人教版高考数学第二轮专项练习专题14 圆锥曲线的切线问题（原卷版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题14 圆锥曲线的切线问题（原卷版），共6页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：
比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据来求解；
比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据来求解；
对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.
而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：
1.过圆:上一点的切线方程为.
2.过椭圆上一点的切线方程为.
3.已知点,抛物线:和直线:.
(1)当点在抛物线上时,直线与抛物线相切,其中为切点,为切线.
(2)当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线.
(3)当点在抛物线内时,直线与抛物线相离.
二、典型例题
1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】
设，由题意得，过点B的切线l的方程为：，
令，可得，令，可得，
所以面积，
又点B在椭圆上，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：C
【反思】过椭圆上一点作切线，切线方程为：，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.
2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为注意不要带错，通过对比本题信息，，，，，将这些数字代入公式，可求出切线，再利用直线垂直的性质求解.
3．（2022·江苏南通·一模）过点作圆的切线交坐标轴于点、，则_________.
【答案】
【详解】
圆的圆心为，，
因为，则点在圆上，所以，，
所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即，
直线交轴于点，交轴于点，
所以，，，因此，.
故答案为：.
另解：过圆:上一点的切线方程为.可知，；，,代入计算得到过点作圆的切线为：，整理得：，直线交轴于点，交轴于点，
所以，，，因此，.
故答案为：.
【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
4．（2021·全国·高三专题练习（文））过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
【答案】1
【详解】
设切线斜率为，则切线方程，
联立方程可得，
则，解得，
即切线方程为，
取，得．
∴切线在轴上的截距为1．
故答案为：1．
另解：点在抛物线上，直接使用二级结论公式：已知点在抛物线:上，切线方程:，，，，代入得：，取，得．
【反思】本例中，提供了传统方法和二级结论的方法，抛物线的切线可以通过联立，有时求导也能解决，当切点在抛物线上时也可以直接使用本节二级结论，但是同学们使用公式前注意判断是否适用.
5．（2022·江苏徐州·高二期末）已知圆.
(1)过点作圆的切线，求切线的方程；
【答案】(1)；
【解析】
(1)圆，圆心，半径，
又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足，
又，故满足题意的切线斜率，
则过点的切线方程为，即.
【反思】本题求圆的切线问题，作为解答题，不推荐使用二级结论的公式，建议同学们使用传统的方法.
三、针对训练 举一反三
1．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．(1，＋∞)D．(1，3]
3．（2021·浙江·台州一中高三期中）过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
5．（2020·江西吉安·高二期末（理））过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·广东佛山·模拟预测）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·全国·高三专题练习）若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是
A．（）B．（）C．（）D．（）
9．（2022·山西临汾·一模（理））过点作抛物线的两条切线，切点分别为.若为的重心，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（理））倾斜角为135°的直线与抛物线相切，分别与轴、轴交于、两点，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为（ ）
A．4B．2C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线 ，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，，，，的横坐标分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
12．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（ ）
A．4B．3C．2D．1