天津市河西区2024-2025学年高二上学期期中质量调查数学试卷（解析版）

这是一份天津市河西区2024-2025学年高二上学期期中质量调查数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，则等于（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由题意得：，，
故选：C.
2. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 135°
【答案】B
【解析】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°.
故选：B.
3. 在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述：
①点关于轴的对称点的坐标是；
②点关于平面的对称点的坐标是；
③点关于轴的对称点的坐标是；
④点关于原点的对称点的坐标是．
其中正确的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】空间直角坐标系中，点.
对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误；
对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误；
对于③，点关于轴对称的点的坐标是，③错误；
对于④，点关于原点的对称点的坐标是，④正确；
综上知，正确的个数是1.
故选：C.
4. 已知向量是直线的方向向量，是平面的法向量，且，则直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为向量是直线的方向向量，是平面的法向量，且，
设直线与平面所成的角为，则，
又，所以，
即直线与平面所成的角为.
故选：A.
5. 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A. （－∞，－2）∪B.
C.（－2，0）D.
【答案】D
【解析】由题得方程为＋（y＋a）2＝1－a－
因为方程＋（y＋a）2＝1－a－表示圆，
则1－a－＞0，解得－2＜a＜
故选：D
6. 若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
7. 设空间四点满足，其中，则（ ）
A. 点一定在直线上B. 点一定不在直线上
C. 点不一定在直线上D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】因为，所以，而，
故，所以，
所以，则点一定在直线上，故A正确.
故选：A.
8. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示，∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角．
在△OEH中，，HE＝，OH＝．
由余弦定理，可得cs∠OEH＝．
故选：B.
9. 已知点，且，则直线AB的方程为（ ）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
【答案】B
【解析】因为点，，且，
所以，所以，所以，所以，
所以，
所以直线的方程：．
即或．
故选：．
Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
10. ．已知向量 ，使成立的x与使成立的x分别为______．
【答案】，－6
【解析】因为，
当时，，解得；
当时，，解得．
11. 点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______
【答案】3x－y＋3＝0
【解析】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，
A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：，
中垂线的斜率为：3，
则l的方程为：y−6=3(x−1)，即：3x−y+3=0.
12. 已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．
【答案】
【解析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，
所以圆的半径，
故圆的方程为.
13. 已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为两条直线垂直，且，
所以，解得，此时，
将代入中，得到，
解得，此时垂足为点，将代入中，
得到，解得，
故.
14. 已知圆C1：，圆C2：，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为轴上的动点，则的最小值_____．
【答案】
【解析】如图所示，圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，
圆的圆心坐标为，半径为，
所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即.
15. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
【答案】
【解析】取射线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)．
所以＝，＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的法向量为=(x，y，z)．则即，
令z＝2，则x＝1，得=(1，0，2)，又＝，
所以点F到平面A1D1E的距离.
三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：

（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）如图，连接，

则，
（2）连接，则
．
（3），
（4）
.
17. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
解：（1）因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
（2）因为
所以与的夹角的余弦值为；
（3）因为与互相垂直，
所以
或.
18. 已知点到直线的距离均为，求直线的方程．
解：当点在直线的同侧时，得到，
由斜率公式得直线的斜率为，
故直线的方程为，化简得，
则可设直线的方程为，
因为两平行直线间的距离为，所以，解得或，
直线的方程为或，
当点在直线的两侧时，得到线段的中点在直线上，
即点在直线上，且直线的斜率存在，可设直线为，
由点到直线的距离公式得，解得．
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为线或或．
19. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程．
解：（Ⅰ）依题意知圆的半径等于原点到直线的距离，
即，
所以圆的方程为．
（Ⅱ）由题意，可设直线的方程为，
则圆心到直线的距离．
故，即．
所以直线的方程为或．
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

（1）证明：；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（3）若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面PAB所成角的余弦值．
（1）证明：在四棱锥中，底面ABCD，，以点为原点建立空间直角坐标系，如图，

依题意，，的中点，
向量，，则，所以
（2）解：向量，设为平面的法向量，
则，令，得，
于是有，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：，
由点在棱上，得，
由，得，解得，即，
设为平面的法向量，则，
令，得，
显然为平面的一个法向量，
则，
显然平面FAB与平面PAB所成角是锐角，
所以平面FAB与平面PAB所成角的余弦值这．