重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】A．，则A不符合题意，
B．符合最简二次根式的定义，则B符合题意，
C．，则C不符合题意，
D．，则D不符合题意，
故选：B．
2. 为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（ ）
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】要了解同学们最喜爱的菜肴，就是了解哪个菜肴喜欢的人数最多，即为众数，
故选：A．
3. 某一次函数的图像与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.与x轴的交点为（0，0），故本选项错误；
B. y=x-1与x轴的交点为（1，0），故本选项错误；
C.与x轴的交点为（1，0），故本选项错误；
D. y=x+1与x轴的交点为（－1，0），故本选项正确；故选：D．
4. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 三个角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【解析】A．由平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B．由菱形的判定定理可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是矩形，故B符合题意；
C．∵对角线互相垂直的矩形同时又是菱形，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，故C不符合题意；
D．由矩形的判定定理可知，有三个角是直角的四边形是矩形，故D不符合题意，
故选：B．
6. 估计（+）的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】（）＝4+，
∵2＜＜3，
∴6＜＜7，
故选：C．
7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要16根，第③个图形需要23根，
……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ）
A. 85B. 81C. 76D. 72
【答案】D
【解析】第①个图形需要9根小木棒，
第②个图形需要16根，即，
第③个图形需要23根，即，
∴第n个图形需要（根），
第⑩个图形需要（根），
故选：D．
8. 如图，中，，，，分别以，，为直径画半圆，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴以为直径的半圆的半径为，以为直径的半圆的半径为1，以为直径的半圆的半径为2，
∴阴影部分的面积之和．
故选：A．
9. 如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，，
连接．如图所示，
∵四边形是边长为的正方形．
∴，且平分．
∴．
∵．
∴．
∴是等腰直角三角形．四边形，是矩形，
∴，，，
∴，
∴；
在中，
∵P为中点．
∴．
∴是直角三角形．
∵点H为的中点，四边形是矩形，
∴过点H．且点H为的中点．
在中，．
∴．
故选：C．
10. 对实数，定义一种新运算△，规定：（其中，均非零常数），例如：．若，．则下列结论：
①，；
②若，则；
③若，则，有且仅有5组整数解；
④如果，那么或；
其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】根据题意可得：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，故选项①正确；
②根据题意得：，，
∴，解得，
∴，故②错误；
③，∴，整理得：，
当时，，
∴p、q有且仅有3组正整数解，选项③错误；
④如果，则，
∴，即，
∴或，即或，选项④正确，
综上所述，结论正确的个数有2个．
故选：B．
二、填空题
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：如图，一根竖直的竹子高1丈（1丈10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度是______．
【答案】尺
【解析】1丈10尺，
设折断处离地面高度为x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
答：折断处离地面的高度为尺．
故答案为：尺．
13. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 _____________分．
【答案】
【解析】这个人的面试成绩是：（分），
故答案为：．
14. 关于的分式方程有整数解，且关于的一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的整数的和为_____．
【答案】16
【解析】∵，
∴，
得，
关于的分式方程有整数解，
a为偶数，且，
a偶数且，
关于的一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得，
满足条件的整数的值为2或6或8，
满足条件的整数的和为，
故答案为：16．
15. 如图，在菱形中，，，是线段上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，，垂足为点，连接，．则的周长为_____，_____．
【答案】①；②
【解析】连接，如图，
在菱形中，，，，
∴，，
∴，
∴，则，
是等边三角形，
∴，，，
由翻折，可得，
∴，，，，
∴，，
∴．
．
故答案为：；．
16. 规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____．
【答案】7；5842
【解析】的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
，，
则有，，且、均为整数，
，，
，
为整数，
的个位数为或，
个位数为或，
或，
四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，
的个位数为，
；
解：为完全平方数，
整理得：，
的个位数是或，
的个位数是，
的值为、、、，的值为、、、、、，且a与d不相同，
当，时，，
是完全平方数，
符合题意；
此时，，
；
符合条件的有，
故答案为：；．
三、解答题
17. 如图，在中，是它的一条对角线，．
（1）尺规作图：过点作的垂线，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：．
证明：，，
．
①__________．
四边形为平行四边形，
②__________，．
③__________．
，
．
四边形是平行四边形．
④__________．
（1）解：如图，即为所作；
（2）证明：，，
．
．
四边形为平行四边形，
，．
．
，
．
四边形是平行四边形．
．
故答案为：①；②；③；④．
18. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
19. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：良好B：满意C：
非常满意D：），下面给出了部分信息．
甲款评分数据中C组包含的所有数据为：；
乙款评分数据中C组包含的所有数据为：．
甲、乙两款AI软件满意度评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整；
（2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）：
（3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？
解：（1）∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88，
∴分．
∵乙款A和D组人数均为：，C组人数为：10，B组人数为：，
∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了6次，
∴．
∵，
∴．
甲款D组人数：，
如图，
故答案为：，87，10；
（2）我认为甲款AI软件更受用户喜欢，因为甲款AI软件评分的众数88大于乙款，AI软件评分的众数87，所以甲款AI软件更受用户喜欢；
（3），
估计对所调查的软件非常满意的用户人数共有440．
20. 城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨．
（1）若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？
（2）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？
解：（1）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨；
由题意得：，解得：，
（吨）
答：从A城运往D乡的化肥为110吨：
（2）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨；
由题意得：利润，
，随增大而增大．
又
当时，总运费最少，最少为（元）
答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元．
21. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：
（3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
解：（1）在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，
(秒)，．
时，点B和点P重合，不能构成三角形．
∴当点P在边上运动时，．
，．
∴的面积为；
当点P在边上运动时，(秒)，
点为线段的中点，
．
由题意可知，
∴的面积为；
综上所述，y关于x的函数表达式为
.
（2）画出函数的图象，如图，
由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大；
（3）画出函数、的图象，如图
当点P在边上运动时，
，解得，
当点P在边上运动时，
，解得.
由图象可知时x的取值范围是或.
22. 公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶．观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向；凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东方向，在观景台的北偏西方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合．已知米．（参考数据：，，）
（1）求观景台到山顶的距离（结果保留根号）；
（2）若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由．（结果保留小数点后一位）
解：（1）由题意得：，，，．
，，．
，，．
．
在中，，，根据勾股定理得，
．
又，，
．
在中，，，，
根据勾股定理得，
．
观景台到山顶的距离为．
（2）由题意得：，，
小明所用时间为：．
爸爸所用时间为：．
，
小明先到达山顶．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点．
（1）求直线，的函数解析式；
（2）如图2，点是线段上一动点，连接，，点，均为轴上的动点，且点在点的上方，．当时，求点的坐标及的最小值；
（3）如图3，点是轴上一点，点是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线与直线交于点，
，
，
直线：，直线：；
（2）由（1）得：，，，．
，
．
．
如图所示，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点．
，，
四边形是平行四边形，
，
，
当，，共线时，的值最小，最小值为，
点的坐标，的最小值为；
（3），
，，
第一种情况：如图所示，当为边时，点在点的下方时，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
点在直线上，且，
此时；
第二种情况：如图所示，当为对角线时，取线段的中点，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，连接，
四边形是菱形，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
，
此时；
第三种情况：如图所示，当为边，点在点的右方时，在轴正半轴上取，过点作，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
此时；
第四种情况：如图所示，当为边，点在点的左方时，在轴负半轴上取，过点作，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
此时；
综上所述，，，，．
24. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．
（1）如图1，若，，，求四边形的面积；
（2）如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
解：（1），，
，
四边形为矩形，
，
，
又，
．
在中，，，，
根据勾股定理得，，
，
；
（2），理由如下：
如图所示，过点作于点，作于点．
，，
，
，，
，，
，
，
，．
点为线段的中点，
．
，
四边形是矩形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，
，，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上，
如图所示，作点关于的对称点，
，
当取最小值时，，，三点共线，最小值为，
延长交直线于点，连接，
，
，
，
，
，，
由勾股定理可得，最小值．设备
平均数
中位数
众数
甲款
85
88
乙款
85
86