华师大版九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系学案及答案

第22章  一元二次方程

22.2  一元二次方程的解法

*5 一元二次方程根与系数的关系

学习目标：

1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（重点）；

3.学会用根与系数的关系求字母的值（难点）.

                       自主学习

一、新知预习

问题    解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们 

   一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

猜想1   若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.

猜想2   若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=_____.

合作探究

一、探究过程

探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2， 求x1+x2,x1x2的值.根据公式法，我们可以知道x1=_________，x2=_________.则x1+x2=______,x1x2=______.

【归纳总结】一元二次方程根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=______.

【典例精析】      

例1设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）                  （2）

解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=______,x1x2=_______.

（1）=________=_______.

（2）=____________=______;

【归纳总结】解决此类问题先要确定a，b，c的值及Δ=b²-4ac的符号.若Δ≥0，再求出的x1+x2,x1x2值，再将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.

【针对训练】

1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　)

A．－1 B．9 C．23 D．27

2.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程_______________．

探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用

例2已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值.

解：方法一：

∵方程的一个根为-3，

∴把x=-3代入得               ，解得k=   ，

把k=    代入原方程得               ，

解得x1=       ,x2=____.

∴k=     ，方程的另一个根为       .

方法二：

∵方程的一个根为-3，

∴x1+x2=_      ，x1x2=_        ，

∴把x1=-3代入得              ，解得x2=       ，

把x1=-3，x2=      代入x1+x2=_      ，解得k=       ，

∴k=      ，方程的另一个根为        .

【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.

【针对训练】

3.已知的两个实数根，求的值.

4.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值.

二、课堂小结

当堂检测

1.若方程的两个根为，，则的值是     .

2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是(　　)

A．7 B．－7 C．11 D．－11

3.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值．

（1）x·x2＋x1·x；                           （2）|x1－x2|.

4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

5. 已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，

(1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；

(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．

参考答案

自主学习

一、新知预习

2  -8   -6   -16   2   4   6   8   

猜想1    -p  q 

  1          -    1   -     -   

猜想2    -   

合作探究 

一、    探究过程

探究点1：

【验证猜想】（1）       （2）-       

【归纳总结】-   

【典例精析】

例1      -2     -     （1）x1x2+2（x1+x2）+4    -   （2）  

【针对训练】

1.D   2. x²+3x-10=0（答案不唯一，合理即可）

探究点2：

例2     方法一：18-3k-9=0   3   3  2x²+3x-9=0    -3        3  

方法二：-   -   x1x2= -            -    3   3   

【针对训练】

3.解：∵Δ=2²-4×（-2005）=8024＞0，a=1，b=2，c=2005，∴α²+3α+β=α²+2α+α+β=2005+（-2）=2003.

4. 解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=2m-1.
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，∴m2-2（2m-1）=7，解得m1=5，m2=-1.当m=5时，原方程无解，所以m=-1.即原方程为x²+x-3.∴=（x1+x2）2-4x1x2=13.

二、课堂小结    

 -p     q    -     

当堂检测

1. -1   2.A

3. 解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－.

(1)x·x2＋x1·x＝x1x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.

(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2) 2－4×＝4＋6＝10.∴|x1－x2|＝.

4.解：存在.∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.又3x1·x2－x1＞x2，∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.∵x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.∴＜k≤3.∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．

5.(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2.∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，且a＜b＜c，∴c²=a²+b².Δ＝8b2－4a2＋4c2=4b²＞0.∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．

(2)解：∵x1＋x2＝，x1·x2＝，又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，∴x＋x＝（x1+x2）²-2x1x2=－4.∵c²=a²+b²，c=3a，∴b²=8a².∴x＋x＝－4=16-4=12.