2026年新高考数学专题复习学案 1.分式函数的最值与计算

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我们把（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数. 对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.
1．均值不等式与双钩函数方法
1.1：型函数的处理
对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，再利用双钩函数的性质求解.
1.2.型.
形如可通过换元将问题转化为，然后进行可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像，再求出值域，或者均值不等式.
1.3.：同时除以分子：→2的模型.
1.4.，这就转化成了3的类型.
2．判别式法：请见例题分析
3．导数法
二．典例分析
例1.
解：令 ，进而可求出值域：

例2.函数的最小值为________.
解析：解法1（均值不等式法）：令，则，，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为3.
解法2（判别式法）：将变形为，整理得：
①，将式①看出关于的一元二次方程，
其判别式，解得：或，因为，所以，，从而，故，
注意到当时，，所以函数的最小值为3.
解法3（求导法）：设，则，所以，，从而在上，在上，故.
例3．（2022全国甲卷）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
解析:方法1. 余弦定理：设，
则在中，，
在中，，故可得：
当且仅当即时，等号成立. 所以当取最小值时，.
（方法2）判别式法：设，则
在中，，
在中，，
所以，记，则
由方程有解得：，即，解得：
所以，此时，所以当取最小值时，，即.
方法 3 (导数法) 因为, 所以. 由得; 由得. 所以在区间上单调递减, 在区间,上单调递增. 故当时,取得最小值.所以, 当取得最小值时,.
例4.函数的最大值为________.
解析：设，则，，且，
当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.
例4．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
解析：依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，显然直线的斜率最大, 必有, 则直线的斜率,
当且仅当, 即时取等号, 所以直线的斜率的最大值为.故选：A
例5．已知点，点P在抛物线上运动，F是抛物线的焦点，连接PF并延长与圆交于点B，则的最小值是 .
解析：由题意可知，抛物线的焦点为.设点，则由抛物线的定义得，.要使最小，则应有，此时有.令，则，
，因为，显然有，
则由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.故答案为：4.
小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：
① ：换元→分离常数→反比例函数模型
② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型
③ ：同时除以分子：→②的模型
④ ：分离常数→③的模型
最后看一道与不等式综合的新定义压轴.
例6.（四川省成都市2025届高三二诊）对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质.
(1)证明：集合具有性质；
(2)若集合具有性质，求的最小值；
(3)若集合具有性质，求的最大值.
解析：（1）要证明集合具有性质，即证明，都有，因为，所以.
因为，所以，所以，都有，即集合具有性质.
（2）因为，
，
令，则，因为，当且仅当时等号成立，所以，又集合具有性质，
于是，有，即，
即，成立，令，，
因为函数在上单调递减，且，
所以，则，所以，当且仅当时等号成立；
，当且仅当或时等号成立，则，即的最小值为.
（3）因为集合具有性质，由题意，得，都有，
即，注意到
所以，又，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为1.又，当且仅当时等号成立，则，又，令，，则，即，则，即，
所以，
令，，则，即函数在上单调递增，又，所以，
当且仅当或时等号成立，所以的最大值为，又的最小值为1，所以的最大值为.
三．习题演练
1．函数的值域（ ）
A．B．
C．D．
【详解】依题意,, 其中
的值域为, 故函数的值域为, 故选 D.
2．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【详解】由可得, 当时, 故
, 当且仅当时等号成立, 而恒成立, 故
, 故的值域为, 故选: C
3．已知函数，定义域为，则函数（ ）
A．有最小值1B．有最大值1
C．有最小值3D．有最大值3
【详解】，
，，
由基本不等式，，当且仅当时，即时等号成立，
∴，即，最大值为1.故选：B.
4．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．3B．2C．1D．0.5
【详解】由题意，，当时，；
当时,, 因为, 当且仅当时, 即时, 不等式取等号, 所以, 则在的值域为
,
当时,, 由基本不等式可知,, 即, 当且仅当时, 即时, 不等式取等号, 故, 则
在的值域为, 综上所述,在上的值域为, 从而. 故选: C.
5．函数的值域是 ．
【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，
所以，当时，；当时，，解得，
所以，，即函数的值域是，故答案为：
6．已知函数，则的值域为 ．
【详解】，
即；，；
当且仅当，即时，取最小值2；又最大值应在两个区间端点的某一处取到，；；．
所以．所以值域为．故答案为:
7．函数的值域是 .
【详解】由函数可知。所以，整理得：，当时，，符合；当时，则关于的一元二次方程在有根所以
整理得：且解得：，
综上得：.
8．函数的值域是_____________ .
【详解】函数的定义域为，，由于，所以，且，
所以且，所以函数的值域为.
故答案为：
9.求函数 的值域
解：设，
，
10.求函数的值域
解：设
问题转化为求的值域.由均值不等式
当时取等号，即
11.函数的最小值为________.
解法1（均值不等式法）：由题意，，令
，则，，
且，
当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.
解法2（判别式法）：将变形为，整理得：
，当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，
其判别式，解得：，
注意到当时，，所以函数的最小值为.
解法3（求导法）：设，则，所以
，，从而在上，在上，故