初中数学华师大版九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系教案

*5.一元二次方程的根与系数的关系

※教学目标※

【知识与技能】

了解一元二次方程的根与系数的关系，能初步利用根与系数的关系解决一些简单的问题.

【过程与方法】

1.经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程的根与系数的关系.

2.能利用根与系数的关系解决一些简单的问题.

【情感态度】

学生能过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步加强自主探究以及与他人交流的能力.

【教学重点】

一元二次方程的根与系数的关系的探究与归纳.

※教学过程※

一、情境导入

同学们，老师这里有一手绝活，你只要给出两个数，我立即就能说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们若不信，咱们就试一试！

（此情境可以有效地调起学生的胃口，激发起学生的好奇心和求知欲，从而有效地引领学生展开探究活动.）

举例如下：（1）两根为的一元二次方程为

（2）两根为的一元二次方程为

（3）两根为的一元二次方程为

二、探索新知

观察、计算的值与相应方程中的系数a、b、c之间的关系，你能发现什么规律？

1.一元二次方程的根与系数的关系：

若一元二次方程的两根为



2.结论证明：

当时，由公式法可得一元二次方程的两根分别为

则

说明:这个性质称为韦达定理，利用这个性质可以不解一元二次方程直接求出方程的两根之和与两根之积.使用这个定理时需要注意两点：一是方程必须是一元二次方程；二是方程必须有两个实数根.

【例1】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：

解：（1）设两根为,由一元二次方程的根与系数的关系，可得

(2)设两根为,由一元二次方程的根与系数的关系，可得

【例2】已知方程的一个根为-1，求另一个根以及m的值.

分析：由于方程中的二次项系数和一次项系数已知，并且知道了方程的一个根，故可利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根，进而再求出m.

解：设另一个根为,由根与系数的关系，可得

所以,另一个根为4,m的值为-4.

三、巩固练习

1.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积：

2.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：

(1)已知关于x的方程的两个根是1和-3，求m和n的值；

（2）已知关于x的方程的一个根是-4，求它的另一个根和m的值.

答案：1.（1）方程有两个不相等的实数根.(2)方程没有实数根.2.(2)另一个根为5，m=-1.



四、应用拓展

【例3】若方程的两根分别为,试求下列代数式的值：



分析：本题若采用先求出的值再代入求值的话，其运算就比较繁琐，故可采用一元二次方程的根与系数的关系来做.

解：由一元二次方程的根与系数的关系，可得



【点拨】把作为整体，想办法将代数式转化成用去表示，是解决这类问题的基本方法.



五、归纳小结

利用一元二次方程的根与系数的关系的注意点：

1.方程要化成一般式的形式；

2.方程要有两个实数根；

3.正确确定a、b、c的值并注意符号.

※课后作业※

教材第35页练习第2题（2）、（4）.

教材习题22.2第10、11题.