重庆市南岸区2024-2025学年八年级下学期期末考试 数学试卷（解析版）

这是一份重庆市南岸区2024-2025学年八年级下学期期末考试 数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列英文大写正体字母中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、B、C中的图形不是中心对称图形，
D中图形是中心对称图形，故D符合题意．故选：D．
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】不等式的解集，在数轴上表示为：
故选：B．
3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. 18B. 24C. 27D. 36
【答案】D
【解析】∵点D，E分别为的中点，
∴为的中位线，
∴；
故选：D．
4. 下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意．
B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意．
C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意．
D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意．
故选：A．
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
6. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】原方程为，
将分母变形为，原方程可改写为：，
确定最简公分母为，两边同乘，得：．
故选：C．
7. 下面是某同学计算解题过程．
解：①
②
③
④
上述解题过程，开始出现错误的一步是（ ）
A ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】步骤①：将原式通分，正确，
原式中，，而可变形为，
通分后为，此处正确，
步骤②：合并分子时错误，
正确合并应为：
，
但该同学误将分子写为，导致错误，
步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效，
综上，错误首次出现在步骤②．
故选：B．
8. 如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. 4C. 4.5D. 5
【答案】B
【解析】如图：
依题意，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．
∴，，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
数出整个正六边形共有8个阴影三角形，10个白色的三角形，
即，
∵这个正六边形的面积为9，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：B.
9. 对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】根据“※”定义，不等式为，
解得，
有且只有两个正整数解，
正整数解为1，2，
，
解得，
m为整数，
，
所有满足条件的m的和为，
故选：A．
10. 如图，在中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在边上，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是（ ）
A. ②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
故选：D．
二、填空题
11. 如图，在中，，，，_________．
【答案】
【解析】∵在中，，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____．
【答案】7
【解析】设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得．
故答案为：7．
13. 如图，在平面直角坐标系内，直线：与直线：相交，交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由函数图象可知，
直线：与直线：的交点的横坐标为3，
∴关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
14. 如图，在中，D是的中点，，交于点E，连接AE．BF平分，交于点F．若，，则的长为______．
【答案】2
【解析】∵平分，，
∴，
∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：2.
15. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______．
【答案】
【解析】设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b，
∵图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______．
【答案】
【解析】如图所示，延长交于T，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线与交于点E，的平分线与交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵平分，
∴，，
∴，，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
又，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
三、解答题
17. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：，整数解为：
18. 如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形．
证明：∵，，
∴．
在和中，
∴（）．
∴．
∴（等角对等边）．
∴ 是等腰三角形．
（1）解：
（2）证明：∵，，
∴．
在和中，
∵，
∴（）．
∴．
∴（等角对等边）．
∴ 是等腰三角形．
19. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为

（1）在图中，画出向左平移9个单位得到的；
（2）在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的；
（3）在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，，，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
解：（1）如图所示，

（2）如图所示，

（3）如图所示，

点P的坐标分别是.
20. 先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为x的值代入求值．
解：原式
，
∵，，，
∴，，
当时，.
21. 如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
22. 打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道的长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多．
（1）甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？
（2）为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？
解：（1）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，
则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，
由题意得，，
解得，
∴，
答：甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为10米，乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为15米；
（2）原计划每天铺设的污水排放管道的长度是y米，则实际每天铺设的污水排放管道的长度是米，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：实际每天铺设的污水排放管道的长度是48米．
23. 观察下列等式，归纳结论，并解决问题．
（1）观察下列各式：，，，，……，归纳结论： ；
（2）求证：任意两个奇数的平方差是8的倍数；
（3）正整数a，b满足等式，且，求a，b的值．
（1）解：，，，，……，
（）；
（2）证明：设两个奇数分别为，
∵
当为奇数时，则为偶数，则是8的倍数，
当为偶数时，则为奇数，则是8的倍数，
∴任意两个奇数的平方差是8的倍数；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
24. 为了推动蔬菜产业稳产保供与提质增效，发展蔬菜助农增收，同时让老百姓吃上放心、健康、新鲜的绿色蔬菜，某超市决定每天定量从金山坡村采购甲、乙两种蔬菜，经调查、协商，超市最终决定：甲种蔬菜进价为m元，售价为10元；乙种蔬菜进价为n元，售价为13元．
（1）若采购甲种蔬菜120和乙种蔬菜80，共需要付款1360元；若采购甲种蔬菜150和乙种蔬菜75，共需要付款1500元．求m，n的值；
（2）该超市决定每天采购甲、乙两种蔬菜共200，采购资金不多于1400元，且采购的甲种蔬菜不能超过102．如果采购的甲种蔬菜为（，且x为正整数），那么该超市每天有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，超市每天按甲、乙两种蔬菜获得最大利润的方案采购．超市为了与金山坡村开展持久的、双赢的合作机制，决定从售出甲、乙两种蔬菜的利润中抽取部分作为金山坡村蔬菜基地的基础建设．若从售出甲种蔬菜的利润中，每千克捐出元，从售出乙种蔬菜的利润中每千克捐出元，为保证每天捐款后甲、乙两种蔬菜总的利润率不低于，求a的最大值．
解：（1）由题意得，
化简得，
解得；
（2）由题意得，，
解得，
x为正整数，
取100，101，或102，
有3种采购方案，分别为：
采购甲种蔬菜，乙种蔬菜；
采购甲种蔬菜，乙种蔬菜；
采购甲种蔬菜，乙种蔬菜；
（3）方案利润为：（元），
方案利润为：（元），
方案利润为：（元），
，
方案利润最大，即采购甲种蔬菜，乙种蔬菜，
由题意得，
解得，
a的最大值为．
25. 在中，，M，N分别为，边上的点（不与端点重合），且．若，将绕点M逆时针旋转，得到，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点A作，垂足为E，交于点F．猜想与存在的关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当，，D，M，N恰好在一条直线上时，若P是边上的一个动点，连接，，直接写出周长的最小值．
（1）证明：∵将绕点M逆时针旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将绕点M逆时针旋转，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）解：∵，将绕点M逆时针旋转，
∴，
∴，
∵D，M，N恰好在一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理得，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在取点，连接，使得，作点M关于的对称点，连接， ，如图所示：
∴
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
则，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴，
即三点共线，
∴当点运动点处，得周长的最小值，
则，
∴，
故周长的最小值
.