2026年新高考数学专题复习学案 13.已知极值点个数求参数及应用

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已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况：
（1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可.
（2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要分离参数，或者用到二阶导数，甚至三阶导数.
综上所述，相关问题就是一个讨论导函数变号零点的问题，所以又是一个方程问题，下面我们通过例子来分析具体解法.
二．典例分析
例1．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：对原函数求导得，，因为函数有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两个不等实根，亦即有两个不等实根.令，则可知在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当时，，当时，，
所以，解得，即的范围是.故选：B
例2．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：，因为在上有两个不同的零点，
即有两个不同的正根，即有两个不同的正根，即与有两个不同的交点.因为，当时，，当时，，
所以函数在为增函数，在为减函数，当时，，且当时，，在同一坐标系中作出 与的图象，如图所示：
由图象得，故选：B.
例3．已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ）
解析：，，则
，函数存在唯一的极值点，由，可知函数在上有一个变号零点，在没有变号零点，即在没有变号零点，令，，
则，当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；则，则，故实数的取值范围为.故选：B.
例4．已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上有两个极值点，求实数的取值范围.
解析：，
，在处的切线方程为，即；
（2）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，令，，

令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，
当时，方程在上有两个不同的实数根，实数的取值范围为.
例5．若函数（且）既有极大值又有极小值，则的取值范围为__________.
解析：由题，令，则，所以有两个不相等的实数根.令，则，若，则时，在单调递减，则时，在单调递增，，所以，故，
若，则时，在单调递增，则时，在单调递减，，
所以，故或，
所以且.故答案为：且.
例6．若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是_______．
解析：函数的定义域为，，
令，解得或，若函数有2个极值点，则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点，而，
令，令或，故在和上单调递减，在上单调递增，又，如图所示，
由图可得.故答案为：
例7．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为__________.
解析：因为，所以，因为有两个极值点，所以恰有两个正根，即为一个根，则有唯一正根，且，即有唯一正根，且，设，则的图象与图象有一个交点，，所以时，，所以在为增函数，又，因为，所以，所以只需且，即可满足题意，所以实数t的取值范围为.故答案为：
三．习题演练
1．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，所以. 因为函数在其定义域内既有极大值也有极小值，所以只需方程在有两个不相等实根.
即，令，则.在递增，在递减.∴， 故选D.
2．已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（ ）
A．且B．C．或D．
解析：由题意，求得函数的导数，令，即.
则．设，得．
当时，得；当时，得或，
所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．
因为函数有且只有一个极值点，
所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．
当时恒成立，所以无极值，所以．故选D．
3．已知函数 有两个极值点，且，则实数的取值范围为___________ .
【详解】原题等价于 是导函数 的两个零点， ，
即是方程 的两个不相等的实数根，显然不符合方程0，
所以和是方程 的两个根，
即函数 的图像与直线有两个不同的交点，
由于 ，所以当或时， ；当时， ，故的减区间为和，增区间为，当趋于时， 趋于0，且，当且x趋于0时，趋于，当时，x趋于0时，趋于，
在处， 取得极小值 ；当时，x趋于时， 趋于 ，
作出的大致图像如下图所示，
由图可知， ，且，因为，取，并令，则 ， 单调递增， ，解得 ，此时 ，即 ，故答案为：.
4．若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为_____________．
【详解】因为，所以，
令，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递减，在上单调递增，又，，
当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，
则当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，
则当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，
此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时当时即，当时即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时当时即，当时即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当，即时的图象如下所示：
即与轴有个交点，不妨依次设为、、，则当或时，即，当或时，即，所以在处取得极小值，符合题意，综上可得实数的取值范围为.故答案为：