暑假作业01 平面向量的概念及线性运算-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业01 平面向量的概念及线性运算
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：向量的有关概念（易错点） 】
1．关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
2.若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点,可得到两两互不相等的向量的个数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
3.（多选题）下列命题中正确的个数是（ ）
A．若，则
B．已知向量，则四点不一定在一直线上
C．若，，则
D．若，则
4.正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个点为起点或终点的向量中,与AB相等的向量共有 个,与AB的模相等且夹角为60°的向量共有 个.
5.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED和四边形OCFB都是正方形,在向量AO,BO,CO,DO,BF,CF,AE,DE中:
(1)分别写出与AO,BO相等的向量;
(2)写出与AO共线的向量;
(3)写出与AO长度相等的向量;
(4)求向量AE与DC的夹角的大小.
【题型二：向量的线性运算（重点）】
6.中，若，，，则向量可用，表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A．B．
C．D．
8.（多选题）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（ ）
A．B．
C．D．
9.如图,在三角形ABC中,D是边BC的中点,E是边AB上一点,则BE-DC+ED= .
【题型三：向量共线定理的应用（高频）】
10．已知，，，则（ ）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
11．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.若和是两个不共线的非零向量，和起点相同，且，，三个向量的终点在同一条直线上．则的值是（ ）
A．B．C．1D．2
13.设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
14.设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ．

【题型一：利用向量的线性运算求参（重点）】
1.若点D在的边上，且，M是的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且|AB|=2,设|CE|=x,|CF|=y,若|AF-AE|=|AB|,则x+y的最大值为( )
A.2B.4C.22D.42
3.已知是内的一点，角、、所对的边长分别为、、，而且，若，则_____
【题型二：向量模长不等式的应用（难点）】
【知识讲解】向量的模长满足不等式| ||－|| |≤|±|≤||+||.
4.已知向量，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．设是非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【题型三：三点共线定理的应用（高频）】
【知识讲解】
三点共线定理：已知平面内直线AB外任意一点O,满足,且，则点P与点A,B共线.
对于由三点共线求参的问题，常利用三点共线定理速解.
7．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（多选题）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值是8
9.已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________．
10.如图，在中，已知点D在上满足，点M是的中点，过M作直线交，于P，Q两点，记，，且，．
(1)试用的线性运算结果分别表示有向线段与；
(2)求的最小值，并写出取等条件．
【题型四：利用向量线性运算解决平面几何问题（重点）】
11.在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
12.在四边形ABCD中,|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形ABCD的形状一定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
13.用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
14. 在□ABCD中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又==,=，设=,=.
(1)试用,表示向量；
(2)求证：PM∥AN.
15.如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
【题型一：与向量有关的新定义题（难点）】
1. 设是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（ ）
A．C可能是线段的中点
B．D可能是线段的中点
C．C、D可能同时在线段上
D．C、D不可能同时在线段的延长线上
2.对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A．的“平衡点”为 B．的“平衡点”为的中点.
C．的“平衡点”存在且唯一 D．的“平衡点”必为
【题型二：利用向量解决探究性问题（难点）】
3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.右图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到，也可以跳到，用向量 表示马走了“一步”.试在图中画出马在处走了“一步”的所有情况．
4.如图,D,E,F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点,且在t=0时(初始时刻)分别从A、B、C出发,各以一定的速度沿各边向B、C、A移动,当t=1时,分别到达B、C、A,DH为△DEF的中线,求证:0≤t≤1的任何一时刻,△DEF的重心恒为G.