2026年新高考数学专题复习学案 66.利用空间向量解决最值(范围)问题

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如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC
的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
解析：（1）证明： 在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以因为，所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为，则有，设，则有，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
例2. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
解析：（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，又，所以平面．
所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，．由题设（）．
（1）因为，所以，所以．
（2）设平面的法向量为，因为，
所以，即．令，则
因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．
所以.
例3．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
（1）当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
（2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
解析：（1）因为，，所以是正三角形，则，易知底面圆，而底面圆，所以，又在中，，所以，因为是正三角形，所以，
且，，所以，，同理可证，
又，平面，所以平面，即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设，
所以
设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米