人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品第一课时精练

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4．3.1　第一课时　等比数列的概念及通项公式[A级　基础巩固]1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B．2C.   D．解析：选D　设数列{an}的公比为q，则q>0.由已知，得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又q>0，所以q＝，所以a1＝＝＝，故选D.2．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，＝a11，则k＝(　　)A．12   B．15C．18   D．21解析：选D　＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1>0，q≠1，∴＝10，∴k＝21，故选D.3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝(　　)A．32 019＋1　　　　　　 B．32 019－1C．32 019－2   D．32 019＋2解析：选B　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴数列{an＋1}是首项，公比均为3的等比数列，∴an＋1＝3n，即an＝3n－1，∴a2 019＝32 019－1.故选B.4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)A.   D．C.   D．或解析：选B　设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，则＝＝.故选B.5．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于(　　)A．9   B．10C．11   D．12解析：选C　∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.答案：an＝3·(－1)n－17．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.答案：68．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝________.解析：∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.答案：49．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20，∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)．又a1＝＝2，∴an＝2n.10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，∴＝.∴数列{an}是等比数列．[B级　综合运用]11．(多选)已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是(　　)A．一定是等差数列B．公差为2d的等差数列C．可能是等比数列D．可能既非等差数列又非等比数列解析：选ABC　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋(2n＋3)d]－[2a1＋(2n＋1)d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确；故选A、B、C.12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，，，，…记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为(　　)A.   D．C.   D．解析：选C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.13．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1<b1，b2<a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，则a＝________，an＝________.解析：∵a1<b1，b2<a3，∴∴b(a－2)<a<b，∴a<3，又∵a>1，且a∈N*，∴a＝2.∵对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋(m－1)b＋3＝b，∴b(2－m)＝5，又∵2－m<2，且2－m∈N*，∴∴an＝a＋(n－1)b＝5n－3.答案：2　5n－314．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．由(1)知a1－2＝－2＝，∴an－2n≠0，n∈N*.∴＝3，∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.[C级　拓展探究]15．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是不是为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.