北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用导学案

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用导学案，共15页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，△ABC是一块直角三角板，其中∠BAC=30°，直尺的一边DE经过顶点A，若∠BAE的度数是∠DAC的23，则∠DAB的度数为（ ）．
A．100°B．120°C．135°D．150°
2．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（ ）
A．x−2245+2230 =1B．x+2230+2245 =1
C．x+2245+2230 =1D．x30+x−2245 =1
3．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1:2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（ ）
A．80m=2×50×90−mB．2×50m=80×90−m
C．2×80m=50×90−mD．50m=2×80×90−m
4．某种商品的进价为200元，标价为400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证利润率为40%，则可以打 ( )
A．六折B．七折C．八折D．九折
5．若有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个，则这个班的小朋友有 ( )
A．26人B．27人C．28人D．29人
6．五一期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为2080元。设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )
A．x×30%×80%=2080B．x(1+30%)×80%=2080
C．2080×30%×80%=xD．x×30%=2080×80%
7．为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（ ）千克．
A．60000B．75000C．6000D．7500
8．已知线段AB上有两个点C、D，AB=18，C、D为动点（点C在点D的左侧），并且始终保持CD=8，若点C从点A出发向右运动（当点D到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，AC、BD两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（ ）
A．t=53B．t=53或t=83C．t=53或t=103D．t=83或t=103
二、填空题
9．如图，天平左边托盘上放着3个乒乓球，右边托盘上放着5g的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为x（g），由题意你所列出的一个含有未知数x的方程是 ．
10．为提升课堂积极性，某老师制定了如下奖励方案：回答问题为“优秀”等级可获得一张2分的卡片，回答问题为“一般”等级，可获得一张1分的卡片；若获得卡片较多，可拿两张1分的卡片找老师兑换一张2分的卡片，两张2分的卡片可兑换一张4分的卡片，两张4分的卡片可兑换一张8分的卡片……一学期下来，小明同学拥有分值为1，2，8，16，32，64，256的卡片各一张，若小明回答问题获“优秀”和“一般”等级共240次，请问这学期小明回答问题获得了 次“优秀”等级．
11．某种商品的标价为200元，为了吸引顾客，按九折出售，这时仍要盈利20%，则这种商品的进价是 元．
12．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，x+3，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ．
13．如图，某书店准备在一个书架上竖着摆放《九章算术》和《几何原本》，若把 10 本《九章算术》和 15 本《几何原本》依次摆放，则书架还有12厘米的剩余间隙；若把15 本《九章算术》和 10 本《几何原本》依次摆放，则书架还有 14 厘米的剩余间隙。若书架上只摆放 25 本《九章算术》，则书架的剩余间隙为 厘米。
14．如图，一个长方体玻璃容器内部的长为8cm，宽为6cm，高为16 cm，容器内水的高度为2cm，现把一块边长为4cm的立方体金属块放入水中，则容器内的水将升高 cm.
三、解答题
15．一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？
16． 一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多少厘米?
17．某商场经销A商品，每件售价60元，利润率为20%．
（1）求A商品每件进价为多少元；
（2）小明准备到商场团购A种商品、当团购数量不超过5件时，按照原售价购买，当团购数量超过5件时，超出部分按照原价8折购买，最终小明团购均价为52元/件，求小明团购了多少件A商品？
18．某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
19．我们记一对有理数a，b为数对a,b．如果数对a,b使等式a+b+1=ab成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对m,34是“有趣数对”，那么34,m是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对x,2是“有趣数对”，求x4−2x2+1的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么a,b是“有趣数对”吗？请说明理由．
20． 2024 年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有 800名工人，负责生产 A,B 两种盲盒。
（1）若该工厂生产盲盒 A 的人数比生产盲盒 B 的人数的 3 倍少 200 人，请求出生产盲盒 B 的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 3 个盲盒 A 和 4 个盲盒 B 组成．已知每个工人平均每天可以生产 10 个盲盒 A 或 20 个盲盒 B ，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 A ，多少名工人生产盲盒 B 才能使每天生产的盲盒正好配套？
四、实践探究题
21．【背景知识】．
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：a−b，若点A在B的右侧，即a>b，则A，B两点之间的距离为：a−b；
②线段AB的中点表示的数为a+b2；
③点A向右运动m个单位长度m>0后，点A表示的数为：a+m，点A向左运动m个单位长度m>0后，点A表示的数为：a−m．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点A表示数−3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒t>0．
（1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为______，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为______；运动t秒后，点A表示的数为______（用含t的式子表示）．
（2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
（3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC−2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
22．综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
（1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
（2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
（3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设∠DAC=x，则∠BAE=23x. 由题意可得
x+23x+30°=180°.
解得x=90°.
∴∠DAB=∠DAC+30°=90°+30°=120°.
故答案为：B.
【分析】设∠DAC=x，根据题意建立关于x的一元一次方程，先计算出∠DAC，然后加上30°即为∠DAB.
2．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 145 ，乙每天完成全部工作的 130 ．
根据等量关系列方程得： x−2245+2230 =1
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设分配m人生产螺丝，则有90−m人生产螺母
每天生产螺丝50m个，生产螺母80×90−m个
∵每天生产的螺丝和螺母按1:2配套
∴2×50m=80×90−m
故选：B．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配m人生产螺丝，得到90−m人生产螺母，结合每天生产的螺丝和螺母按1:2配套，列出关于x的一元一次方程，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设可以打x折
根据题意，得400×x10−200=200×40%
解得：x=7
∴可以打七折
故答案为：B.
【分析】设可以打x折，根据利润率为40%，而利润率=利润÷成本，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解，注意打x折就用标价乘以x10，不能直接乘以x.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个班的小朋友有x人
根据题意，得7x+4=200
解得：x=28
∴这个班的小朋友有28人
故答案为：C.
【分析】设这个班的小朋友有x人，根据“ 有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个 ”列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该电器的成本价为x 元，则该电器的标价为x(1+30%)元
由题意可得： x(1+30%)×80%=2080
故答案为：B
【分析】设该电器的成本价为x 元，则该电器的标价为x(1+30%)元，再根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售(1+25%)x千克
根据题意得：15x+12(1+25%)x=1800000
解得x=60000
∴(1+25%)x=75000
∴今年该扶贫农产品销售75000千克
故答案为：B．
【分析】设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售(1+25%)x千克，根据题意列出方程15x+12(1+25%)x=1800000，再求解即可。
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒
当AC=2BD时，依题意有2t=18−2t−8×2，解得t=103；
当BD=2AC时，依题意有2×2t=18−2t−8，解得t=53．
故当运动时间t为53或103秒时，使AC、BD两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及两点间的距离，根据题意，分AC=2BD,BD=2AC，两种情况讨论，分别列出关于t的方程，求得方程的即，即可得到答案.
9．【答案】3x=x+5
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，可列出一个含有未知数x的方程为：3x=x+5
故答案为：3x=x+5．
【分析】利用天平的左右持平列等式解题即可．
10．【答案】139
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，根据题意
得2x+240−x=1+2+8+16+32+64+256
解得x=139．
答：这学期小明回答问题获得了139次“优秀”等级．
故答案为：139.
【分析】设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，则获得了(240-x)次“一般”等级，根据“优秀”等级得分与“一般”等级得分之和为总积分列出方程，求解即可解答．
11．【答案】150
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设这种商品的进价是x元，根据题意可得200×90%=x（1＋20%）
解得：x=150
故答案为：150．
【分析】设这种商品的进价是x元，根据题意列出方程200×90%=x（1＋20%），再求出x的值即可。
12．【答案】−6
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意得：0−x+3=x+3−x
解得：x=−6
故答案为：−6．
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，以及解一元一次方程，根据题意，得出一元一次方程0−x+3=x+3−x，结合一元一次方程的解法，即可求解．
13．【答案】18
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意得： 5x=14−12
解得：x=25
∴14+10x=14+10×25=18(厘米)
∴若书架上只摆放25本《九章算术》，则书架的剩余间隙为18厘米.
故答案为： 18.
【分析】设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意列关于x的一元一次方程求出x的值，即可解题.
14．【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设容器内的水将升高 xcm
根据题意得：6×8×2+4×4×2+x=6×8×x+2
∴96+32+16x=48x+96
解得： x=1.
答：容器内的水将升高1cm.
故答案为：1 .
【分析】设容器内的水将升高 xcm，根据体积的计算方法列出方程，解之即可.
15．【答案】解：设乙队还需x天才能完成
由题意可得：39+3+x24=1
解得：x=13
∴乙队还需13天才能完成．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设乙队还需x天才能完成，根据甲乙两队的工作总量为1建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：设长方形的长为x，则宽为13-x
∴长减少1为x-1，增加2为15-x
∴x-1=15-x
解得：x=8
∴长方形的长为8cm，宽为5cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设长方形的长为x，则宽为13-x，则长减少1为x-1，增加2为15-x，根据正方形性质建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：60÷(1+20%)=50元
答：A商品每件进价为50元
（2）解：设小明团购了a件A商品
由题意得，5×60+60×0.8(a−5)=52a
解得a=15
答：小明团购了15件A商品
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据公式，利润=售价-进价，设A商品每件进价为x元 ，即可列出关于x的等式方程，求解即可；
（2）利用公式，总价=单价×数量，设小明团购了a件A商品，结合条件“ 最终小明团购均价为52元/件 ”，即可列出关于a的等式方程，即可求解.
18．【答案】（1）解：由题意可得
方案一的花费为：50×30×0.8＝1200（元）
方案二的花费为：（50﹣6）×0.9×30＝1188（元）
∵1200＞1188
∴若二班有50名学生，则他该选择方案二
（2）解：设一班有x人，根据题意，得
x×30×0.8＝（x﹣6）×0.9×30
解得x＝54．
答：一班有54人
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据优惠规则，分别计算方案一、方案二的总费用，再进行比较即可；
（2）设一班有x人，根据付款金额一样，可列出等式，即可求出一班人数.
19．【答案】（1）解：∵m,34是“有趣数对”
∴m+34+1=34m
∴m=−7
把a=34，b=−7代入a+b+1=ab中，左边=右边=−214
∴34,m是“有趣数对”.
（2）解：根据题意得x+2+1=2x
解得x=3
∴x2=9，x4=81
∴x4−2x2+1=81−2×9+1=64.
（3）解：∵a和b互为相反数
∴a+b=0，且ab≤0
∴a+b+1=1≠ab
∴a,b不是“有趣数对”．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“有趣数对”的定义可得m+34+1=34m，求出m的值，再证明即可；
（2）利用“有趣数对”的定义可得x+2+1=2x，再求出x的值，最后求出x4−2x2+1=81−2×9+1=64即可；
（3）先利用相反数的定义可得a+b=0，且ab≤0，再求出a+b+1=1≠ab，再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.
（1）解：∵m,34是“有趣数对”
∴m+34+1=34m
∴m=−7
把a=34，b=−7代入a+b+1=ab中，左边=右边=−214
所以34,m是“有趣数对”；
（2）解：依题意得x+2+1=2x
解得x=3
∴x2=9，x4=81
∴x4−2x2+1=81−2×9+1=64；
（3）解：∵a和b互为相反数
∴a+b=0，且ab≤0
∴a+b+1=1≠ab
∴a,b不是“有趣数对”．
20．【答案】（1）解：设该工厂生产盲盒B的工人人数为x，则生产盲盒A的人数为(3x﹣200).
根据题意，得 x+(3x﹣200)＝800
解得 x＝250
答：该工厂生产盲盒B的工人人数为250.
（2）解：设该工厂安排a名工人生产盲盒A，(800﹣a)名工人生产盲盒B
根据题意，得 10a3=20(800−a)4
解得 a＝480 则800﹣a＝320
答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒A，320名工人生产盲盒B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为 (3x﹣200) 人，根据该工厂共有800名工人， 列出一元一次方程，解方程即可；
(2)设安排a人生产盲盒A，则安排 (800﹣a) 人生产盲盒B，根据大礼包由 3 个盲盒 A 和 4 个盲盒 B 组成 .列出一元一次方程， 解方程即可.
21．【答案】（1）解：点A表示数−3，点B表示数1，点C表示数9，∴AB的距离为1−−3=4；A点与C点的中点D表示的数为−3+92=3；
运动t秒后，点A表示的数为−3−2t；
故答案为：4；3；−3−2t；
（2）解：因为点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动
所以t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t
当点A是点B，C的中点时，−3−2t=9−4t+1−t2
解得：t=16；
当点B是点A，C的中点时，1−t=9−4t+−3−2t2
解得：t=1；
当点C是点A，B的中点时，9−4t=1−t+−3−2t2
解得：t=4；
综上所述，t的值为16或1或4；
（3）解：存在，由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t
因为(1−t)−(−3−2t)=4+t>0
所以点A在点B的左侧
所以mBC−2AB=m9−4t−1−t−21−t−−3−2t
=−3mt+8m−2t−8
=−3m−2t+8m−8，
因为mBC−2AB的值为定值
所以−3m−2=0
解得：m=−23；
综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使mBC−2AB的值为定值，m的值为m=−23．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t，分三种情况讨论，结合线段AB的中点表示的数为a+b2，即可求解；
（3）由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t，由(1−t)−(−3−2t)=4+t>0可知点A在点B的左侧，化简mBC−2AB，即可求解．
（1）解：点A表示数−3，点B表示数1，点C表示数9
∴AB的距离为1−−3=4；A点与C点的中点D表示的数为−3+92=3；
运动t秒后，点A表示的数为−3−2t；
故答案为：4；3；−3−2t；
（2）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t，
当点A是点B，C的中点时，−3−2t=9−4t+1−t2
解得：t=16；
当点B是点A，C的中点时，1−t=9−4t+−3−2t2
解得：t=1；
当点C是点A，B的中点时，9−4t=1−t+−3−2t2
解得：t=4；
综上所述，t的值为16或1或4；
（3）解：存在
由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t
∵(1−t)−(−3−2t)=4+t>0
∴点A在点B的左侧
∴mBC−2AB=m9−4t−1−t−21−t−−3−2t
=−3mt+8m−2t−8
=−3m−2t+8m−8
∵mBC−2AB的值为定值
∴−3m−2=0
解得：m=−23；
综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使mBC−2AB的值为定值，m的值为m=−23．
22．【答案】（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂(60−20−10)件
甲完成的时间为：20×4=80（天）
乙完成的时间为：(60−20−10)×6=180（天）
丙完成的时间为：10×5=50（天）
因此最短工期为180天；
（2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂(60−x)件
则4x=6(60−x)
解得x=36
则60−x=24，4x=144
因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天；
（3）解：思考3：设分配给丙工厂m件，分配给甲工厂2m件，分配给乙工厂(60−3m)件
甲完成的时间为：2m×4=8m（天）
乙完成的时间为：6(60−3m)（天）
丙完成的时间为：5m（天）
∵8m>5m
∴当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短
则8m=6(60−3m)
解得m=18013=131113，
∵m为整数
∴m应取13或14
当m=13时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天；
当m=14时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天；
∵112