人教版高考数学第二轮专项练习专题13 焦点三角形的面积公式（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题13 焦点三角形的面积公式（解析版），共14页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
1、椭圆中焦点三角形面积公式
在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则：
①
②
③,其中.
2、双曲线中焦点三角形面积公式
在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则：
①
②
③
注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定
理，基本不等式等综合应用.
二、典型例题
1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由椭圆的方程可得，，，则，
因为，则，
即，即，解得，
因此，.
故选：D.
另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中，由题意知，，代入
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，要特别注意记忆表示的是哪个角.
2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
设.
在中，当时，由椭圆的定义，余弦定理得：
整理得：
由三角形的面积公式得：，解得：.
因为线段的中点落到y轴上，又O为的中点，所以轴，即.
由，得，解得：，所以，
代入椭圆标准方程得：.
又有，解得：，所以椭圆标准方程为：.
所以.
因为，所以.
所以.
因为，
当时，，
所以.
故选：A.
另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中，由题意知，代入公式，又当线段的中点落到y轴上时，，可知，从而有，，且，进一步有：所以椭圆标准方程为：.
所以.
因为，所以.
所以.
因为，
当时，，
所以.
故选：A.
【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】
解：设双曲线的左焦点为，连接，，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
所以，圆心为，半径为，
根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，，
则，由可得，
所以，所以，所以.
故选：B.
另解：解：设双曲线的左焦点为，连接，，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
所以，且,根据双曲线焦点三角形面积公式：得：，结合，得.
【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式.
4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则S＝
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为
【答案】ACD
【详解】
由，得，则
焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确．
当S＝4时，，由，可得，故 B错误．
当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确．
设，则，由题设知，则，所以，故D正确．
故选：ACD
【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，.
故选：B.
2．（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【详解】
解：因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即，
又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个，
故选：A.
3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．48B．40C．28D．24
【答案】D
【详解】
椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】B
【详解】
解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））椭圆的左右焦点为､，为椭圆上的一点，，则的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】
∵点是椭圆上的一点，､是焦点，
∴，即①，
∵在△中，
∴②，
①-②得：，.
故选：C.
6．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ）
A．离心率B．的周长为18
C．直线与直线斜率乘积为定值D．若，则的面积为8
【答案】D
【详解】
由，可得，，，
A，离心率，故A正确；
B，的周长为，故B正确.
C，设，，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D错误.
故选：D
7．（2021·黑龙江·大庆中学高二期末）已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题意，故为直角三角形，
，
又，
，
又为直角三角形，故，
，
即，
.
故选：D.
8．（2022·山西运城·高二期末）已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（ ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．的面积为
C．双曲线的离心率为
D．直线是双曲线的一条渐近线
【答案】B
【详解】
因为，又由题意及双曲线的定义可得：，
则，，所以A不正确；
因为在以为直径的圆上，所以，
所以，所以B正确；
在△中，由勾股定理可得，
即，所以离心率，
所以C不正确；
由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，
即，所以D不正确；
故选：B．
9．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，
所以，，，
因为，所以，
设的内切圆的半径为，
则，即，解得，
如图，设的内切圆与边相切于点，则，，
所以，
所以
故选：A
10．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
根据双曲线的定义，可得：
又：
解得：，
双曲线C的离心率为，则有：
在中，由余弦定理，可得：
则有：
的面积为，可得：
解得：
故双曲线C的实轴长为：2
故选：B
11．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知双曲线的左，右焦点为，P为双曲线右支上的一点，，I是的内心，则下列结论错误的是（ ）
A．是直角三角形B．点I的横坐标为1
C．D．的内切圆的面积为
【答案】D
【详解】
由已知可得，，设，则，得，所以，即，所以，所以A正确；设内接圆半径为，则，得，所以I的坐标为，面积为所以B正确，D错误；由题意，，所以C正确；
故选：D.
12．（2022·天津和平·高二期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，所以，，，
在双曲线上，设，，
①，
由，在中由余弦定理可得：
，
故②，
由①②可得，
直角的面积.
故选：C.
13．（2022·全国·高三专题练习）是双曲线右支上的一点，，是左，右焦点，，则的内切圆半径为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：由双曲线定义可得，即，又，由余弦定理得，，
设的内切圆半径为r，则，
.
故选：D.