专题10 焦点三角形的面积公式 -高中数学必备考试技能（解析版）学案

结论十：焦点三角形的面积公式

结

论

(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.

(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.

解

读

这两个结论的得到可以利用定义、余弦定理得到，例如第1个：设由椭圆定义可得：，即；由余弦定理可得：整理可得：

，即，所以，

所以三角形的面积为

典

例

已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.

解

析

【答案】

【详解】，，

则，所以，，

因为，所以，，可得.因此，双曲线的渐近线方程为，即.

反

思

本题利用双曲线的定义和勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式可得出，进而可得出双曲线的渐近线方程.

双曲线中的焦点三角形：双曲线上一点与双曲线的两个焦点、构成的称为焦点三角形，在处理双曲线中的焦点三角形问题时，可结合双曲线的定义以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等）来求解.

针对训练*举一反三

1．设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是7，则是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为离心率为，又焦点三角形面积，又解得，故，故选：A.

2．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（   ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.

3．设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式有得故.

故渐近线的斜率.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为与.故双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：C

4.已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设双曲线右焦点为，取中点，连接

设，由双曲线定义知：，，且，，又，为中点，又为中点，且，，解得：，，，

，又双曲线焦点三角形面积

，，双曲线渐近线方程为。

5．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x

【答案】D

【详解】由△PF1F2的外心M，知：，

∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，

∴，即，

∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．

6．已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．

【答案】

【详解】由，可知a＝2，b＝，所以c＝，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，②由①②联立可得|PF1|＝.所以.

7．设为椭圆:的两个焦点。为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.

【答案】0

【解析】如图，

由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，

即，又由焦点三角形的面积，所以，所以，所以.