暑假作业15 几何法破解空间角问题-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业15 拓展专题5 几何法破解空间角问题
【知识点1 三种空间角】
1.异面直线所成的角（或夹角）
(1)定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线,我们把与所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角.
(2)范围：
2.直线与平面所成角（或夹角）
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角,当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0.
(2)范围：
3.二面角与两平面的夹角
(1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角.
(2)两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行或重合时，规定它们的夹角为0.
(2)范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：直接平移法求异面直线夹角（重点）】
1．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（ ）

A．B．C．D．
2.如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 .
【题型二：特殊点平移法求异面直线夹角（重点）】
3.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为 .
【题型三：补形法求异面直线夹角（重点）】
5.平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6.正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ．
【题型四：定义法求线面角（重点）】
7.在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8.已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 .
【题型五：三角余弦公式求线面角（重点）】
9.如图，在正方体中，与平面所成的角为 .
10．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ．
【题型六：等体积法求线面角（重点）】
11.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【题型七：定义法求二面角（两平面夹角）（重点）】
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．

【题型八：三垂线法求二面角（两平面夹角）（重点）】
15．已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为 .
16.如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【题型九：投影面积法求二面角（两平面夹角）（重点）】
17．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 .
18．如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 .
C
A
B
C1
B1
A1
E
G
【题型十：垂面法求二面角（两平面夹角）（重点）】
19. 如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小
【题型一：几种空间角的综合（高频）】
1.已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2.（多选）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，．又测得的长为10m，的长为，则（ ）
A．水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
B．水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
C．直线与水库底面所成角的正弦值为
D．直线与水库底面所成角的正弦值为
【题型二：由空间角的大小求参（重点）】
3．已知二面角的大小为，且与平面所成线面角为，若的面积为，则的面积的取值范围为 .
4．如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 .
【题型三：空间角与空间位置关系的综合（高频）】
5．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
6．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.

(1)求证：；
(2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【题型四：空间角的最值（或范围）问题（难点）】
7.已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 ．
8．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 .
9．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接．
(1)证明：平面平面；
(2)若点为棱的中点，平面，平面．
（i）与所成的最小角为，求；
（ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值．
【题型一：数学文化题（高频）】
1．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（ ）
A．B．C．D．
2．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（ ）
A．312B．304C．192D．184
【题型二：知识交汇题（难点）】
3．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
4．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（ ）

A．B．
C．D．
【题型三：开放探究题（重点）】
5．如图，在三棱锥中，已知，平面平面．若的边上有一点，使得与平面所成角为，则可能为 ．（写出一个符合题意的结果即可）
【题型四：新定义题（难点）】
6.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
①求直线与直线所成角的余弦值；
②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．⭐【知识讲解】
直接平移法求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
⭐【知识讲解】
当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.
⭐【知识讲解】
即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形.
⭐【知识讲解】
利用线面角的定义求线面角的步骤可归纳如下：
（1）作垂直：作平面的垂线
（2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）计算：利用余弦定理等求角度。
O
O
⭐【知识讲解】
三角余弦公式：
如图,,点C在AC上，=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC，
则有.
其中=∠OAB即为直线OA与平面所成的角.
O
C
B
A
A
O
O
⭐【知识讲解】
在利用线面角的定义求线面角的大小时，有时斜线上的点到平面的距离不易求得，此时可利用等体积法先求出这段距离，再利用线面角的定义求角.
公式为：sinθ=hl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长.
⭐【知识讲解】
定义法求二面角大小的一般步骤
（1）作：找出这个平面角；
（2）证：证明这个角是二面角的平面角；
（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
⭐【知识讲解】
1.三垂线定理及逆定理
⑴定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
= 2 \* GB2 ⑵逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
2.利用三垂线定理求二面角：
三垂线法是求二面角的常见方法,依据是三垂线定理或逆定理,利用它求解的关键是作出平面的垂线，当平面是水平平面时，容易找到面的垂线，而当平面是非水平状态时，面的垂线的寻找有一定的难度，因此对线面垂直关系的不同位置，应多注意观察，加强练习.
⭐【知识讲解】
如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值,
即
即
将从边之比到面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解
⭐【知识讲解】
如图，若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC,则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角，此时平面恰好为二面角棱的垂面，故此法称为垂面法.
垂面法将二面角转换成线线角，计算量较小.