2026年新高考数学专题复习学案 8.三次函数及应用

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基本命题原理
对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下：
1.根的个数（）.
对于三次函数，其导函数为二次函数:
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1）若，则恰有一个实根；
（2）若,且，则恰有一个实根；
（3）若,且，则有两个不相等的实根；
（4）若,且，则有三个不相等的实根.
注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，
即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且
）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
2.极值情况：
三次函数（）,导函数为二次函数
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1） 若，则在上为增函数；
（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：, △=，
（1） 当 即时，在 R上恒成立， 即在为
增函数.
（2） 当 即时，解方程，得
由得或，在和上为增函数.由得
，在上为减函数.
总结以上得到结论:三次函数（）
（1）若，则在上无极值；
（2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
3.对称中心
三次函数的对称中心为点，该点是三
次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.
4.三次方程根与系数得关系
（1）已知实系数多项式有三个根,设为
（2）由三次方程根与系数的关系：
二．典例应用
★1.小题训练（主要围绕性质，多记多便利）
例1．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）关于函数，下列说法正确的是（ ）
①曲线在点处的切线方程为；
②的图象关于原点对称；
③若有三个不同零点，则实数的范围是；
④在上单调递减.
A．①④B．②④C．①②③D．①③④
解析：函数，求导得，
对于①，，而，则切线方程为，即，①正确；
对于②，，则的图象关于原点不对称，②错误；
对于③，当或时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，
函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标，
因此当直线与函数图象有3个交点时，，③正确；
对于④，在上单调递减，④正确，故选：D
以下选择题均为多选题.
例2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
解析：A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；
不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD
例3．（24-25高三上广东省开学考试）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
解析：对于A，当时，，求导得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，函数在R上单调递增，无极值点，B正确；
对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为R，C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD
例4．（24-25高三上海南省开学考试）已知函数，则（ ）
A．是函数的极小值点
B．存在3个不同的值，使得函数有2个零点
C．有且仅有一个值，使得曲线有对称轴
D．存在无数多个值，使得曲线有对称中心
解析：由题意可知：函数的定义域为R，且，
对于选项A：例如，则，令，解得或；令，解得；可知在0,1内单调递减，在内单调递增，
可知是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，可知0不为的零点，令，可得，令，则，若函数有2个零点，则与有2个交点，令，则，当时，；当或时，，可知在内单调递增，在内单调递减，且，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，

由图象可得或或，则或或，即存在3个不同的值，使得函数有2个零点，故B正确；
对于选项C：若曲线有对称轴，设为，则，即，整理可得，
结合的任意性可知，解得，所以有且仅有一个值，使得曲线有对称轴，故C正确；
对于选项D：若，则，
所以的对称中心为，即存在无数多个值，使得曲线有对称中心，故D正确；故选：BCD.
例5．（23-24高二下山东临沂期末）已知函数，则（ ）
A．存在实数使得
B．当时，有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．若曲线有两条过点的切线，则
解析：对A，根据已知的导函数，令则，令，，当时，
根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确；
对B，根据题意知，令得到，
在和上，所以在和单调递增，
在上，所以在单调递减，是的极大值，且的极大值大于极小值，，
，所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误；
对C，令，该函数定义域为R，且，
所以为奇函数，是的对称中心，将向下移动两个单位得到的图像，所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对D，过的切线的切点为，切线斜率为，
则切线方程为，把点代入可得，化简可得，令，
则，令可得或，在和上大于零，所以在和上单调递增，在上小于零，所以在单调递减，要使有两个解，一个极值一定为，若函数在极值点时的函数值为，可得，
所以若函数在极值点时的函数值为，可得，所以，故D不正确.故选：AC
6．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．当时，
C．当时，
D．当时，
解析：对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，f'x