专题10 焦点三角形的面积公式 -高中数学必备考试技能（原卷版）学案

结论十：焦点三角形的面积公式

结

论

(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.

(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.

解

读

这两个结论的得到可以利用定义、余弦定理得到，例如第1个：设由椭圆定义可得：，即；由余弦定理可得：整理可得：

，即，所以，

所以三角形的面积为

典

例

已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.

解

析

反

思

本题利用双曲线的定义和勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式可得出，进而可得出双曲线的渐近线方程.

双曲线中的焦点三角形：双曲线上一点与双曲线的两个焦点、构成的称为焦点三角形，在处理双曲线中的焦点三角形问题时，可结合双曲线的定义以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等）来求解.

针对训练*举一反三

1．设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是7，则是（    ）

A． B． C． D．

2．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（   ）.

A． B． C． D．

3．设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4.已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x

6．已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．

7．设为椭圆:的两个焦点。为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.