2026年新高考数学专题复习学案 27. min，max函数与最值嵌套

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是我们在中学阶段常见的两个函数，虽未出现在课本单独的章节予以讲解，但在新教材的例题中已经见其身影.这两个函数可以与导数结合考察学生的分类讨论能力，也可在联赛中和不等式题目结合，着重考察对不等式结构的感知与把握.然而，尚有很多学生对这两类函数不知所措.特别是在九省联考后，由于命题人选用其打造了九省联考的14题，所以近两个月以来相关题目层出不穷.因此，本文针对上述现象，选择合适的题目，展示处理此类函数时的分类讨论思想和基本处理方法.
二．基本命题手法（凌晨讲数学）
在处理含函数的问题中，核心思想任然是去掉这个符号，基于问题呈现的不同方
式，我将其总结为两个具体的方面.
1.单个最值符号问题，此时我们可以通过分类讨论去掉，即：
，
所以就转化成两个大小关系的比较.
（1）之间通过代数关系作差比较大小；
（2）借助函数图像，作图后实现大小比较.利用数形结合，这也是新教材中相关例题的处
理方法
对于双重最值分类讨论去符号就变得复杂，此时可以有两个方法：
（1）借助该函数的最值性去掉该符号.
（2）探寻几何意义（切比雪夫最佳逼近）
二．典例分析
★1.利用最值性去符号
例1.以表示数集中最大的数．设，已知或，则
的最小值为_________．
解析：设,，则①，②，③，所以由②+③可得④，由①+④可得：⑤，当时，代入⑤可得：.当且仅当取到.由①+④得,当时，，当且仅当
解得时,等号成立.综上.故的最小值为.
例2.（2021四川预赛）设，，则的最小值为_____..
解析：，故，当且仅当取到.
注.此题中，要使用函数的基本定义，即最大值或最小值来去掉符号转化为普通的不等式求值.（凌晨讲数学）
例3．以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则________
解析：由，得，设，则，由，
当且仅当时，取等号，所以.
例4．定义，对于任意实数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
解析：设，则，得，设，则，
令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得，
所以，得，即.故选：A
★2.分类讨论取符号
例5.已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：令函数，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，令函数，由，得，因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图1， 观察图象知，当，即时，直线与（凌晨讲数学）函数的图象只有一个交点.
如图2，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，

图1图2
当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，所以函数有两个零点，实数的取值范围是.故选：A
例6．(2015高考数学新课标1理科)已知函数
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
解析：（1）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得．因此，当时，轴是曲线的切线．
（2）当时，，从而，
∴在无零点．
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点．
当时，，所以只需考虑在的零点个数．
（ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，，所以当时，在（0,1）有一个零点；当0时，在无零点．
（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=．
①若，即＜，（凌晨讲数学）在无零点．
②若=0，即，则在有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点．综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
例7.记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________．
解析：依题意，画出符合题意的函数图象，由图可知，当取到最大值时满足，解得，故的最大值为.故答案为：.
例8．用表示中的最小数．已知函数，则的最大值为( )
A．B．C．D．ln2
解析：∵，∴，根据导数易知在上单调递增，在上单调递减；由题意令，即，解得；作出图象：

则的最大值为两函数图象交点处函数值为．故选：C．
三．习题演练
1．已知函数（），.记表示中的最小者，设函数（），若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为_________.
解析：当时，，则，则在上没有实数解；当时，，若，则，，则不是的实数解，若，则，因此，则是的实数解；（凌晨讲数学）当时，，则只需讨论在区间的实数解的个数，由，得，即问题等价于与图象的交点个数，由于，在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合在区间上的图象知，当时，有3个实数解，所以实数的取值范围为.故答案为：
2．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为_________.
解析：令其中，所以，若，则，故，令，
因此,故,则，若，则，即，，则,故,则，当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，（凌晨讲数学）综上可知的最小值为，故答案为：