2026年新高考数学专题复习学案 33. 复数的妙用

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1.次单位根：对于方程的解，由复数开方运算可得到它的个根的表示形式为：
比如，当时，我们得到三次单位根，根据上述性质，三次单位根有三个，可以表示为:，，
它们在复平面上构成一个正三角形，其顶点分别为.
一般地，几何意义：在复平面上，个n次单位根均匀分布在以原点为中心的单位圆上，构成正边形的顶点，其中，始终在实轴正半轴上.
2.复数的指数形式.
由欧拉公式：可得到复数的指数形式：.
3.负数的开方运算
设，则（）.
例如，.
可以看到，复数的次方根是个复数，它们的模都等于这个复数的模的次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与的倍的和的分之一.
4.单位根基本性质：
（1）；
（2）；
（3）由韦达定理可得：，代入单位根的具体形式：
.记,则是的次方根,由韦达定理可得：.
5.用复数推导旋转公式：
利用欧拉公式：
比如，那么 ，是逆时针旋转了
于是，我们可以得到旋转公式：
在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为
6.将上述结论应用到圆锥曲线，我们先把等轴双曲线逆时针旋转，看看会得到什么有趣的结果：设是上任意一点，是逆时针旋转后的对应点，则有，整理可得，代入的方程整理可得：
，即我们在初中就已经学过的反比例函数图象.
下来就重点讨论反比例函数的一些重要性质.
（1）长轴所在直线为，离心率；
（2）顶点是和；
（3）实半轴长和虚半轴长是，半焦距是；
（4）焦点是和；
（5）若直线与反比例函数相切，同时交坐标轴分别与，则.
证明：设切点因为，所以斜率为，所以，直线的方程为：
，令，得，令，得，所以，
.
二．典例分析
在上述铺垫基础上，前文所涉及到的广东二调压轴的命题原理，也就出来了.
例1.（广东省25届高三二调） 已知集合，，设函数.
（1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；
（2）已知，求函数是常数函数的概率；
（3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
注：具体解答请见推文，命制原理以上上面解决.
例2.已知双曲线的左、右焦点分别为和，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为________；又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点，且的面积，则该双曲线的方程为_________.
解析：第一个空较简单，.
第二个空：将双曲线压缩再旋转后得到反比例函数，于是，
由于且，可解得：双曲线方程为：.
例3.（布里安香定理）（23届南京盐城一模）已知双曲线的离心率，直线
与双曲线仅有一个公共点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线于两点，求证：的垂心在双曲线上.
下证：若的顶点在反比例函数的图像上，则的垂心也在反比例函数的图像上.
证明：由于点在反比例函数的图像上，所以.
故，则.
由于，则过点与直线垂直的直线的斜率为，所以为.
同理，过点且与直线垂直的直线为.
联立的方程解得，.
故，即垂心也在反比例函数图象上.
下面再看复数在三角恒等式中的应用
例4.设复数对应复平面内的点Z，设，则任何一个复数都可以表示成的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，称为复数z的辐角，若，则称为复数z的辐角主值，记为．
（1）若，证明：，并写出的三角形式（无需证明）；
（2）求方程虚根的实部：
（3）证明：时，
参考数据：．
解析：（1）若，则：，
，
，得证.
（2）设，则，所以：
故：或，所以或或或或
故方程虚根有四个，其实部分别为.
（3）由于，利用二项展开式，比较虚部得：
，令由于则为方程的个根，
于是为方程的个根，
又，于是为方程的个根，而上述多项式最高项系数为，末项系数（常数项）为，
于是，由韦达定理得：，又，所以，即：，得证.
例5．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数，的模和辐角主值（用表示）；
（2）设，，若存在满足，那么这样的有多少个？
（3）求和：
解析：（1）由复数，， ，得；而，则，，又，，所以.
（2）由，因此，则，
则，解得，而，，即，于是，显然符合条件的有506个，所以这样的有506个.
（3）令，而，则，令，则，两边同乘，得，两式相减得，因此，
，因此，所以.
例6．复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．
（1）求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；
（2）求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
（3）等边中，在曲线上，求的面积．
解析：（1）由题可设所求点的坐标为，由得所求点的坐标为．
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为．
则即，得，所求曲线方程为．（凌晨讲数学）
（3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为．设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和．设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为，则方程为．则是曲线的下顶点．由题，为等边三角形，的面积即为的面积．设的边长为，由双曲线的对称性：
当和同在曲线的下支时，则，代入的方程得无解．
当和同在曲线的上支时，则，代入的方程得的面积为．综上所述，的面积为．