重庆市江北区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市江北区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列四个实数中，最小的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵和为正数，和为负数；
∵负数均小于正数，
故最小值在A、B中产生；
∵，
∴；
∴最小的实数为：；
故选：A．
2. 汉字是中华文明的标志，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】小篆体字是轴对称图形的是：B；
故选：B．
3. 已知正比例函数，则下列各点在该正比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵正比例函数为，
选项A：，
代入，得，与点的纵坐标6相等，满足条件．
选项B：，
代入，得，与纵坐标3不相等，不满足．
选项C：，
代入，得，与纵坐标不相等，不满足．
选项D：，
代入，得，与纵坐标6不相等，不满足．
综上，只有选项A满足函数解析式，
故选：A．
4. 估计的值在（ ）
A. 6到7之间B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9到10之间
【答案】B
【解析】，
∵，
∴，
∴，
∴的值在7到8之间；
故选：B．
5. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，要把变成矩形，需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∵，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形是矩形，
∴需要添加的条件是：；
故选：B．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于方程，其判别式为．
其中，，，代入得．
因为方程有两个不相等的实数根，所以，即．
解不等式：
，
，
，
因此，k的取值范围是，
故选：C．
7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示：下列说法不正确的是（ ）
A. 甲无人机上升的速度为
B. 时，乙无人机上升了
C. 时，乙无人机距离地面的高度是
D. 时，两架无人机的高度差是
【答案】B
【解析】A．甲无人机上升的速度为：，故正确，不符合题意；
B．时，乙无人机上升了，故错误，符合题意；
C．乙无人机的速度为：，
∴时，乙无人机距离地面的高度是：，故正确，不符合题意；
D．时，甲无人机距离地面的高度：，
时，乙无人机距离地面的高度：，
∴时，两架无人机的高度差是：，故正确，不符合题意；
综上，不正确的是：B；
故选：B．
8. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接、，点是边上一点，，连接．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，
解①得：，
解②得：，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得：；
，
解得：，
∵分式的解是整数且，
∴需为偶数且，
∴为奇数且，
∵，
∴整数的值为，
∴所有满足条件的整数的值之和为．
故选：B．
10. 已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论：
①满足条件的整式中只有个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
③满足条件的整式一共有个．
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或，
即或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于整数，且，
∴或或或或或或或或或，
∴或或或或或或或或或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或，
∴或，
共种，其中单项式有个；
综上，满足条件的整式中，有个单项式，故①错误；
当时，满足条件的整式有且只有个，故②错误；
满足条件的整式一共有个，故③错误；
故正确的个数是个，
故选：A．
二、填空题
11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 若点和点均在一次函数的图象上，则______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】一次函数中，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】∵y随x的增大而减少，且点在一次函数的图象上，
∴当时，，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，与相交于点，点为中点，连接．若，，则的长为______．
【答案】5
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
，
E为边的中点，
．
故答案为：5．
15. 如图，E为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处，若，，则_______．
【答案】
【解析】由矩形和折叠性质可得BC=FC=AD=3，∠DFC=∠EFC=∠B=90°，
∴在Rt△DCF中，，
∴AB=CD=5，
设BE=EF=x，则AE=5-x，DE=4+x，
∴在Rt△ADE中，，
解得：x=1，
∴BE=1，
∴在Rt△CBE中，，
故答案为：．
16. 如果一个正整数可以分解成，其中、都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“友好数”，并把分解成的过程，称为“友好分解”．例如：是“友好数”，不是“友好数”．则最小的“友好数”为______；将一个“友好数”进行“友好分解”，即与之和记为与之差记为，若能被9整除，（为正整数），则符合要求的的值为______．
【答案】；
【解析】（1）十位为时：
与的十位数字相同，个位数字之和为，
可能的组合为，
对应的乘积为，
故最小值为，
十位为及以上时，最小乘积均大于，故最小友好数为；
（2）设的十位为，个位为，则，
依据题意：，
能被整除，
（为正整数），
，
由于是十位数字，则的取值范围是到，是个位数字，且也必须是个位数字，则的取值范围是到，
，
，
枚举的可能值，
当时，，
设，化简得，
因为是正整数，必须是的正约数，
当，，
当，，
当，，
当，，
当，（舍，），
代入中，当时，，
，
同时，，且能被整除，满足条件，
此时：，
，
其他值不满足若被9整除或，
同理，当时，
无法同时满足被9整除和，
综上，当时，满足条件，
故答案为：；．
三、解答题
17. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）.
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18. 如图，在中，、是、的中点，连接．
（1）在直线下方作，交边于点；（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形．
证明：、是、的中点
是的中位线，
且①，
，
②，
四边形是平行四边形，
是的中点，
③，
，
，
四边形是④．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：、是、的中点，
是的中位线，
且，
，
，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
，
，
∴四边形是菱形．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
，
则原式．
20. 为了解某校七、八年级学生1分钟跳绳情况，体育老师随机抽查了七、八年级学生各10名，记录下他们1分钟跳绳的个数（个），并将成绩分四个等级：不合格，合格，良好，优秀．下面给出了部分信息：
七年级10名学生1分钟跳绳的个数分别是：
，
八年级10名学生1分钟跳绳的个数属于良好的数据是：
，
七、八年级学生1分钟跳绳的个数统计表：
八年级学生1分钟跳绳的个数扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中______，______，______；
（2）根据题中的信息和数据，你认为七、八年级哪个年级的学生1分钟跳绳的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估算该校七、八年级学生1分钟跳绳的成绩等级为“良好和优秀”的一共大约有多少人？
解：（1）七年级10名学生1分钟跳绳的个数最多的是181，
∴；
八年级优秀的人数为人，而八年级良好有6人，则把八年级10名学生1分钟跳绳的个数按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为181，182，
∴八年级学生成绩的中位数；
由题意得，，
∴；
故答案为：181；；20；
（2）八年级学生1分钟跳绳的成绩较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生1分钟跳绳的成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生1分钟跳绳的成绩较好；
（3）人，
∴该校七、八年级学生1分钟跳绳的成绩等级为“良好和优秀”的一共大约有550人．
21. 在政府消费补贴政策推动下，各大商圈销售持续升温，某精品店借着这一波热度，在5月份用5100元购进了一批遮阳帽和防晒衣共80件进行销售．已知遮阳帽每顶的进价为60元，售价为80元；防晒衣每件的进价为75元，售价为120元．
（1）该精品店5月份遮阳帽和防晒衣各购进多少件？
（2）市场热销，5月份购进遮阳帽和防晒衣全部售出，6月份精品店再购进一批遮阳帽和防晒衣．为增加6月份防晒衣的销量，老板采取降价促销．据市场调查发现，在5月份的基础上，若防晒衣的售价每降低2元，则可多售出1件（实际售价不低于进价）．若6月份遮阳帽的售价、销售量与5月份相同，两种商品6月份的销售总额为7800元，则6月份每件防晒衣的售价为多少元？
解：（1）设遮阳帽购进x件，防晒衣购进y件，
根据题意，得:，
解得，
答：遮阳帽购进60件，防晒衣购进20件；
（2）设防晒衣每件降价a元，则售价为元，销量为件，
根据题意，得：
，
解得，
故售价为元．
答：6月份每件防晒衣的售价为100元．
22. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．
（1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积大于3时的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
解：（1）∵，
当点P在上时，，则，，
∴，
，
即，
当点P在上时，，，
∴，
，
即，
综上：；
（2）当时，，解得；当时，；
当时，，解得；当时，；
函数图象如图所示，
由图可知：当时，随增大而增大；
当时，随增大而减小；
（3）当时，，解得；
当时，，解得；
由图可知，当时，的面积大于3．
23. 老张家在公司的正东方向，周末下班回家时，他发现车里的油不多了，决定回家的路上顺便加油．已知加油站位于公司的南偏东方向，位于老张家的南偏西方向；加油站位于公司的北偏东方向，位于老张家的西北方向．其中公司与加油站相距40公里．
（1）求公司和老张家之间的距离；（结果保留根号）
（2）若老张在路线①和路线②行驶的平均速度相同，且在加油站、两地的停留时间忽略不计，请通过计算说明老张走哪条线路能更快到家．
（结果保留一位小数，参考数据：）
解：（1）过D点作于点E，过B点作于F点，
∵在中，，，公里，
∴（公里），
（公里），
∵在中，，，
∴（公里），
（公里），
∴（公里），
答：公司A和老张家C之间的距离为公里；
（2）设，
∵在中，，，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
∵公里，，
∴，
解得，
∴（公里），
（公里），
∴（公里），
即路线①的路程约为公里，
∵（公里），
∴路线②的路程约为公里，
∵行驶的平均速度相同，且在加油站B、D两地的停留时间忽略不计，
∴老张走路线②能更快到家．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点．其中，点横坐标为6．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点是线段上的一动点（不与端点重合），过点作轴交于点，过点向轴作垂线，垂足为，连接，若四边形的面积为9，求此时点的坐标；
（3）点为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）∵直线相交于点，点横坐标为6，
∴，
∴，
∵直线经过，，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为，再设点到的距离为，则，，
∵四边形的面积为9，
∴，即，
解得，即，
解得，则，
∴点的坐标为；
（3）令，则，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作交直线于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，，
在线段上截取，连接交直线于点，此时，
∵，，，
∴，
∴，
此时，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴点的坐标为；
分别过点、作坐标轴的平行线，相交于点，交直线于点，在线段上截取，连接交直线于点，
由题意得四边形是正方形，
∴，此时即，
同理，，
同理，
∴，
此时，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
25. 已知是等边三角形，点为射线上一点，连接，将绕点沿顺时针旋转至，连接交直线于点．
（1）如图1，点为的中点，，当时，求的长；
（2）如图2，点在线段的延长线上，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点在射线上，，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
解：（1）∵为等边三角形，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，，，
∴，
由旋转的性质可得：，
∵，
∴，
∴；
（2），证明如下：
如图，在上截取，连接，
，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵为等腰三角形时，
∴如图，当点在线段上时，过点作的平行线，延长交的平行线于，此时为等腰三角形，且，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
作于，则，
∴，，
∴，
∴；
如图，当点在线段的延长线上时，此时为等腰三角形，且，即此时点和点重合，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．类别
平均数
中位数
众数
方差
七年级
180
180
30.2
八年级
180
182
35