高考数学思想方法解题汇编学案

这是一份高考数学思想方法解题汇编学案，共13页。学案主要包含了解题关键，多想少算等内容，欢迎下载使用。
思想1 函数与方程思想
真|题|示|例
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2B.-1C.1D.2
【解题关键】 根据已知条件中向量垂直,可得b·(b-4a)=0,建立关于x的方程即可求解. 答案:D.
2.(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于 .
【解题关键】 设等比数列的首项为a1,公比为q,由等比数列的前n项和公式得a1(1-q4)1-q=4,a1(1-q8)1-q=68,解方程组求出公比q.答案:2.
3.(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= .
【解题关键】 令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)=1x+1,设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(x0,y0),则1x0+1=2,得x0=-12,则y0=2x0+1=0,所以0=ln-12+1+a,所以a=ln 2.答案:ln 2.
新|题|自|测
1.(2025·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,故函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)>f(1)=1,即x>1时,函数f(x)与x轴无交点.则当a0,且x≤1时,f(x)=ax2-ax+1为图象开口向上,对称轴为直线x=12的二次函数.f12=a×122-a×12+1=-14a+1,f(1)=a-a+1=1>0.函数f(x)在(-∞,1]最多有两个零点.当a>0,且x>1时,f(x)=x-a ln x.f'(x)=1-ax=x-ax.令f'(x)=0,得x=a,当00,且有f(1)=12,则2f(x)>e1-x2的解集为(B)
A.(-∞,2)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(2,+∞)
解析 设F(x)=f(x)·ex2,则F'(x)=f'(x)·ex2+12 f(x)·ex2=ex212f(x)+f'(x)>0,所以函数F(x)在R上单调递增,又f(1)=12,所以F(1)=f(1)·e12=12e12.又2f(x)>e1-x2等价于f(x)·ex2>12e12,即F(x)>F(1),所以x>1,即所求不等式的解集为(1,+∞).
2.(2025·长春模拟)已知三棱锥P⁃ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(D)
A.86πB.46πC.26πD.6π
解析 如图所示,构造棱长为2的正方体,显然满足题设的一切条件,则球O就是该正方体的外接球,从而体积为6π.
3.(2025·泰安模拟)已知函数f(x)=ex+2x,g(x)=4x,且f(m)=g(n),则|n-m|的最小值为 12-12ln 2 .
解析 由f(m)=g(n),得em+2m=4n,化简整理得4n-4m=em-2m.令h(m)=em-2m(m∈R),则h'(m)=em-2,令em-2=0,解得m=ln 2.当m∈(-∞,ln 2)时,h'(m)