2026高考数学二轮复习专题四 复数学案

这是一份2026高考数学二轮复习专题四 复数学案，共6页。学案主要包含了复数的概念，复数的四则运算等内容，欢迎下载使用。
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
典型例题
1．已知复数z满足z=2−i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z=5
B．z=2−i
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．z2+4z−11=0
【答案】ACD
【解析】因为z=2−i，可得z=22+−12=5，故A正确；
由z=2−i，得z=2+i，故B错误；
由z=2−i，知z在复平面内对应的点2,−1位于第四象限，故C正确；
因为z=2−i，
则z2+4z−11=2−i2+42+i−11=4−1−4i+8+4i−11=0，故D正确.
故选：ACD.
2．已知复数z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：Dz= z =a+b，Dz1,z2=z1−z2．给出下列命题：
①对任意z∈C，都有Dz>0；
②若z是复数z的共轭复数，则Dz=Dz恒成立；
③若Dz1=Dz2（z1、z2∈C），则z1=z2；
④对任意z1、z2、z3∈C，结论Dz1,z3≤Dz1,z2+Dz2,z3恒成立．
则其中真命题是（ ）．
A．①②③④；B．②③④；C．②④；D．②③．
【答案】C
【解析】对于①：由定义知，当z=0时，D(z)=0，故①错误
对于②：由题意得z=a−bi，所以D(z)=D(z)=a+b，故②正确；
对于③：设z1=a+bi,z2=c+di, Dz1=z1=a+b，Dz2=z2=c+d
若D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C)，则a+b=c+d，不能推出a=cb=d，无法得到z1=z2，故③错误；
对于④：设z1=a+bi,z2=c+di,z3=e+fi，
则D(z1,z2)=(a−c)+(b−d)i=a−c+b−d，
同理D(z1,z3)=(a−e)+(b−f)i=a−e+b−f，D(z2,z3)=(c−e)+(d−f)i=c−e+d−f，
又a−e=(a−c)+(c−e)≤a−c+c−e，b−f=(b−d)+(d−f)≤b−d+d−f，
所以D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立，故④正确.
故选：C
3．复数z满足z+z=|z|，则z|z|的实部为（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】C
【解析】设z=a+bi，a，b∈R，
z+z=2a=|z|=a2+b2⇒b=±3a，
z|z|=aa2+b2+ba2+b2i=12±32i，
所以z|z|的实部为12，
故选：C.
4．若复数z满足，则的最小值为
【答案】/
【解析】设，（不同时为0），
，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，
的最小值是点与的距离.
故答案为：.
5．已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【解析】（1）因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以把，代入得，
化简得，
即，解得：，
法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以此方程的另一根为：，则，
解得：，
6．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数(i为虚数单位),且复数z+ai2在复平面上对应点在第一象限.
(1)求z的值;
(2)求实数a的取值范围.
【解析】解:(1)设z=x+yix,y∈R,
又z+2i=x+y+2i,且为实数,∴y+2=0,解得y=−2.
∴z2−i=x−2i2−i=x−2i2+i2−i2+i=2x+2+x−4i5,
∵z2−i为实数,∴x−45=0,解得x=4.
∴z=4−2i
(2)∵复数z+ai2=4+a−2i2=16−a−22+8a−2i=12+4a−a2+8a−16i,
∴12+4a−a2>08a−16>0,解得2