初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与一元二次方程学案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与一元二次方程学案，共65页。学案主要包含了题型 3 传播问题，题型 4 数字问题，题型 5 营销问题，题型 6 工程问题，题型 7 行程问题，题型 8 循环问题，变式 1-1，变式 1-2等内容，欢迎下载使用。
专题 21.5
实际问题与一元二次方程（举一反三讲义） 【人教版】
【题型 1 由实际问题抽象出一元二次方程】
【题型 2 增长率问题】
【题型 3 传播问题】
【题型 4 数字问题】
【题型 5 营销问题】
【题型 6 工程问题】
【题型 7 行程问题】
【题型 8 循环问题】
【题型 9 图表信息问题】 【题型 10 图形面积问题】 【题型 11 其他问题】
知识点 1 实际问题中常见的数量关系及表示方法
1 ．平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为 a，每次的平均增长率（降低率）为 x，增长（降低）n 次后的数 量为 b，则增长率公式为a(1 + x)n = b，降低率公式为a(1 一 x)n = b．
2 ．销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
（2）利润率= × 100% = 售 × 100%；
（3）售价=进价 × (1 +利润率)；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
3 ．几何问题
（1）面积公式：S长方形 = ab ，S正方形 = a2 ，S圆 = π r2 ，S三角形
说明：①a ，b 分别为长方形的长、宽；
②a 为正方形的边长；
③r 为圆的半径；
④a 为三角形的一边长，h 为边长为 a 的边上的高．
（2）体积公式：V长方体 = abℎ , V正方体 = a 3 ，V圆柱 = πR2 ℎ , V圆锥 = πR2 ℎ . 说明：①a ，b ，h 分别为长方体的长、宽、高；
②a 为正方体的棱长；
③R 为圆柱底面圆的半径，h 为圆柱的高；
④R 为圆锥底面圆的半径，h 为圆锥的高．
4 ．传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
5 ． 计数问题
若参赛队伍数为 n，则单循环赛中每队比赛场数为(n -1) 场，比赛总场数为 场．双 循环赛中每队比赛场数为 2(n -1) 场，比赛总场数为n (n -1) 场．
6 ．数字问题
7 ．存款利息问题
本息和=本金+利息；利息=本金× 利率× 存期．
8 ．工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．
9 ．动点问题
解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面 积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决．
两位数
十位数字
个位数字
10x + y
x
y
三位数
百位数字
十位数字
个位数字
100a +10b + c
a
b
c
知识点 2 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母（如 x）表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
（6）答：写出答案（包括单位名称)．
【题型 1 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例 1】（23-24 九年级上·河南驻马店·阶段练习）
1 ．苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶 巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数， 个位数比十位数大 3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年龄的十位数为 x ，则根据题意可列出方程 ．
【变式 1-1】（24-25 八年级下·浙江金华·期中）
2 ．2025 年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示， 截至 3 月 1 日 0 时 26 分票房突破 140 亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025 年清明档（4 月 4 日—4 月 6 日）以总票房3.78 亿元收官，4 月 4 日的单日票房达到1.2 亿，假设平均每天 的票房增长率为 x，则下列方程正确的是( )
A ．1.2 (1+ 2x ) = 3.78 B ．1.2 +1.2 (1+ x) +1.2(1+ x)2 = 3.78
C ．1.2 (1+ x)2 = 3.78 D ．1.2 (1+ x2 ) = 3.78 【变式 1-2】（23-24 八年级下·上海奉贤·期末）
3 ．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送 1 句祝福语，结果小队内共收到
210 句祝福语，设小队共有 x 人，那么根据题意所列方程为 ． 【变式 1-3】（24-25 九年级上·广东深圳·阶段练习）
4 ．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为 22m ．停车场内车道的宽 都相等，若停车位的占地面积为520m2 ．求车道的宽度（单位：m ）．设停车场内车道的宽 度为xm ，根据题意所列方程为( )
A ．(40 - 2x)(22 - x) = 520 B ．(40 - x)(22 - 2x) = 520
C ．(40 - x)(22 - x) = 520 D ．(40 - x)(22 + x) = 520
【题型 2 增长率问题】
【例 2】（2025·广东汕头·一模）
5．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱 桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000 千克，销售均价 为30 元/ 千克，枇杷的销售量为2000 千克，销售均价为20 元/ 千克；第二季度樱桃的销售 量比第一季度减少了m% ，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了2m% ， 但销售均价比第一季度减少了m%．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二 季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m 的值．
【变式 2-1】（2025·安徽滁州·一模）
6 ．因生产技术落后等因素，某工厂 2024 年的利润比 2023 年减少10% ．
(1)设该工厂 2023 年的利润为a 万元，则该工厂 2024 年的利润为________万元（用含a 的代 数式表示）；
(2)该工厂 2025 年年初开展了技术革新，计划 2025 年的利润比 2024 年增长60% ．求该工厂 按计划完成任务后，2023 年到 2025 年这两年年利润的平均增长率．
【变式 2-2】（2025·湖南长沙·三模）
7 ．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打 造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为 100 元，经过两 次降价后每盒进货价为 36 元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36 元每盒进货了200 盒杨梅，计划以每盒标价 50 元出售．由于恰逢端午
佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使 200 盒杨梅全部售出后的利润 不少于 2000 元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
【变式 2-3】（24-25 九年级下·安徽六安·阶段练习）
8．在 2025 年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传 统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福 从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024 年 12 月份吉祥物一月的销售量是 5 万件，2025 年 2 月份吉祥物 一月的销售量是 7.2 万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件 60 元，若售价定为每件 100 元，则每天能销售量 20 件．通过市场调查发现，售价每降价 1 元，每天可多售出 2 件，为 了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利 1200 元， 请你分析售价应降低多少元？
【题型 3 传播问题】
【例 3】（24-25 九年级上·全国·阶段练习）
9 ．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极 强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有 64 人受到 感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【变式 3-1】（24-25 九年级下·河南开封·阶段练习）
10．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的 支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的 总数是 57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
【变式 3-2】（24-25 八年级下·安徽安庆·阶段练习）
11．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日 的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了 56 个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共
有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【变式 3-3】（22-23 八年级下·安徽合肥·期中）
12 ．随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发 了此信息，收到转发的信息的人中有 会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发 后，共有 169 人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【题型 4 数字问题】
【例 4】（2023·河南开封·一模）
13 ．阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数，比如，他们研究过 1 、3 、6 、10… ，由于这些数可以用图中所示的三角点阵 表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．
则第 n 个三角数可以用且为整数）来表示．
(1)若三角数是 55，则 n = ______；
(2)把第 n 个三角点阵中各行的点数依次换为 2，4 ，6 ，… , 2n ，… , 请用含 n 的式子表示前 n 行所有点数的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前 n 行的点数的和能为 120 吗？如果能，求出 n，如果不能，请 说明理由．
【变式 4-1】（24-25 九年级上·广东·开学考试）
14 ．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14 ，交换数字的位置后，得到的新两位数 比这两个数字的积还大38 ，求这个两位数．
【变式 4-2】（24-25 九年级上·河南周口·阶段练习）
15．如图，这是 2024 年 12 月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设 这四个数从小到大依次为 a ，b ，c ，d，请解答下列问题．
(1)若用x 表示最小的数a ，则b = ，c = ，d = （用含x 的式子表示）．
(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为 656，求最小的数． 【变式 4-3】（2025·福建龙岩·二模）
16 ．第十四届国际数学教育大会（ICME-14 ）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现 了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数
3745 ．八进制是以 8 作为进位基数的数字系统，有0 ~ 7 共8 个基本数字，八进制数换算成 十进制数是：(3745)8 = 3 × 83 + 7× 82 + 4× 81 + 5× 80 = (2021)10 ，表示 ICME-14 的举办年份．
(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；
(2)小聪设计了一个n 进制数126，换算成十进制数是 105 ，求 n 的值． 【题型 5 营销问题】
【例 5】（24-25 八年级下·山东东营·期中）
17 ．2025 年春节期间，《哪吒 2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷 4 元的哪吒贴 纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷 7 元的价格销售，当每卷售价为 5 元时， 每天售出贴纸 950 卷；当每卷售价为 6 元时，每天售出贴纸 900 卷，通过分析销售数据发现： 每天销售贴纸的数量y （卷）与每卷售价 x （元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y 与x 的函数关系式：______；
(2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到 1800 元？
【变式 5-1】（2025·湖南·模拟预测）
18．个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤 4 元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红 橙每斤售价 5 元时，每天能售出 500 斤，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 斤．为 了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的180% ．
(1)设涨价 x 元，则每天的销售量为______斤；
(2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为 800 元． 【变式 5-2】（2025·江西九江·模拟预测）
19 ．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶 50 元的价格购进一批头盔， 售价为每顶 80 元时，每月可售出200 顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，
经调查发现：每降价 10 元，每月可多售出200 顶．
(1)头盔每降价 1 元，每月可多售出 顶；
(2)若该商店每月获得的利润为 8000 元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【变式 5-3】（2025·内蒙古·模拟预测）
20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运 动的人数逐年增多，从 2022 年的32 万人增加到 2024 年的50 万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从 A 公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若 购买不超过 100 套，每套售价 1600 元；若超过 100 套，每增加 20 套，售价每套可降低 80 元．但最低售价不得少于 900 元．已知市政府向该公司支付货款 24 万元，求购买的这种健 身器材的套数．
【题型 6 工程问题】
【例 6】（2022·重庆·一模）
21 ．“端午临中夏，时清日复长” ．临近端午节，一网红门店接到一批 3200 袋粽子的订单， 决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组 3 天加工的粽子数比乙组 2 天加工的粽子数多 300 袋．两组同时开工，甲组原计划加工 10 天、乙组原计划加工 8 天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工 2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第 3 天起提高了工 作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工 100 袋粽子，则甲、乙两 组就都比原计划提前 1 天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数， 求提高工作效率 后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【变式 6-1】（22-23 九年级上·重庆合川·期末）
22 ．2022 年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管 理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共 50 棵进行栽种．其中小叶榕每棵 680 元， 香樟每棵 1000 元，经测算，购买两种树共需38800 元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元
（m ≤ 10) ），且两种树的售价每降低 10 元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶 榕 2 棵，香樟 1 棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多 3600 元，求物业管理公司实 际购买两种树共多少棵？
【变式 6-2】（2025·山东临沂·一模）
23．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A ，B 两条不 同的粽子生产线，A 生产线每小时加工粽子400 个，B 生产线每小时加工粽子500 个．
(1)若生产线A ，B 一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000 个，则 B 生产线至少加 工多少小时？
(2)原计划A ，B 生产线每天均工作8 小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A 生 产线每小时比原计划多生产100a 个（a > 0 ），B 生产线每小时比原计划多生产100 个．若A 生产线每天比原计划少工作2a 小时，B 生产线每天比原计划少工作a 小时，这样一天恰好 生产粽子6000 个，求a 的值．
【变式 6-3】（2023·重庆开州·一模）
24 ．某工程队采用 A ，B 两种设备同时对长度为 3600 米的公路进行施工改造．原计划 A 型 设备每小时铺设路面比 B 型设备的 2 倍多30 米，则30 小时恰好完成改造任务．
(1)求 A 型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600 米多了750 米．在实际施工中，B 型设 备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m + 25) 小时，同时，A 型设备的铺路速
度比原计划每小时下降了 3m 米，而使用时间增加了 m 小时，求 m 的值．
【题型 7 行程问题】
【例 7】
25 ．甲、乙两个机器人分别从相距 70m 的 A 、B 两个位置同时相向运动．甲第 1 分钟走 2m， 以后每分钟比前 1 分钟多走 1m，乙每分钟走 5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达 A 或 B 后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m，乙继续按照每分 钟 5m 的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【变式 7-1】（22-23 九年级上·重庆开州·期末）
26 ．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中 老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2 倍，张大伯走5 分钟，李大伯走10 分钟，共走 800 米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的 速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a 米，时间都各自多走了10a 分钟，结果两人又共 走了6900 米，求a 的值．
【变式 7-2】（2024·广东广州·模拟预测）
27 ．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演， 甲、 乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段 实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家 20 千米的停车场后，再步行 2 千米到达目的地， 共花了 1 小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的 10 倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距 8 千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快 8a 千米/小时（a > 0 ），乙骑车时间比甲开车时间多 a 小时，求 a 的值．
【变式 7-3】（23-24 九年级上·全国·单元测试）
28．一辆汽车以 30 米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 30 米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行 20 米时用了多长时间？
【题型 8 循环问题】
【例 8】（2025·贵州贵阳·二模）
29 ．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1） 班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
(1)若该班级共有 n 个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有 ______局；
(2)求这次比赛共有多少个选手参加？
【变式 8-1】（24-25 九年级上·广东江门·期中）
30 ．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了 10 条航 线，求航空公司共有多少个飞机场？
【变式 8-2】（24-25 八年级下·辽宁大连·期中）
31．2024 年 11 月 3 日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超 级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用 双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支 球队．
【变式 8-3】（23-24 九年级上·全国·课后作业）
32 ．中国象棋在象棋比赛中，每个选手都与其他选手比赛一局，每局胜者记 2 分，负者记 0 分，和棋各记 1 分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是 1979 分，1980 分，1984 分，1985 分．经核实，有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？
【题型 9 图表信息问题】
【例 9】（24-25 九年级下·广东深圳·开学考试）
33 ．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重 （公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供 参考．
表（1）
算法
一
女性理想体重 身高 ×身高 ×22
男性理想体重 身高 ×身高 ×22
算法
二
(100 ×身高- 70) × 0.6
(100 ×身高- 80) × 0.7
表（2）
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理 由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一 种类别．
①一名身高为h 米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于 70 公斤，直接写出h 的取值 范围________．
@小王的父亲身高 1.75 米，体重为 73 公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他 可能被归类为哪一种类别？
【变式 9-1】（24-25 九年级上·河北保定·期中）
34．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研 究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得 学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据：
算法 三
(100 ×身高-158) × 0.5 + 52
(100 ×身高-170) × 0.6 + 62
实际体重
类 别
大于理想体重的120%
肥 胖
介于理想体重的
110% ~ 120%
过 重
介于理想体重的
90% ~ 110%
正 常
介于理想体重的
80% ~ 90%
过 轻
小于理想体重的80%
消 瘦
学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用 0 至 1 的数字表示）
记录学习效率时，每 10 分钟为一个记录单元．
(1)求 40 分钟到60 分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和 m 的值．
(2)研究发现，学习时间 1 小时，学习效率达到顶峰，1 小时后学习效率逐渐下降，而且学习 时间每增加 10 分钟，学习效率值下降 0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做 学习效能．
①求学习时间为 80 分钟的学习效能．
@当学习效能低于 20 的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间， 规定作业时间不少于 1 个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围．
【变式 9-2】
35 ．某旅行社一则旅游消息如下：
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000 元和24000 元，甲公司员工有 __________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000 元，乙公司员工多少人？ 【变式 9-3】（24-25 九年级上·福建宁德·期末）
36 ．根据以下素材，探索完成任务：
素材 1：中国食品标签营养素参考值（ NRV ）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动
的标准．在国家标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表 1 所示：
表 1：营养素参考值（ NRV ）
学习时间（时间）
…
40
50
60
…
学习效率
…
0.64
m
1
…
旅游人数
收费标准
不超过10 人
人均收费2400 元
超过10 人
每增加一人，人均收费减少60 元，但人均收费不低于1500 元
营养成分
NRV
能量
8400kJ
表 2 ： A 品牌纯牛奶营养成分表
素材 2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分 及其含量．根据《预包装食品营养标签通则》规定， 营养成分表上必须标示能量和核心营养 素的名称、含量及NRV% ．其中，NRV% 的含义为每份（如100ml ）食品中营养素的含量 占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到1% ），计算公式为： NRV% = 每份食品中营养 素的含量 ÷ 该营养素的营养素参考值×100% ．
表 2 是 A 品牌纯牛奶（净含量：200ml ）的营养成分表．
素材 3 ：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分， 将牛奶纯化、浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类．
任务一：请写出表 2 中 a 与 b 的关系式： ；
任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的20% ．某天早晨，小颖食用了一瓶 A 品牌牛奶和50g 面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”
蛋白质
60g
脂肪
≤ 60g
碳水化合
物
300g
钠
2000mg
钙
800mg
项目
每100ml
NRV%
能量
277KJ
3%
蛋白质
3.2g
5%
脂肪
3.8g
15%
碳水化合物
ag
b
钠
60mg
3%
钙
100mg
13%
已知每100g 面包中蛋白质的NRV% 为13% ，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确． 任务三：某实验室利用超滤工艺对1000mlA 品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还 剩500ml ，且第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的倍（过滤过程不考虑蛋 白质流失）．某工厂应用该实验室的超滤工艺对 A 品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白 牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的NRV% 应标示多少？
【题型 10 图形面积问题】
【例 10】（24-25 八年级下·山东青岛·期中）
37 ．综合与实践 项目主题：
劳动基地扩建方案 项目背景：
学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目 学习．
信息获取：（如图所示）
信息 1：原花坛为矩形 ABCD，AB = 25 m ，BC = 15 m ；
信息 2：扩建后的新花坛仍为矩形 AEFG，AE 的长度不能超过35 m ，AG 的长度不能超过 25 m ．
问题解决：
(1)若扩建后花园的面积为600 m2 ，且 BE = DG ，求 AG 和AE 的长；
(2)当DG = 3BE 时，扩建后花园的面积可以为900 m2 吗？请说明理由．
【变式 10-1】（24-25 八年级下·广西百色·期中）
38 ．活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板 2 张（如图①),已知纸板的长与宽之比是 2 :1 ．小成将纸板的四 个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②),围城一个无盖的方形纸盒（如图③).
任务 1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm 、容积12000cm3 的方形纸盒．求原硬纸 板的长和宽分别是多少？
任务 2：在任务 1 的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面 面积是896cm2 的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理 由．
【变式 10-2】（24-25 八年级下·浙江宁波·期中）
39 ．素材 1：如图，某农户规划在一个长为 300 米，宽为 200 米的长方形果园ABCD 上修建 三条通道，使其中两条与AB 平行，满足通道宽EF = GH ；另一条与AD 平行，并使两条通
道的宽MN : EF = 2 : 3 ，其余六块部分种植草莓．
素材 2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为 100 元，每 月可销售 5000 平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平 方米草莓平均利润下调 5 元，每月可多销售 500 平方米草莓．果园每月的承包费为 2 万元． 任务 1：要使每一块种植草莓的面积都为 8550 平方米，则通道的宽MN 应设计成多少米？
任务 2：若农户预期一个月的总利润（总利润= 销售利润- 承包费）为 52 万元，为了让购买 草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？
【变式 10-3】（24-25 九年级上·广东佛山·期末）
40．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知AB = 42 米， AD = 20 米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为x 米的道
路．已知铺地毯防污的面积为456 平方米，
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该美食节共有摊位50 个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200 元时，可全部租出；
若每个摊位的日租金每上涨5 元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时， 美食节的日租金收入为10125 元？
【题型 11 其他问题】
【例 11】（2025·山东威海·一模）
41．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为1200m2 ，共设计了如图所示的 56 个停车位， 每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m ，通车道的宽度都相等，求停车位的宽．
【变式 11-1】（24-25 八年级下·安徽安庆·期中）
42．小明将一个 100 毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第 二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是 81 毫升，则小明每次倒出的 体积是 毫升．
【变式 11-2】（24-25 九年级上·重庆开州·期末）
43．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可 以完成5m2 范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均8s 可 以采摘一个苹果，已知采摘工人平均5s 可以采摘一个苹果．
(1)一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了0.5h ，求这个范围内的
苹果有多少个？
(2)为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了m 个机械手(m > 1) ，升级了智能机器 人的操作系统，测得每个机械手平均每8 秒可摘(1+ m) 个苹果，据统计，该智能机器人工作
1h 采摘的苹果数量与5 个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求m 的值．
【变式 11-3】（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）
44．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从A 地出发，匀速跑向距 离6000m 处的B 地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2 倍，那么小明比小红早5 分钟到 达B 地.
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A 地到达B 地后，小明跑步继续前进到C 地( 整个过程不休息) ，据了解，在整个运 动过程中，小明跑步的前30 分钟内，平均每分钟消耗热量10 卡路里，超过30 分钟后，每多 跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个过程中，小明共消耗2300 卡路 里热量，小明从A 地到C 地锻炼共用多少分钟．
1 ．(x + 3)2 = 10x + x + 3
【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的个位数为 x + 3 ，结合个位 数的平方等于他去世时的年龄，可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的十位数为 x， :他去世时年龄的个位数为x + 3 ，
根据题意得：(x +3)2 = 10x + x + 3 ，
故答案为：(x +3)2 = 10x + x + 3 ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．
2 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的 关键．
设平均每天的票房增长率为 x，然后根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设平均每天的票房增长率为 x，
根据题意，得1.2 +1.2(1+ x)+1.2(1+ x)2 = 3.78 ．
故选 B．
3 ．x(x - 1) = 210
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定 一个人送出多少句是解题关键．
如果全班有x 名同学，那么每名同学要送出(x -1) 句，共有x 名学生，那么总共送的名数应 该是x(x - 1) 句，即可列出方程．
【详解】解：全班有x 名同学，依题意有：x(x - 1) = 210 ． 故答案为：x(x - 1) = 210 ．
4 ．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解答本题的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为
(40 - x)m ，宽为(22 - x)m 的矩形，结合停车位的占地面积为520m2 ，即可列出关于x 的一
元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为xm ，则停车位（图中阴影部分）可合成长为(40 - x)m ， 宽为(22 - x)m 的矩形，
根据题意得：(40 - x)(22 - x) = 520 ，
故选：C．
5 ．12.5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售 总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于m% 的一元二次 方程，再设m% = x ，将方程换成关于 x 的一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：1000(1- m%)×30 + 2000 (1+ 2m%)×20（1- m%）= 1000 × 30 + 2000 × 20 ， 设m% = x ，
则原方程可化为：30000 (1- x)+ 40000(1+ 2x)× (1- x) = 70000 ，
整理得：8x2 - x = 0 ，
解得：x1 = 0.125，x2 = 0 （不合题意，舍去），
:m% = 0.125 ，
即m = 12.5 ，
答：m 的值为12.5．
6 ．(1)0.9a
(2)20%
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关键．．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设这两年的年利润平均增长率为 x，根据 2023 年初及 2025 年初的利润，即可得出关 于 x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）解：根据题意得，(1-10%) a = 0.9a ， 故答案为：0.9a ；
（2）解：设 2023 年到 2025 年这两年年利润的平均增长率为x ，由题意得
假设 2023 年年利润为a 万元， a (1-10%)(1+ 60%) = a (1+ x )2 ，
解得x1 = 0.2 = 20% ，x2 = -2.2 （舍去），
答：该工厂 2023 年到 2025 年这两年年利润的平均增长率为20% ．
7 ．(1) 40%
(2)120 盒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解 题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为 x，根据原来每盒杨梅进货价为 100 元，经过两次降价后每盒 进货价为 36 元，建立方程求解即可；
（2）设需要在促销活动开始前卖出 m 盒，则促销活动中一共卖了(200 - m) 盒，根据利润不 低于 2000 元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为 x， 由题意得，100 (1- x )2 = 36 ，
解得x = 0.4 = 40% 或x = 1.6 （舍去）， 答：每次降价的百分率为40%；
（2）解：设需要在促销活动开始前卖出 m 盒，则促销活动中一共卖了(200 - m) 盒， 由题意得，(50 - 36)m + (50 × 0.8 - 36) (200 - m) ≥ 2000 ，
解得m ≥ 120 ，
:m 的最小值为 120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出 120 盒．
8 ．(1)月平均增长率为20%
(2)售价应降低 20 元
【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
（1）设月平均增长率为 x ，根据题意列出方程即可；
（2）设售价应降低y 元，则可卖出(20 + 2y) 件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售 获利，列方程即可解答．
【详解】（1）解：设月平均增长率为 x ，
由题意得，5(1+ x)2 = 7.2 ，
解得：x1 = 0.2 = 20%, x2 = -2.2 （不合题意，舍去），
答：月平均增长率为20% ；
（2）解：设售价应降低y 元，
由题意得，(100 - y - 60)(20+ 2y) = 1200 ， 整理得：y2 - 30y + 200 = 0 ，
解得：y1 = 10, y2 = 20 ， Q 尽量减少库存，
:y = 20 ，
答：售价应降低 20 元．
9 ．(1)每轮传染中平均一个人传染了7 个人
(2)第三轮将又有 448 人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据经过两轮传染后共有 64 人受到感染，即 可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的 64 人乘以每人每轮的传染人数 7 即可． 【详解】（1）解:设每轮传染中平均每人传染了 x 人，根据题意得
1+ x + x (x +1) = 64 ，
解得x = 7 或x = -9 (舍)．
答:每轮传染中平均一个人传染了7 个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染 7 个人，经过两轮传染后有 64 人感染． 那么第三轮被传染的人数为64× 7 = 448 人．
答：第三轮将又有 448 人被传染．
10 ．这种植物每个支干长出的小分支个数是 7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x ，根据主干、支干和小分支的总数是 57，
即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x ，
根据题意，可得1+ x + x2 = 57 ，
整理得x2 + x - 56 = 0 ，
解得x1 = 7 ，x2 = -8 （不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是 7．
11 ．一共有 8 个人过生日．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有 x 人过生日，由已知，每个过生日的 人要做(x -1) 个生日贺卡，即共做x(x - 1) 个．根据一共赠送了 56 个生日贺卡列方程求解即 可．
【详解】解：设一共有 x 人过生日，由已知，每个过生日的人要做(x -1) 个生日贺卡，即共 做x(x - 1) 个．由题意得
x(x -1) = 56
整理可得x2 - x - 56 = 0
解得x1 = 8, x2 = -7 （舍）
答：一共有 8 个人过生日．
12 ．21
【分析】设平均每人每轮转发给x 个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设平均每人每轮转发给x 个人，
根据题意可得 ，
解得 x1 = 21 ，x2 = -24 （不合题意，舍去）， 答：平均每人每轮转发给 21 个人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
13 ．(1)10
(2)n (n +1)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可；
（2）根据题意得到前 n 行所有点数的和为2 + 4 + 6 + . . . + 2(n - 2) + 2(n - 1) + 2n ，然后提取 公因数 2 即可得到答案；
（3）根据题意建立方程n (n + 1) = 120 ，求出 n 不是正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得 即n2 + n -110 = 0 ，
:(n +11)(n -10) = 0 ，
解得n = 10 （负值舍去）， 故答案为：10；
（2）解：由题意得：前 n 行所有点数的和为2 + 4 + 6 + . . . + 2(n - 2) + 2(n - 1) + 2n
= n (n +1) ；
（3）解：不能，理由如下：
假设能为 120，则n (n + 1) = 120 ，即 n2 + n -120 = 0
解得： ， :n 为正整数，
:前 n 行的点数和不能为 120．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的 关键．
14 ．这个两位数是 68
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是 解题的关键．
设这个两位数的十位数字为 x，则其个位数字为(14 - x)，然后根据题意列出方程，解方程即 可求出结果．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为 x，则其个位数字为(14 - x)， 根据题意，得：10 (14 - x)+ x - x (14 - x) = 38 ，
整理得，x2 - 23x +102 = 0
解得x1 = 6 ，x2 = 17 （舍去） :14 - x = 14 - 6 = 8
答：这个两位数是 68．
15 ．(1)x + 1, x + 7, x + 8
(2)最小的数为 20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）观察日历表即可推出；
（2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为 656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得b = x + 1; c = x + 7; d = x + 8 ，
故答案为：x + 1; x + 7; x + 8 ；
（2）解：设最小的数a 为x ，则b = x + 1, c = x + 7, d = x + 8 ．
由题意可得x (x + 8) + x + x +1+ x + 7 + x + 8 = 656 ，整理得 x2 + 12x - 640 = 0 ， 解得x1 = 20, x2 = -32 （舍去），
:最小的数为 20．
16 ．(1) 2025 ；
(2) n 的值为9 ．
【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n 的 一元二次方程是解题的关键．
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2 ）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：(3751)8 = 3 × 83 + 7× 82 + 5× 81 +1× 80
= 1536 + 448 + 40 +1
= (2025)10
故答案为：2025 ；
（2）解：由题意得，1 × n2 + 2× n1 + 6× n0 = 105 ，
整理得：n2 + 2n - 99 = 0 ，
解得：n1 = 9 ，n2 = -11（舍去），
: n 的值为9 ．
17 ．(1) y = -50x +1200(4 ≤ x ≤ 7)；
(2)公司将该贴纸每卷售价定为 6 元时，每天销售该贴纸的利润可达到 1800 元
【分析】本题主要考查一次函数的运用，一元二次方程，理解数量关系，正确列式，掌握一 次函数的计算方法是关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）定价为x 元，每卷利润(x - 6) 元，结合（1）中的函数解析式，令函数值为 1800 元，
求自变量的值即可；
【详解】（1）解：根据题意设 y = kx + b (k ≠ 0) ， 代入已知数据点(5,950) 和(6, 900) 得
解得：
则y 与 x 的函数关系式：y = -50x +1200(4 ≤ x ≤ 7)；
故答案为：y = -50x +1200(4 ≤ x ≤ 7)；
（2）解：定价为x 元，每卷利润(x - 4) 元，
由（1）知销售量为 y = -150x +1200(4 ≤ x ≤ 7)， 则(x - 4)(-50x +1200) = 1800 ，
x2 - 28x +132 = 0
解得：x1 = 22 （舍去）， x2 = 6 ，
:公司将该贴纸每卷售价定为 6 元时，每天销售该贴纸的利润可达到 1800 元；
18 ．(1) (500 -100x)
(2)售价定为 6 元每斤，每天的销售利润为 800 元
【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系 正确列式．
（1）根据每天的销售量为原来销售量 500 斤减去涨价导致减少的销售量即可；
（2）根据利润 = （定价- 进价） × 销售量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，涨价 x 元，则每天的销售量为 斤， 故答案为：(500 -100x) ；
（2）解：由题意得：(5 + x - 4)(500 -100x) = 800 ，
解得：x1 = 1, x2 = 3 ，
当x =1 时，售价为5 +1 = 6 元，4 × 180% = 7.2 元，6 < 7.2 ，符合题意；
当x =3 时，售价为5 + 3 = 8 元，4 × 180% = 7.2 元，8 > 7.2 ，不符合题意；
:红橙售价定为 6 元每斤，每天的销售利润为 800 元．
19 ．(1)20
(2)每顶头盔的售价是 70 元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意作答即可；
（2）设每顶头盔的售价为 x 元，根据商店每月获得的利润为 8000 元列出方程，解方程即可 得到答案．
【详解】（1）解：:每降价 10 元，每月可多售出200 顶， :头盔每降价 1 元，每月可多售出 20 顶．
故答案为：20；
（2）解：设每顶头盔的售价为 x 元，则(x - 50) 200 + 20 (80 - x ) = 8000 ，
整理得：x2 -140x + 4900 = 0 ，
解得：x1 = =x2 70 ，
答：每顶头盔的售价为 70 元时，该商店每月获得的利润为 8000 元．
20 ．(1) 25%
(2)200 套
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解 题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x，根据从 2022 年的32 万人增加到 2024 年 的 50 万人列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为 m 套，根据市政府向该公司支付货款 24 万元，列出 一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x， 由题意得：32(1+ x)2 = 50 ，
解得：x1 = 0.25 = 25%,x2 = -2.25 （不符合题意，舍去）．
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25% ．
（2）解：∵1600× 100 = 160000 < 240000 元， :购买的这种健身器材的套数大于 100 套， 设购买的这种健身器材的套数为 m 套，
由题意得
整理得：m2 - 500m + 60000 = 0 ，
解得：m1 = 200,m2 = 300 ，
当m = 200 时，售价 元，符合题意；
当m = 300 时，售价 元（不符合题意，故舍去）．
答：购买的这种健身器材的套数为 200 套．
21 ．(1)甲、乙两组平均每天各能加工 200 袋、150 袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x 袋、y 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情 况列出二元一次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工 100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前 1 天完成任 务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a 袋粽子”，再根据实际总工作量等 于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x 袋、y 袋粽子 由题意得 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工 200 袋、150 袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a 袋粽子
由题意得：2 × (200 + 150) + (200 +100a)(8 - a) + 150(6 - a) = 3200 + 500
整理得：2a2 - 9a +10 = 0
解得：a1 = 2 ，a2 = 2.5 ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 : a = 2
:200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工 400 袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计 算是解题的关键．
22 ．(1)原计划购买小叶榕 35 棵、香樟 15 棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共 56 棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕x 棵，则购买香樟50 - x 棵，根据题意列出方程 680x +1000 (50 - x) = 38800 即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为( 680 - 10m) 元每棵， (1000 - 10m) 元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到
( 680 - 10m) × ( 35 + 2m) + (1000 - 10m) × (15 + m) = 42400方程式求出满足条件m 的值，即 可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕x 棵，则购买香樟50 - x 棵，
根据题意，可得680x +1000(50 - x) = 38800 ， 解得，x = 35 ．
答：原计划购买小叶榕 35 棵、香樟 15 棵．
（2）根据题意，可得( 680 - 10m) × ( 35 + 2m) + (1000 - 10m) × (15 + m) = 42400， 整理得，30m2 - 1860m+ 3600 = 0 ，
解得：m1 = 2 ，m2 = 60 ， ∵ m≤10 ，: m = 2 ，
:购买了39 棵小叶榕，17 棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共 56 棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中 的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．
23 ．(1)B 生产线至少加工 6 小时
(2)a 的值为 2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是 根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
(1) 设B 生产线加工x 小时，则A 生产线加工(11 - x) 小时，根据生产线A ，B 一共加工11小 时，且生产粽子总数量不少于5000 个，列不等式求解即可；
(2) 根据一天恰好生产了6000 个粽子，可列关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 的值． 【详解】（1）解：设 B 生产线加工x 小时，则A 生产线加工(11 - x) 小时，
根据题意可得：500x + 400(11- x) ≥ 5000 ，
解得：x ≥ 6
答：B 生产线至少加工6 小时；
（2）解：由题意可得：(400 + 100a)(8 - 2a) + (500 + 100)(8 - a) = 6000 ，
整理得：a2 + 3a -10 = 0 ，
解得a1 = 2 ，a2 = -5 （不符合题意，舍去）， 答：a 的值为2 ．
24 ．(1) A 型设备每小时铺设的路面长度为 90 米
(2) m 的值为 10
【分析】（1）设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面(2x + 30) 米，根 据题意列出方程求解即可；
（2）根据“A 型设备铺设的路面长度+B 型设备铺设的路面长度= 3600 + 750 ”列出方程，求解 即可．
【详解】（1）解：设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面(2x + 30) 米， 根据题意得，
30x + 30 (2x + 30) = 3600 ，
解得：x = 30 ， 则2x + 30 = 90 ，
答：A 型设备每小时铺设的路面长度为 90 米；
（2）根据题意得，
30 (30 + m + 25) + (90 - 3m)(30 + m) = 3600 + 750 ， 整理得，m2 -10m = 0 ，
解得：m1 = 10 ，m2 = 0 （舍去）， : m 的值为 10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等 量关系并列出方程．
25 ．(1)7 分钟
(2)15 分钟
【分析】（1）根据题意先设 n 分钟后第 1 次相遇，利用数列求和知识得到关于 n 的方程，解 此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设 n 分钟后第 2 次相遇，依路程关系得到一个关于 n 的方程，解方程即得第 2 次相 遇是在开始后多少分钟．
【详解】（1）解：设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有 整理得 n2+13n -140 ＝0，
解得 n ＝7 ，n ＝ -20（不符合题意，舍去）
第 1 次相遇是在开始后 7 分钟．
答：甲、乙开始运动后 7 分钟第一次同时到达同一位置；
（2）解：设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有 整理得 n2+13n -420 ＝0，
解得 n ＝15 ，n ＝ -28（不符合题意，舍去）
故第 2 次相遇是在开始后 15 分钟．
答：开始运动后 15 分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方 程是解题的关键．
26 ．(1)张大伯每分钟走60 米，李大伯每分钟走50 米
(2)a 的值为5
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟x 米，则张大伯每分钟走1.2x 米，根据两人共 走了800 米列方程，解得x 的值代入1.2x 中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走(50 + 2a )米，由已知条件可得张大 伯走了(10a + 5) 分钟，李大伯走了(10a +10) 分钟，根据两人又共走了6900 米列方程，解方 程并根据实际意义确定a 值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟x 米，得 5 × 1.2x +10x = 800
解得x = 50
: 1.2x = 60 （米）
所以，张大伯每分钟走60 米，李大伯每分钟走50 米；
（2）解：依题意，得60(10a + 5) + (50 + 2a )(10a +10) = 6900
整理得a2 + 56a - 305 = 0
解得a1 = -61（舍）， a2 = 5
答：a 的值为5 ．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关 系是解决问题的关键．
27 ．(1)甲开车的平均速度是 40 千米/小时，步行的平均速度是 4 千米/小时
(2)a 的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是x 千米/ 小时，则甲开车的平均速度是10x 千米/ 小时，利用时 间= 路程 ÷ 速度，结合甲到达目的地共花了 1 小时，可列出关于x 的分式方程，解之经检验 后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入10x 中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程= 速度× 时间，可列出关于a 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可 得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是x 千米/ 小时，则甲开车的平均速度是10x 千米/ 小时， 根据题意得 ，
解得：x = 4 ，
经检验，x = 4 是所列方程的解，且符合题意， :10x = 10 × 4 = 40 （千米 / 小时）．
答：甲开车的平均速度是 40 千米/ 小时，甲步行的平均速度是 4 千米/ 小时；
（2）根据题意得 即
解得 不符合题意，舍去）．
答：a 的值为 ．
28 ．(1)15 米/秒；2 秒
(2)15 米/秒
秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了 30 米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从 30 米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了 2 秒，平 均每秒车速减少量= 总共减少的车速 ÷ 时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到 20 米时约用了x 秒，这时车速为(30 -15x)米/秒，，继而可表示出 这段路程内的平均车速，根据“路程= 平均速度× 时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以 30 米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了 30 米，
则在这段时间内的平均车速为 米/秒；
从刹车到停车所用的时间是 秒；
（2）从刹车到停车车速的减少值是 30 - 0 = 30 ，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是 = 15 米/秒；
（3）设刹车后汽车滑行到 20 米时约用了x 秒，这时车速为(30 -15x)米/秒， 则这段路程内的平均车速为 米/秒，
所以 整理，得3x2 -12x + 8 = 0 ，
解得 不合题意，舍去），
答：刹车后汽车行驶到 20 米时用了 6 - 2秒．
3
29 ．
(2)45 个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据每局比赛必得 2 分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：该班级共有 n 个参赛选手，则每个选手都要与(n -1) 个选手比赛一局，比
赛总共有 局；
（2）设这次比赛共有n 个选手参加，依题意，得 解方程，得n1 = 45, n2 = -44 （不符合题意，舍）
答：这次比赛共有 45 个选手参加． 30 ．5 个
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有 x 个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这航空公司共有 x 个飞机场，根据题意，得：
整理，得：x2 - x - 20 = 0
解得x1 = 5 ，x2 = -4 （不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有 5 个飞机场．
31 ．本次联赛共有 16 支球队
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是 解题的关键．设本次联赛共有x 支球队，根据 2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制 （即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场，列出一元二次方程，求解并取符合题 意的值即可．
【详解】解：设本次联赛共有x 支球队，
由题意得x(x -1) = 240 ， x2 - x - 240 = 0 ，
: (x -16)(x + 15) = 0 ，
:x1 = 16, x2 = -15 （舍去），
:本次联赛共有 16 支球队．
32 ．45 名
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系解决问题．部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以
2 分，设比赛的人数是 x 则比了局，根据题意列出方程解答即可．
【详解】解：设共有 x 名选手参加，依题意可得
∵x 是正整数，且大于 1，
:x 、x -1是两个连续的正整数．
不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是 0 ，2 ，6，故得分总数只能是 1980， 则x (x -1) = 1980 ，
解得x1 = 45, x2 = -44 （不符合题意，舍去）．
答：这次比赛的选手共有 45 名．
33 ．(1)甲的说法不正确，理由见解析
(2)① h ≥ 1.8 ；②过重
【分析】该题主要考查了求代数式的值， 一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关 键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性．
（1）设女性身高为 x 米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解， 判断即可；
（2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出 h 的取值范围即可；②由男性的理想体 重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2） 比较即得．
【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为 x 米， 根据题意，得22x2 = (100x - 70)×0.6 ，
整理，得11x2 - 30x + 21 = 0 ，
∵ Δ = (-30)2 - 4× 11 × 21 = -24 < 0 ，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
（2）解：①由题意可知：(100h - 80) ×0.7 ≥ 70 ， 解得h ≥ 1.8 ，
故答案为：h ≥ 1.8 ；
②小王父亲的理想体重(100 × 1.75 -170)×0.6 + 62 = 5 × 0.6 + 62 = 65 （公斤）， 实际体重占比 × 100% ≈ 112% ，
过重，
答：小王的父亲体重被归类为过重类别．
34 ．(1)40 分钟到 60 分钟的增长率为25% ，m 的值为 0.8
(2)①48②作业时间的合理范围是 60 至 100 分钟
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键．
（1）设 40 分钟到 60 分钟的增长率为x，利用 60 分钟时学习效率=40 分钟时学习效率×(1+10 分钟的增长率）2 ，可列出关于 x 的一元二次方程，解之可得出 x 的值，再将符合题意的值代 入m = 0.64 (1+ x) 中，即可求出 m 的值；
（2）①根据学习效能的定义求解即可；
②设每晚作业时间为(60 +10y) 分钟，根据学习效能低于 20 的时候为无效学习，可列出关 于 y 的一元二次方程，解之可得出y 的值，将符合题意的值代入60 +10y 中，可求出最长学 习时间，结合规定作业时间不少于 1 个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围．
【详解】（1）解：设 40 分钟到60 分钟的增长率为 x， 根据题意得：0.64 (1+ x )2 = 1 ，
解得：x1 = 0.25 = 25%，x2 = -2.25 （不符合题意，舍去），
∴40 分钟到60 分钟的增长率为25% ， ∴ m = 0.64(1 + x) = 0.64 × (1+ 25%) = 0.8 ．
答：40 分钟到 60 分钟的增长率为25% ，m 的值为 0.8；
（2）解：①学习时间为 80 分钟的学习效能为：80 × (1- 0.2 - 0.2) = 80 × 0.6 = 48
②设每晚作业时间为(60 +10y) 分钟，
根据题意得：(60 +10y)(1- 0.2y) = 20 ，
解得：y1 = -5 （不符合题意，舍去）， y2 = 4 ， : 60 +10y = 60 +10 × 4 = 100 ，
:超过 100 分钟为无效学习，
:作业时间的合理范围是 60 至 100 分钟．
35 ．(1)15；
(2)乙公司20 人．
【分析】（1）设甲公司员工有 x 人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准， 判断 出两次都不超过 10 人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工x 人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了 10 人，再根据每增 加一人，人均收费减少 60 元，列出方程，求出x 的值，再根据人均收费不低于 1500 元，即 可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有x 人，
12000 ÷ 2400 + 24000 ÷ 2400 ，
= 10 + 5 ，
= 15 （人）．
故答案为：15
（2）设乙公司x 人，
2400 - 60 (x -10) x = 36000 ，
x1 = 20 ，x2 = 30 ，
若x = 30 ，每人费用：2400 - 60 × 20 = 1200 < 1500 ，不符舍去，
若x = 20 ，每人费用：2400 - 60 × 10 = 1800 > 1500 ，符合， 答：乙公司20 人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
36 ．任务二 任务二：小颖的说法不正确，理 由见解析；任务三：这款高蛋白牛奶的NRV% 应标示10%
【分析】本题考查一元二次方程的应用，列关系式，有理数的混合运算，找准等量关系列方 程是解题的关键．
任务一：根据NRV% = 每份食品中营养素的含量 ÷ 该营养素的营养素参考值×100% 列关系式 即可；
任务二：求出小颖摄入的蛋白质量，和早晨需要摄入蛋白质的量比较即可；
任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为x ，根据题意列一元二次方程解题即可． 【详解】解：任务一：表 2 中 a 与 b 的关系式为：
故答案为
任务二：小颖食物摄入的蛋白质为 而早晨需摄入蛋白质为60× 20% = 12g ，
∵ 10.3g < 12g ，
:小颖的说法不正确；
任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为x ，那么第二次过滤后蛋白质占比上升 的百分率为
因为牛奶总量从1000ml 经过两次过滤后变成500ml ，相当于牛奶总量变为原来的 ，但蛋 白质的量不变，
可以把最初牛奶中蛋白质的含量看作单位1，第一次过滤后蛋白质含量为(1+ x)， 第二次过滤后蛋白质含量为
而经过两次过滤后牛奶总量变为原来的 ，即蛋白质的含量也变为了原来的2 倍，因此可以 列出一元二次方程
解得：x1 = 0.8, x2 = -9 （舍去）；
故第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为80%；
原来A 品牌纯牛奶每100ml 中蛋白质的NRV% 为5% ，经过一次过滤后，蛋白质占比上升 80% ，则高蛋白牛奶中蛋白质的 NRV% 为：3.2 × (1+ 0.8) ÷ 60 ≈ 10% ，
即这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质NRV% 的应标示为10% ．
37 ．(1) AG 和AE 的长分别为20m 和30m ；
(2)不能，理由见解析
【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建
后的新花坛的长和宽是解题的关键．
（1）设 BE = DG = xm ，则扩建后花园的长为(25+ x)m ，宽为(15+ x)m ，于是得 (25 + x)(15+ x) = 600 ，求得符合题意的x 值为 5，则 AG = 20m ，AE = 30m ；
（2）设BE = ym ，则DG = 3ym ，假设扩建后花园的面积为900m2 ，则(25+ y)(15+ 3y) = 900 ， 求得y = 5 ，此时 AG = 30m > 25m ，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为 900m2 ．
【详解】（1）解：设BE = DG = xm ， 根据题意得(25+ x)(15+ x) = 600 ，
解得x1 = 5 ，x2 = -45 （不符合题意，舍去），
:BE = DG = 5m ，
Q AD = BC = 15m ，AB = 25m ，
: AG = AD + DG = 20m ，AE = AB + BE = 30m ，
: AG 和AE 的长分别为20m 和30m ；
（2）解：扩建后花园的面积不可以为900m2 ，
理由：设BE = ym ，则 DG = 3ym ，
若扩建后花园的面积为900m2 ，则(25+ y)(15+ 3y) = 900 ， 解得y1 = 5 ，y2 = -35 （不符合题意，舍去），
当y = 5 时，DG = 15m ，
: AG = AD + DG = 30m > 25m ，不符合要求，
:扩建后花园的面积不可以为900m2 ．
38 ．（1）原硬纸板的长是80cm 和宽是40cm ；
（2）剪裁的小正方形的边长为12cm 时，小成可以做成一个底面面积是896cm2 的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键．
任务 1：设原硬纸板的长是2xcm和宽是xcm，建立方程10(2x - 20)(x - 20) = 12000 ，求解即 可；
任务 2：设剪裁的小正方形的边长为ycm ，建立方程(80 - 2y)(40 - 2y) = 896 ，求解即可． 【详解】解：任务 1：设原硬纸板的长是 2xcm和宽是xcm ．则
10(2x - 20)(x - 20) = 12000
解得x1 = 40 ，x2 = -10 （不符，舍）
所以2x = 80
答：原硬纸板的长是80cm 和宽是40cm ．
任务 2：小成可以做成一个底面面积是896cm2 的方形纸盒 设剪裁的小正方形的边长为ycm ．则
(80 - 2y)(40 - 2y) = 896
y1 = 12 ，x2 = 48 （不符，舍）
答：剪裁的小正方形的边长为12cm 时，小成可以做成一个底面面积是896cm2 的方形纸盒．
39 ．任务 1：通道的宽 MN 应设计成 10 米；任务 2：每平方米草莓应该降价 40 元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方 程是解题的关键．
任务 1：设通道的宽 MN 应设计成2x 米，则通道的宽EF = GH = 3x 米，根据长为 300 米，
宽为 200 米的长方形果园ABCD 上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草 莓的面积都为 8550 平方米，列出一元二次方程求解即可；
任务 2：设每平方米草莓应该降价y 元，根据每平方米的草莓销售平均利润为 100 元，每月 可销售 5000 平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方 米草莓平均利润下调 5 元，每月可多销售 500 平方米草莓．果园每月的承包费为 2 万元．农 户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-承包费）为 52 万元，列出一元二次方程求解并 取最大值即可．
【详解】解：任务 1：设通道的宽 MN 应设计成2x 米，则通道的宽EF = GH = 3x 米， 由题意得：(300 - 3x - 3x ) (200 - 2x ) = 6 × 8550 ，
整理得：x2 - 150x + 725 = 0 ，
解得：x1 = 5，x2 = 145 （不合题意，舍去）， : 2x = 2 × 5 = 10 ，
答：通道的宽MN 应设计成 10 米；
任务 2：设每平方米草莓应该降价 y 元，
由题意得
整理得：y2 - 50y + 400 = 0 ，
解得：y1 = 10，y2 = 40 ，
:让购买草莓的客户获得更大的优惠，
:每平方米草莓应该降价 40 元．
答：每平方米草莓应该降价 40 元．
40 ．(1)道路的宽为4 米；
(2)每个车位月租金上涨25 元时，停车场月租金收入为10125 元．
【分析】（1）根据道路的宽为x 米，根据题意得(42 - x)(20 - 2x) = 456 ，然后解方程并检验 即可；
（2 ）设月租金上涨a 元，月租金收入为10125 元，根据题意得 然后解方程并检验即可；
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量 关系，列出方程是解题关键．
【详解】（1）解：根据道路的宽为x 米， 根据题意得，(42 - x)(20 - 2x) = 456 ， 整理得：x2 - 52x +192 = 0 ，
解得：x1 = 48 （舍去）， x2 = 4 ，
答：道路的宽为4 米；
（2）解：设月租金上涨a 元，月租金收入为10125 元，
根据题意得
整理得：a2 - 50a + 625 = 0 ，
解得：a1 = a2 = 25 ，
答：每个车位月租金上涨25 元时，停车场月租金收入为10125 元．
41 ．停车位的宽为2.5m
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为xm ，则停车位的长为 (x + 3)m ，车道宽为 2xm，根据题意得
60x (x + 3) + 2× 2x ×15x = 1200 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设停车位的宽为xm ，则停车位的长为 (x + 3)m ，车道宽为 2xm ， 根据题意得，60x (x + 3) + 2× 2x ×15x = 1200 ，
解得x = 2.5 或x = -4 （舍去）， 答：停车位的宽为2.5m ．
42 ．10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题 的关键．设每次倒出液体为 x 升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二 次倒完后，剩下的纯酒精是 81 升，列出一个一元二次方程即可求解．
【详解】解：设每次倒出液体为 x 毫升，
则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ´ 100% ， 由题意可得 ，
整理可得：(100 - x)2 = 8100 ，
解得：x1 = 10 ，x2 = 190 （不合题意，舍去）， :每次倒出的液体是 10 升．
故答案为：10．
43 ．(1)这个范围内的苹果有600 个；
(2) m 的值为3 ．
【分析】（1）设这个范围内的苹果有x 个，由题意列出方程8x - 5x = 0.5 × 3600 ，然后解方程 即可；
（2 ）由题意得 然后解方程并检验即可；
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解 题的关键．
【详解】（1）解：设这个范围内的苹果有x 个， 由题意得：8x - 5x = 0.5 × 3600 ，
解得：x = 600 ；
答：这个范围内的苹果有600 个；
（2）解：由题意得 4500m(m +1) = 1800m
m2 - 3m = 0 ，
解得：m1 = 0 （舍去）， m2 = 3 ， : m 的值为3 ．
44 ．(1)小明跑步速度是200m / min ，小红跑步速度是 240m / min
(2)小明从A 地到C 地锻炼共用70 分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用；
（1）设小红跑步速度是xm / min ，则小明跑步速度是1.2xm / min ，利用时间= 路程 ÷ 速度， 结合小明比小红早5 分钟到达B 地，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出小红 跑步的速度，再将其代入1.2x 中，即可求出小明跑步的速度；
（2）设小明从 A 地到C 地锻炼共用y 分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗2300 卡 路里的热量”，可列出关于 y 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小红跑步速度是 xm / min ，则小明跑步速度是1.2xm / min ，
根据题意得
解得：x = 200 ，
经检验，x = 200 是所列方程的解，且符合题意， :1.2x = 1.2 × 200 = 240
答：小明跑步速度是200m / min ，小红跑步速度是 240m / min；
（2）设小明从 A 地到C 地锻炼共用y 分钟，
根据题意得：10 × 30 +(10 + y - 30)(y - 30) = 2300 ，
整理得：y2 - 50y -1400 = 0 ，
解得：y1 = -20( 不符合题意，舍去) ，y2 = 70 ．
答：小明从A 地到C 地锻炼共用70 分钟．