2026年新高考数学专题复习学案 3.奇偶性与对称性及应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 3.奇偶性与对称性及应用，共12页。
1.奇偶性的定义：需要熟练掌握
2.奇偶性的判定：
①.定义法
②.性质法： 奇×奇为偶；奇×偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可.
③ .一个特殊的性质：
已知函数的定义域为.
（1）求证：函数为上的偶函数；
（2）求证：函数为上的奇函数；
（3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
解析：（1）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的偶函数；
（2）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的奇函数；
（3）因为函数的定义域为.令 ，，则，又由（1）得为上的偶函数，由（2）得为上的奇函数，且，所以定义在上的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间.
比如.都是奇函数.
证明：令，
，由基本原理（2）可证.
类似，还可以判断下列函数的奇偶性
②.是奇函数.
③.(且)是偶函数.
对数型奇偶性证明通常需从或来完成.
（4）与指数有关的复合函数：假设且.
①.为奇函数
②.为奇函数
③.可转化为②或③
4.奇偶性与对称性
（1）.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.
代数表示: (1). (2).
（2）.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1). (2).
（3）.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.
（4）.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.
5.奇偶性（对称性）与导函数
若，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，若
6.奇偶性的应用类型
（1）.奇偶性加单调性解不等式
（2）.利用奇偶性求解析式
（3）.常见奇函数与奇偶性的运算性质
（4）.奇函数中一个重要的结论
（5）.奇偶性与单调性综合
（6）.从奇偶性到对称性（对称性的判别）
（7）.对称性的综合应用
（8）.基于奇偶（对称性）的凸凹反转
二．真题速递
1．（2023·全国·高考真题乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
解析：因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.
故选：D.
2．（2023·全国·高考真题新高考2卷）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
解析：因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.故选：B.
3．（2023·全国·高考真题甲卷）若为偶函数，则______.
解析：因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，此时，
所以，又定义域为，故为偶函数，
所以.故答案为：2.
4．（2021年新高考1卷）已知函数是偶函数，则_________.
解析：因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：1
5．（2021年全国乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
6.（25届高三八省联考）已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和C交于M、N两点，和C交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为____________．
解析：由于和都符合，所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，由此画出曲线的大致图象如下图所示，
两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，
根据对称性，不妨设位置如图，可知，，
所以，所以，而和等底等高，面积相同，所以，所以.故答案为：
7.（2024年新课标全国2卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
分析：图像交点问题常转化成两个函数解析式组成的方程组的公共解，倘若能够观察到与表达式中有一个公共项，此题函数很容易突破的！
解析：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，
则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.
8．（2024年高考全国甲卷数学（理））函数在区间的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
解析：，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.
三．对点训练
1.奇偶性加单调性解不等式
类型：已知，求解类似于的不等式.
解法：利用奇偶性转化为：，再利用单调性求解与自变量有关的不等式.
例1．已知函数，则使得成立的的取值范围是______.
解析：因为，则，
令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到，
又，即为偶函数，
且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，所以时，有，解得.故答案为：
除此之外，在利用奇偶性和单调性解不等式时，还需注意到下面的问题
若
若
若
例2．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：∵是定义在上的奇函数，且当 时，，∴当，有，，∴，即，∴，∴在上是单调递增函数，且满足，∵不等式在恒成立，∴在恒成立，∴在恒成立，
∴，解得，则实数t的取值范围是，故选：C
2.利用奇偶性求解析式
例3．已知是定义在上的奇函数， 且当时则______.
解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，则，故.故答案为：
例5．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B． C． D．
解析：因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①，所以，所以，②，①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，
若恒成立，则恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B．
3.常见奇函数与奇偶性的运算性质
例4．已知是奇函数，则（ ）
A．B．0C．D．4
解析：因为是奇函数，设，则，所以，
即，所以，即，则.
故选：A.
例5．若是奇函数，则_________．
解析：因为是奇函数，定义域关于原点对称，
由,可得，所以且，所以，解得，
所以函数的定义域为，则，即，解得，此时，
符合题意，所以.故答案为：.
4.奇函数中一个重要的结论
若为奇函数，则对定义域内的任意实数恒成立，那么设
，则，特别地，.
例6.（2018年全国卷）已知函数，，则________.
解析：设，由上述讨论可知：所以为奇函数，而，
所以，故.
5.奇偶性与单调性综合
例7．已知偶函数在上单调递减，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：在上单调递减，故，在R上单调递减，故，在R上单调递增，故，则，且，，
因为，所以，故，因为偶函数在上单调递减，故，由于，所以，即.故选：C
6.从奇偶性到对称性（对称性的判别）
例8．已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
解析：因为函数关于对称，所以函数的图象关于对称，
即函数为偶函数，所以，所以，因为当时，恒成立，所以函数在上单调递增，
又，所以，所以，故选：A.
对称性的综合应用
例9.（2016年全国卷文科）
已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则( )
A. B. C. D.
例10.（2016年全国卷理科）
已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则
A. B. C. D.
解析：若两函数的图象分别关于直线轴对称或者关于点中心对称，则函数的图象的所有的交点也都关于直线轴对称或者关于点中心对称.于是两题均选B.
8.基于奇偶（对称性）的凸凹反转
例11.（2017年全国3卷）已知函数有唯一零点，则
解析：此题若懂得前面的常见函数及性质就很容易下手，若不懂，借助导数与零点来实现，可能就做不出来！注意到的构造，跟偶函数长得很像，所以我们会发现
是关于直线对称的，而也是关于直线对称的，这样的话，
，如此的唯一零点便在处取得，代入可得：.
例12．已知函数，若在有唯一的零点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：由于，所以是偶函数，
要使在−1,1有唯一的零点，则，即，解得，故选：A
三．习题演练
1．已知，则的解集为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
解析：由，且定义域为R，根据在上递增，则在上递增，又在上递增，则在上递增，结合奇函数性质且函数在R上连续，则在R上递增，由，所以，解集为或.故选：D
2．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以在上是减函数，，即，所以，
所以，所以，即实数a的取值范围为.故选：.
3．设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_________
解析：当时，，则的图象关于对称，不妨设，
如图所示：由图象知：，，所以，，，，所以，
，令，
则.故答案为：
4．已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为8，则等于（ ）
A．1B．2C．4D．8
解析：因为，设，则，所以，为R上的奇函数.根据奇函数的性质可知，，所以，所以，.故选：C.
5．已知函数，且，则_________
解析：由，得，构建函数，定义域为，
则，即是奇函数，
于是，所以，
可得，又，因此．故答案为：
6．已知函数，且，则__________
解析：构造具有奇偶性的函数，由，得，
构建函数，定义域为，因为，所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又，
因此.故答案为：2024
7．已知函数是偶函数，不等式恒成立，则b的最大值为_________．
解析：因为函数是偶函数，所以，所以，即，化简得，
解得或，又因为且，所以，所以.经检验，对任意恒成立，所以.又因为，且为偶函数，
所以时，单调递增，时，单调递减，所以在单调递减，在单调递增.因为恒成立，所以恒成立.令函数，，所以时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，所以，
所以恒成立，所以恒成立，即恒成立.令函数，所以所以时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以恒成立.
又因为，且，所以存在，使得，
所以的解集为，所以b的最大值为1.故答案为：1