数学北师大版（2024）多边形和圆的初步认识学案

这是一份数学北师大版（2024）多边形和圆的初步认识学案，共11页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题，阅读理解题等内容，欢迎下载使用。
1．过六边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成a个三角形．则a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2． 图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形是( )
A．圆、长方形B．圆、长方体C．球、长方形D．球、线段
3．从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（ ）条
A．9条B．10条C．11条D．12条
4．一架民用直升机，一片螺旋桨的长度约是7米，直升机在飞行过程中，一片螺旋桨旋转一周扫过的面积是（ ） 平方米．
A．7πB．49πC．14πD．12.25π
5．数学课上，同学们把一个圆形纸片沿它的半径平均分成若干份以后剪开，用它们拼成一个面积不变的近似的长方形。这个长方形的周长是16.56厘米，这个圆形纸片的面积是 （ ）平方厘米。
A．12.56B．16.56C．8.28
6．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（ ）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形
D．以上说法都不正确
7．下列说法正确的是（ ）
A．平角的度数是360°
B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
C．已知线段AB＝2cm，延长线段AB到C，使BC＝6cm，则AC＝8cm
D．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是六边形
8．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．下面是琪琪提交的作业，她做对的题数是（ ）
①过八边形的一个顶点可以引出6条对角线；②−5x3的系数是−5；③−3.2既是分数，也是有理数；④38°9'和38.15°相等；⑤用一个平面去截一个三棱柱，截面可能是三角形；
A．2道B．3道C．4道D．5道
二、填空题
10．对于由平面上的点组成的图形A，若连结A 中任意两点的线段必定在A 内(包括边界)，则称 A 为平面上的凸图形。给出如图所示的平面上的四个图形(阴影区域及其边界)，其中属于凸图形的是 (填序号)。
11．每一个多边形都可分割（分割方法如图）成若干个三角形．根据这种方法八边形可以分割成 个三角形．用此方法n边形能割成 个三角形．
12．在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成 个不同的扇形.
13．如图，直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点O 到达O'，设点O'表示的数为a，则 −(a−16)−π的值为 。
14．如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 ．
15．将一个n边形的所有对角线画出来，会形成如图“”的图案，则n= ．
三、解答题
16．如图，直径AB为3厘米的半圆绕点A逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长和面积．
17． 观察如图所示图形， 回答下列问题：
（1）从八边形 ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出多少条对角线? 分别用字母表示出来；
（2）上面(1)中这些对角线将八边形分割成多少个三角形?
18．（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲、乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
19．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
20．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，试求（m﹣p）n的值．
四、阅读理解题
21．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形(n>3)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果；
（2）求十二边形总共有多少条对角线；
（3）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.
22．阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为nn−32，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程nn−32=20，去分母得n（n﹣3）=40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）=40的整数n=8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：过六边形的一个顶点的所有对角线可将六边形分成6−2=4个三角形．
故选B．
【分析】本题主要考查多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成n−2个三角形，据此解答，即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】平面图形的初步认识；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
组成这个标志的几何图形是圆、长方形
故答案为：A
【分析】根据简单几何图形的概念即可求出答案
3．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是 (12−3)=9 条.
故答案为：A.
【分析】根据从n边形的一个顶点出发引出对角线的条数=(n-3）可求解.
4．【答案】B
【知识点】扇形的面积
【解析】【解答】解： 一片螺旋桨旋转一周扫过的面积=π×72=49π，B正确.
故答案为：B.
【分析】分析题目可知， 一片螺旋桨旋转一周扫过的面积恰好是一个圆的面积，且该圆的半径可近似看做是螺旋桨的长，由此可求出圆的面积.
5．【答案】A
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：圆的半径为16.56÷（2+3.14×2）=16.56÷8.28=2（厘米）.
圆的面积为3.14×22=3.14×4=12.56（平方厘米）.
故答案为：A.
【分析】先求出圆的半径，再利用圆面积公式计算.
6．【答案】C
【知识点】平面图形的初步认识；多边形的对角线
【解析】【解答】A、∵由图形可得剪掉一个角后所得的多边形为六边形，∴A不正确，不符合题意；
B、∵从这个多边形的顶点A出发，最多可以画6-3=3条对角线，∴B不正确，不符合题意；
C、∵从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，∴C正确，符合题意；
D、∵C选项正确，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】结合图形，再利用多边形的性质及多边形对角线的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；多边形的对角线；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：A：平角的度数是180°，说法错误，不符合题意；
B：用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；
C：已知线段AB＝2cm，延长线段AB到C，使BC＝6cm，则AC＝8cm，说法正确，符合题意；
D：过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是八边形，说法错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平角，两点确定一条直线，线段，多边形等对每个选项逐一判断求解即可。
8．【答案】B
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图
探究规律：在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形；在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形；在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形。
总结规律：在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成(n−1)个三角形。
应用规律：由题意得：n−1=8，∴n=9.
故答案为：B.
【分析】逐一探究在三角形、四边形、五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成三角形的数量，从而总结出规律，运用规律列出方程并解之即可.
9．【答案】B
【知识点】截一个几何体；常用角的度量单位及换算；多边形的对角线；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：①中，过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，故①错误；
②中，−5x3的系数是−53，故②错误；
③中，−3.2既是分数，也是有理数，故③正确；
④中，38.15°=38°+0.15°×60'=38°9'，故④正确；
⑤中，用一个平面去截一个三棱柱，截面可能是三角形，故⑤正确；
故琪琪作对的题数为3道；
故选：B．
【分析】根据多边形的对角线，可判断①，根据单项式的系数：“单项式中的数字因数”，可判断②，根据有理数的分类，可判断③，根据角度制的转化，可判断④，根据几何体的截面，可判断⑤，即可得到答案．
10．【答案】②③
【知识点】多边形的概念与分类
【解析】【解答】解：①中取最左边的点和最右边的点的连线，不在图形中，故不为凸图形；
④中取两圆的公切线，不在图形中，故不为凸图形；②③显然符合．
故答案为②③．
【分析】由凸图形的定义，可取一些线段试一下，若有不在图形内部的点即可排除．
11．【答案】6；（n-2）
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：八边形可以分割成6个三角形．用此方法n边形能割成（n-2）个三角形．
故答案为：6，（n-2）.
【分析】根据图中提示，找出规律：四边形过一个顶点可画一条对角线，分成两个三角形，五边形过一个顶点可画两条对角线，能分成三个三角形，则n边形一个顶点可画（n−3）条对角线，可分（n−2）个三角形，进而将n=8代入即可算出答案．
12．【答案】6
【知识点】扇形的认识
【解析】【解答】解：如图，图中有三条半径，可以得到三个扇形，再把相邻的两个扇形拼在一起，可以得到新的3个扇形，所以可以得到6个不同扇形.
故答案为：6
【分析】根据扇形的定义回答即可求解.
13．【答案】4
【知识点】圆的相关概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
OO'的长度等于直径为1的圆的周长
∴OO'=π
∵点O'在原点左侧
∴a=-π
∴−(a−16)−π=−−π−4−π=4
故答案为：4
【分析】由题意可得OO'的长度等于直径为1的圆的周长，可得a=-π，再代入代数式即可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意得：360°÷72°=5
∴该正多边形为五边形
∴对角线条数为：5×5−32=5条
故答案为：5
【分析】本题考查多边形的对角线，由一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和为360°，用360°除以中心角的度数可得出正多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式：nn−32，即可得出答案.
15．【答案】5
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由图可知，从多边形的一个顶点出发能够引出2条对角线
∴n−3=2
∴n=5；
故答案为：5．
【分析】从多边形的一个顶点出发能够引出2条对角线，根据从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)条对角线，求解即可．
16．【答案】解：阴影部分的周长是2个扇形圆弧加以AB为半径的60°圆弧，
所以C=2×12π×3+60360×2×π×3=4π(厘米)；
阴影部分面积是以AB为半径的60°扇形面积，所以S=60360×π×32=32π(平方厘米)．
【知识点】扇形的面积
【解析】【分析】阴影部分的周长等于两个半圆的弧长加上一个扇形的弧长；
阴影部分的面积等于一个扇形的面积加上一个半圆的面积再减去一个半圆的面积就是等于一个扇形的面积.
17．【答案】（1）解：从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出5条对角线，分别为AC，AD，AE，AF，AG
（2）解：这些对角线将八边形分割成6个三角形
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】（1）n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线；
（2）n边形从一个顶点出发可以把n边形分成(n-2)个三角形，依此即可求解.
18．【答案】解：（1）BC=AB﹣AC=10
甲所走的路径长=12•2•π•AB2=12•2•π•402=20π（m）
乙所走的路径长=12•2•π•AC2+12•2•π•BC2=12•2•π•302+12•π•102=20π（m）
所以两人所走路程的相等；
（2）两人走的路程远近相同．理由如下：甲所走的路径长=12•2•π•AB2=12π•AB
乙所走的路径长=12•2•π•AC2+12•2•π•CD2+12•π•BD2=12π（AC+CD+DB）=12π•AB
即两人走的路程远近相同．
【知识点】圆的相关概念
【解析】【分析】（1）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC和BC为直径的两个半圆长的和，然后根据圆的周长公式进行计算，再比较大小；
（2）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC、CD和DB为直径的三个半圆长的和，然后根据圆的周长公式分别计算他们所走的路径，再比较大小即可．
19．【答案】解：（1）连OB，如图
∵AB=OC，OB=OC
∴AB=BO
∴∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∵∠2=∠A+∠1
∴∠2=2∠A
∵OB=OE
∴∠2=∠E
∴∠E=2∠A
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．
【知识点】圆的相关概念
【解析】【分析】（1）由AB=O得到AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．
20．【答案】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线
∴m﹣3=8，m=11；
n边形没有对角线，n=3；
∵p边形有p条对角线
∴p=p（p﹣3）÷2，解得p=5
所以（m﹣p）n=（11﹣5）3=216．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：nn−32（n≥3，且n为整数）可得到m、n、p的值，进而可得答案．
21．【答案】（1）解：n−3；n(n−3)2
（2）解：把n=12代入n(n−3)2计算得：12×92=54.
故一个十二边形总共有54条对角线；
（3）解：由题意得，n−3+n−2=2016，解得，n=20212
因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016.
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由表格中的数据知：从n边形的一个顶点出发可引起的对角线条数为（n-3）条，多边形对角线的总条数为：n(n−3)2 条.
故答案为：n-3，n(n−3)2.
【分析】（1）由表格中的数据找出规律即得结论；
（2）把n=12代入求值即可；
（3）设这个多边形的边数为n，则这些对角线分多边形所得的三角形个数为n-2，根据题意可得n−3+n−2=2016， 据此解答并判断即可.
22．【答案】解：（1）方程nn−32=14，去分母得：n（n﹣3）=28；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，符合方程的整数n=7，即多边形是七边形．（2）解：A同学说法是不正确的，∵方程nn−32=30，去分母得n（n﹣3）=60；符合方程n（n﹣3）=60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】（1）由题意得nn−32=14，进而可得n（n﹣3）=28，然后再找出满足积为28且相差3的因数即可；
（2）由题意得nn−32=30，进而可得n（n﹣3）=60，然后再找出满足积为60且相差3的因数，发现没有这样的两个数，因此A同学说法是不正确的．多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数
1
2
3
…
________
多边形对角线的总条数
2
5
9
…
________