，
所以，又，所以，又，所以，即且，
由，所以，，，
所以
.
★应用4.两个函数的周期性迭代
这种问题是给出两个函数的抽象关系，其中一个具有对称性，处理方法就类似于我们解二元一次方程组的加减消元法，只是这里的消元需要利用函数对称性之间的等量关系实现.
例10．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：于是，为了消掉，就可将方程组改写成：
，两式相减，即可得：，下面给出完整解答.
所以，.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以故选：D
例11．已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则___________
解析：由为奇函数，得，即，
由，得，又，
于是，即，从而，
即，因此，函数的周期为8的周期函数，
显然，又，
所以.故答案为：
例12．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ）
A．f（x）为奇函数B．g（x）为奇函数
C．D．
解析：因为，所以，又，
则有，因为是奇函数，所以，
可得，即有与，
即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数．
因为，所以，所以为偶函数．故错误；
由是奇函数，则，所以，又，
所以，所以选项错误；
由得，所以选项错误；因为，
，
所以，所以，所以选项正确．故选：.
★应用5.类周期函数
1.把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做类周期函数.
2.性质：例如类周期函数在时的解析式为，当时，，则
3.满足该类型的函数是以为周期的类周期函数. 当时, 函数图像以周期为单位从左至右后一个周期图 像上的点与前一周期对应点的纵坐标伸长或缩短为原的倍.
例13．定义域为的函数满足，当时，，若时，对任意的都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：当时，，
当值，
当时，
当时，，
所以时，
所以时，，即对恒成立，即：对恒成立，令，，则 ，解得：故选：B
例14．（2019年全国二卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
解析：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，
，令，整理得：，
（舍），时，成立，
即，，故选B．
★应用6.一类特殊的周期函数
由和差化积公式，我们可以得到：
；；
； .
证明：由，，得
.
这样，若令，则上述积化和差公式可进一步抽象得：
.
例15.（2022新高考2卷）
已知函数的定义域为，且，则
A. B. C. D.
解析：方法1.由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意.
于是，周期为6，且，进一步，故选A.
方法2.因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
例16 ．已知定义在R上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
B．的周期为4
C．关于对称 D．在单调递减
解析：由，
可得，可设
由，即，则可取，即进行验证.
选项A： ，故选项A不正确.
选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.
选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确.
选项C：,又，故此时为其一条对称轴.
此时选项C正确,故选：C
★应用7.周期性综合
这类问题主要是利用周期性，奇偶性等作出函数图像，利用数形结合的方法找到有关的零点问题，对函数综合能力有较高的要求.
例17．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，所以函数图象关于对称，且，
又为奇函数，所以，故，即可得，所以的周期为，因为当时，，根据奇函数及函数图象关于成轴对称，利用函数周期为4，作出函数与图象，如图，
当时，方程在上有四个不同的实数解，则与图象有四个交点，需满足，即，解得；
当时，由图象可知，与图象在至多有2个交点，不符题意.综上，.故选：B
例18．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在R上是增函数B．的最小值为0，无最大值
C．D．当时，
解析：，使得，此时，
从而，即，故错误；对于，有，故错误，由，可知是以1为周期的周期函数，
故只需讨论在上的值域即可，
当时，，即函数的值域为，故正确；
当时，，故正确；故选：.
三.习题演练
1．已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2024
解析：由为奇函数，为偶函数，可知函数的图像关于点中心对称，且关于直线轴对称，由前述性质，函数是周期为4的函数，由．得，所以．故选：A
2．已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
解析：由前述性质可知：所以是周期为的周期函数.
所以.故选：D
3．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.
4．已知函数的定义域为，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．23B．C．D．3
解析：因为为奇函数，为偶函数，所以，，令，则，所以，，
所以，，
则，所以的周期，因为，
所以，，，，
所以．故选：C．
5．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．
6.已知为定义在上的函数，其图象关于y轴对称，当时，有，且当时，，若方程（）恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
解析：当时，有，所以，所以函数在上是周期为2的函数，
从而当时，，有，又，，即，又易知为定义在R上的偶函数，所以可作出函数的图象与直线有5个不同的交点，

所以，解得，故选：C．
7．已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为__________.
解析：因为函数满足，则，所以函数的周期为6，又因为，所以，因为当时，，则有，，所以，当且仅当，即时取等号．故答案为：
8．已知函数，设数列是首项为，公差为的等差数列，关于正整数的方程：的解为__________.
解析：由题设，
所以，，
，，综上，对于，其对应函数值以8为周期，且，由，即.故答案为：2025
9．黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，，当时，，则 ．
解析：因为函数为偶函数，所以.所以，又因为，所以，即.于是，则，
于是，即所以，所以函数周期为4.由得，则，所以，所以为偶函数.因为且，所以，
又因为，所以，，
又，所以
，又因为，
所以，所以，所以，所以故答案为：