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2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|6−2xA. ⌀B. {−1,1}C. {3,5}D. {−1,1,3,5}
2.某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为( )
A. 15B. 17C. 17.5D. 18
3.设a=lg52，b=lg253，c=0.60.2，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4=5，a3+a5=10，则S6=( )
A. 632B. 63C. 312D. 31
5.已知直线x=5π12和x=17π12都是函数y=f(x)图象的对称轴，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=sin(2x−π3)B. f(x)=sin(2x−π6)
C. f(x)=sin(4x+π3)D. f(x)=sin(x−π6)
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，O为CD1的中点，则下列直线与AB1不垂直的是( )
A. OA1B. D1BC. A1CD. OE
7.已知点P在抛物线M：y2=8x上，过点P作圆C：(x−4)2+y2=1的切线，若切线长为2 6，则点P到M的准线的距离为( )
A. 7B. 6C. 5D. 4 2
8.若直线l是曲线y=ex−1与y=ex−1的公切线，则直线l的方程为( )
A. y=x−1B. y=xC. y=x+1D. y=ex
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z满足z2+4=0，则( )
A. z为纯虚数
B. |z|=2
C. z的实部不存在
D. 复数z+z2在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数f(x)的定义域为R，对所有的x，y∈R，都有xf(y)−yf(x)=xy(y2−x2)，则( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数
C. f(x)在R上可能单调递增D. f(x)在R上可能单调递减
11.已知椭圆C：x28+y2m=1(0A. C的短轴长为4
B. C上存在点P，使得PF1⊥PF2
C. C上存在点P，使得PF1⋅PF2= 3
D. C与曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(2,1),AC=(1,m),CD=(3,6).若A，B，D三点共线，则m= ______．
13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2且Sn+Sn+1=2n2+4n+m,m为常数，则m= ______．
14.甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3bcsC−csinB= 3a．
(1)求角B；
(2)已知b=6，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，12，且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，E，F分别为棱AC，BB′的中点，AB=BB′=2．
(1)证明：BE//平面AFC′．
(2)求平面ABC与平面AFC′夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，且焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
19.(本小题17分)
若定义在区间D上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，则称f(x)是D上的“好函数”．
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”，求a的取值范围．
(2)(i)证明：g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)设n∈N*，证明：ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】因为集合A={x|6−2x所以集合A={x|x>2}，
所以A∩B={3,5}．
故选：C．
根据集合交集的运算求解即可．
本题考查了集合交集的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：连续7天的最低气温从小到大排列：13，15，15，17，18，18，19，
因为7×70%=4.9，
所以第70百分位数为第5个数，即为18．
故选：D．
利用百分位数的求解公式即可求解．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：依题意，b=lg253=lg52( 3)2=lg5 3c=0．60.2>0.6>12，所以c>a>b．
故选：B．
根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小即得．
本题考查了对数值的大小比较，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4=5，a3+a5=10，
∴q(a2+a4)=5q=10，a1q2(1+q2)=10，
联立解得：a1=12，q=2，
则S6=12×(1−26)1−2=632．
故选：A．
利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题可知，当x=5π12或x=17π12时，f(x)取得最值，
对于A选项对应的函数，f(5π12)=sinπ2=1，f(17π12)=sin5π2=1，符合题意，
验证可知B，C，D选项对应的函数均不符合题意．
故选：A．
利用正弦函数的图象的对称性进行验证即可求解，
本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A，画出图形，如图所示：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB1⊥平面BCD1A1，
又OA1⊂平面BCD1A1，
所以AB1⊥OA1，故A不合题意；
对于B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，D1B⊥平面AB1C1，
又AB1⊂平面AB1C1，所以D1B⊥AB1，故B不合题意；
对于C，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C⊥平面AB1D1，
又AB1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AB1，故C不合题意；
在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
如图，取AB1中点F，连接OF，FE，易知OF⊥平面ABB1A1，
所以FE为OE在平面ABB1A1内的射影，又AB1与FE不垂直，
所以AB1与OE不垂直，所以D满足题意．
故选：D．
结合正方体中常见的线面垂直，即可判断A、B、C，利用三垂直定理可以判断D．
本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系的判断，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为切线长为2 6，圆C的半径为1，
依题意可得|PC|= 12+(2 6)2=5，
设P(x,y)，则 (x−4)2+y2= (x−4)2+8x= x2+16=5，
解得x=±3，因为y2=8x≥0，所以x=3，
因为M的准线方程为x=−2，所以点P到M的准线的距离为3−(−2)=5．
故选：C．
由已知结合直线与圆相切的性质及抛物线的定义即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，还考查了抛物线定义的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设f(x)=ex−1，直线l与f(x)的切点坐标为(x1,y1)，g(x)=ex−1，直线l与g(x)的切点坐标为(x2,y2)，
f′(x)=ex−1，g′(x)=ex，则ex1−1=ex2，∴x1−1=x2，
又y1−y2x1−x2=ex2，即ex1−1−ex2+1x1−x2=ex2，
由x1−1=x2可得ex2−ex2+11=ex2，解得x2=0，
∴y2=e0−1=0，k=ex2=1，
∴直线l的方程为y=x．
故选：B．
利用f′(x1)=f′(x2)=y1−y2x1−x2即可求解．
本题考查导数的几何意义以及公切线问题，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：z2+4=0，解得z=±2i，故z为纯虚数，故A正确；
|z|= 02+(±2)2=2，故B正确；
z的实部为0，故C错误；
当z=2i时，z+z2=2i+(2i)2=−4+2i，复数z+z2在复平面内对应的点(−4,2)在第二象限，
当z=−2i时，z+z2=−2i+(2i)2=−4−2i，复数z+z2在复平面内对应的点(−4,−2)在第三象限，故D错误．
故选：AB．
先求出复数z，再结合复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：令x=0，y≠0，则f(0)=0，
若xy≠0，则f(y)y−f(x)x=y2−x2，
即f(y)y−y2=f(x)x−x2，
所以f(x)x−x2=C(x≠0,C为常数)，
则f(x)=x3+Cx(x≠0)，
又因为f(0)=0，
所以f(x)=x3+Cx，
所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误；
f′(x)=3x2+C，当C≥0时，f(x)在R上单调递增，故C正确．
因为f′(x)=3x2+C，f′(x)≤0不可能恒成立，故D错误．
故选：AC．
令x=0，y≠0，可得f(0)=0，若xy≠0，则f(y)y−y2=f(x)x−x2，从而得f(x)=x3+Cx(x≠0)，由f(0)=0，可得f(x)=x3+Cx，即可判断函数的奇偶性，从而判断A，B；求导得f′(x)=3x2+C，从而即可判断C，D．
本题考查了判断抽象函数的奇偶性、单调性，考查了导数的综合运用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：椭圆C：x28+y2m=1(0可得8−m8=34，可得m=2，所以a=2 2，b= 2，c= 8−2= 6，
椭圆的短轴长为2 2，所以A不正确；
以原点为圆心， 6为半径的圆与椭圆有公共点，所以C上存在点P，使得PF1⊥PF2.所以B正确．
点P在椭圆上，PF1⋅PF2≤(a+c)(a−c)=a2−c2=8−2=6，
PF1⋅PF2≥(− 6,− 2)( 6,− 2)=−6+2=−4，
所以C上存在点P，使得PF1⋅PF2= 3，所以C正确．
曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2，满足椭圆的定义，曲线C与曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2重合，所以D正确．
故选：BCD．
利用已知条件求解m，求解焦距，长轴长，结合选项判断即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，向量的数量积的应用，是中档题．
12.【答案】−4
【解析】解：由条件知：AD=AC+CD=(4,6+m)，AB=(2,1)，由于A，B，D三点共线，故4−2(6+m)=0，解得m=−4．
故答案为：−4．
直接利用共线向量基本定理求出m的值．
本题考查的知识点：共线向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：当n=1时，
S1+S2=6+m，即2a1+a2=m+6，即a2=m+2，
Sn+Sn+1=2n2+4n+m,m为常数①，
当n≥2时，Sn−1+Sn=2(n−1)2+4(n−1)+m②，
两式相减可得，an+an+1=4n+2(n≥2)，
则an+1+an+2=4n+6(n≥2)，两式相减可得，an+2−an=4，
故等差数列{an}的公差为2，
则a2=a1+d=4，
故m+2=4，解得m=2．
故答案为：2．
根据已知条件，结合通项公式，依次求出关于n的等式，再通过作差，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
14.【答案】486
【解析】解：依题意，甲、乙、丙恰好去三个不同的社区有A33种方法，
除甲、乙、丙外的余下4人，每个选择一个社区的方法有3种，4人去社区的方法种数为34，
所以所有不同的选择种数为34A33=486．
故答案为：486．
先安排甲、乙、丙去三个社区，再让余下4人选择所去社区，然后利用分步乘法计数原理列式计算即得．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为 3bcsC−csinB= 3a，所以由正弦定理可得 3sinBcsC−sinCsinB= 3sinA，
又A=π−(B+C)，所以 3sinBcsC= 3sin(B+C)+sinCsinB，
所以 3sinBcsC= 3sinBcsC+ 3csBsinC+sinCsinB，
即 3sinCcsB+sinCsinB=0.因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csB+ 33sinB=0，即tanB=− 3，又B∈(0,π)，所以B=2π3；
(2)由余弦定理可知b2=a2+c2−2accs2π3，即a2+c2+ac=36，
因为a2+c2≥2ac，所以36≥3ac，解得ac≤12，当且仅当a=c=2 3时，等号成立，
则△ABC的面积为12acsinB≤12×12× 32=3 3，即△ABC面积的最大值为3 3．
【解析】(1)先根据正弦定理可得B；(2)根据余弦定理，基本不等式即可求最值．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
16.【答案】解：(1)甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1=34×23×12=14，
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1+P2=1724；
(2)由(1)知，不需要培训就获得资格证书的概率为14，
X的可能取0，1，2，3，显然X～B(3,14)，
则P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×(34)2×14=2764，
P(X=2)=C32×(14)2×34=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以X的分布列为：
期望E(X)=3×14=34．
【解析】(1)根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得．
(2)由(1)中信息，求出X的可能值，利用二项分布求出分布列及期望．
本题考查了互斥事件的概率及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：取G为AC′的中点，连接EG，GF，
因为E为棱AC的中点，所以EG//CC，且EG=12CC′，
又F为棱BB的中点，所以BF=12BB′，
因为BB′//CC′且BB′=CC′，
所以EG//BF且EG=BF，
所以四边形EGFB为平行四边形，
所以EB//GF，
又EB⊄平面AFC′，GF⊂平面AFC′，
所以BE//平面AFC′；
(2)取O为BC的中点，H为B′C′的中点，连接AO，OH，
因为ABC−A′B′C′为正三棱柱，
所以OC，OA，OH两两垂直，
以O为坐标原点，OC，OH、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0, 3)，F(−1,1,0)，C′(1,2,0)，
AC′=(1,2,− 3)，FC′=(2,1,0)，
设平面AFC′的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC′=x+2y− 3z=0,m⋅FC′=2x+y=0．
令x=1，则y=−2，z=− 3，
可得m=(1,−2,− 3)，
又n=(0,1,0)是平面ABC的一个法向量，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n|m||n||=22 2= 22，
所以平面ABC与平面AFC夹角的余弦值为 22．
【解析】(1)构造平行四边形证明线线平行，然后用线面平行的判定定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量坐标法求夹角的余弦值即可得解．
本题考查线面平行的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
18.【答案】(1)解：双曲线中，设一个焦点F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0．
∴焦点F到渐近线的距离为bc a2+b2=b= 2．
∵实轴长是虚轴长的 2倍，所以a= 2b=2，
∴双曲线的标准方程为x24−y22=1；
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C恰有1个公共点，
则l的方程为x=±2，∴|PQ|=2 2，S△OPQ=12×2×2 2=2 2．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，且k≠± 22．
由y=kx+m,x24−y22=1,得(1−2k2)x2−4mkx−2m2−4=0，
Δ=16m2k2+4(1−2k2)(2m2+4)=0，可得4k2=m2+2．
由y=kx+m,y= 22x,得x=2m 2−2k．
设l与y= 22x的交点为P，则xP=2m 2−2k，同理xQ=−2m 2+2k，
∴|xP−xQ|=|2m⋅2 2( 2−2k)( 2+2k)|，
∴|PQ|= 1+k2|xP−xQ|=2 2|m| k2+1|1−2k2|．
∵原点O到直线l的距离d=|m| k2+1，∴S△OPQ=12⋅|PQ|⋅d= 2m2|1−2k2|．
∵4k2=m2+2，∴S△OPQ=2 2，故△OPQ的面积为定值，且定值为2 2．
【解析】(1)根据双曲线的性质可得方程；
(2)利用弦长公式，可将三角形面积表示出来即可证明．
本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
19.【答案】(1)解：由题可知任意x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，
即ax12−ax222>x1−x2x1+x2，解得a>2(x1+x2)2，
因为x1+x2∈(2,+∞)，所以a≥12，即a的取值范围为[12,+∞)．
(2)(i)证明：设x1，x2∈(0,+∞)，
则g(x1)−g(x2)2−x1−x2x1+x2=lnx1−lnx22−x1−x2x1+x2=lnx1x22−x1x2−1x1x2+1，
令x=x1x2，且x∈(1,+∞)，h(x)=lnx−2(x−1)x+1，x∈(1,+∞)，
则h′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，则h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以h(x)>h(1)=0，即g(x1)−g(x2)2>x1−x2x1+x2，
所以g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)证明：由(i)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx1−lnx22>x1−x2x1+x2，
令x1=2n+1，x2=2n−1，n∈N*，则ln(2n+1)−ln(2n−1)2>12n，即ln(2n+1)−ln(2n−1)>1n，
故ln3−ln1+ln5−ln3+⋯+ln(2n+1)−ln(2n−1)>11+12+13+⋯+1n，
化简可得ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
【解析】(1)由“好函数”的定义可得ax12−ax222>x1−x2x1+x2，分离参数可得a>2(x1+x2)2，从而可得a的取值范围；
(2)(i)利用作差法，结合“好函数”的定义即可证明；
(ii)由(i)可知当x∈(1,+∞)时，lnx1−lnx22>x1−x2x1+x2，令x1=2n+1，x2=2n−1，n∈N*，可得ln(2n+1)−ln(2n−1)>1n，再利用累加法即可证明不等式成立．
本题主要考查函数的新定义，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
1.若集合A={x|6−2x
2.某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为( )
A. 15B. 17C. 17.5D. 18
3.设a=lg52，b=lg253，c=0.60.2，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4=5，a3+a5=10，则S6=( )
A. 632B. 63C. 312D. 31
5.已知直线x=5π12和x=17π12都是函数y=f(x)图象的对称轴，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=sin(2x−π3)B. f(x)=sin(2x−π6)
C. f(x)=sin(4x+π3)D. f(x)=sin(x−π6)
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，O为CD1的中点，则下列直线与AB1不垂直的是( )
A. OA1B. D1BC. A1CD. OE
7.已知点P在抛物线M：y2=8x上，过点P作圆C：(x−4)2+y2=1的切线，若切线长为2 6，则点P到M的准线的距离为( )
A. 7B. 6C. 5D. 4 2
8.若直线l是曲线y=ex−1与y=ex−1的公切线，则直线l的方程为( )
A. y=x−1B. y=xC. y=x+1D. y=ex
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z满足z2+4=0，则( )
A. z为纯虚数
B. |z|=2
C. z的实部不存在
D. 复数z+z2在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数f(x)的定义域为R，对所有的x，y∈R，都有xf(y)−yf(x)=xy(y2−x2)，则( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数
C. f(x)在R上可能单调递增D. f(x)在R上可能单调递减
11.已知椭圆C：x28+y2m=1(0
B. C上存在点P，使得PF1⊥PF2
C. C上存在点P，使得PF1⋅PF2= 3
D. C与曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(2,1),AC=(1,m),CD=(3,6).若A，B，D三点共线，则m= ______．
13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2且Sn+Sn+1=2n2+4n+m,m为常数，则m= ______．
14.甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3bcsC−csinB= 3a．
(1)求角B；
(2)已知b=6，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，12，且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，E，F分别为棱AC，BB′的中点，AB=BB′=2．
(1)证明：BE//平面AFC′．
(2)求平面ABC与平面AFC′夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，且焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
19.(本小题17分)
若定义在区间D上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，则称f(x)是D上的“好函数”．
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”，求a的取值范围．
(2)(i)证明：g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)设n∈N*，证明：ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】因为集合A={x|6−2x
所以A∩B={3,5}．
故选：C．
根据集合交集的运算求解即可．
本题考查了集合交集的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：连续7天的最低气温从小到大排列：13，15，15，17，18，18，19，
因为7×70%=4.9，
所以第70百分位数为第5个数，即为18．
故选：D．
利用百分位数的求解公式即可求解．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：依题意，b=lg253=lg52( 3)2=lg5 3
故选：B．
根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小即得．
本题考查了对数值的大小比较，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4=5，a3+a5=10，
∴q(a2+a4)=5q=10，a1q2(1+q2)=10，
联立解得：a1=12，q=2，
则S6=12×(1−26)1−2=632．
故选：A．
利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题可知，当x=5π12或x=17π12时，f(x)取得最值，
对于A选项对应的函数，f(5π12)=sinπ2=1，f(17π12)=sin5π2=1，符合题意，
验证可知B，C，D选项对应的函数均不符合题意．
故选：A．
利用正弦函数的图象的对称性进行验证即可求解，
本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A，画出图形，如图所示：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB1⊥平面BCD1A1，
又OA1⊂平面BCD1A1，
所以AB1⊥OA1，故A不合题意；
对于B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，D1B⊥平面AB1C1，
又AB1⊂平面AB1C1，所以D1B⊥AB1，故B不合题意；
对于C，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C⊥平面AB1D1，
又AB1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AB1，故C不合题意；
在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
如图，取AB1中点F，连接OF，FE，易知OF⊥平面ABB1A1，
所以FE为OE在平面ABB1A1内的射影，又AB1与FE不垂直，
所以AB1与OE不垂直，所以D满足题意．
故选：D．
结合正方体中常见的线面垂直，即可判断A、B、C，利用三垂直定理可以判断D．
本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系的判断，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为切线长为2 6，圆C的半径为1，
依题意可得|PC|= 12+(2 6)2=5，
设P(x,y)，则 (x−4)2+y2= (x−4)2+8x= x2+16=5，
解得x=±3，因为y2=8x≥0，所以x=3，
因为M的准线方程为x=−2，所以点P到M的准线的距离为3−(−2)=5．
故选：C．
由已知结合直线与圆相切的性质及抛物线的定义即可求解．
本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，还考查了抛物线定义的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设f(x)=ex−1，直线l与f(x)的切点坐标为(x1,y1)，g(x)=ex−1，直线l与g(x)的切点坐标为(x2,y2)，
f′(x)=ex−1，g′(x)=ex，则ex1−1=ex2，∴x1−1=x2，
又y1−y2x1−x2=ex2，即ex1−1−ex2+1x1−x2=ex2，
由x1−1=x2可得ex2−ex2+11=ex2，解得x2=0，
∴y2=e0−1=0，k=ex2=1，
∴直线l的方程为y=x．
故选：B．
利用f′(x1)=f′(x2)=y1−y2x1−x2即可求解．
本题考查导数的几何意义以及公切线问题，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：z2+4=0，解得z=±2i，故z为纯虚数，故A正确；
|z|= 02+(±2)2=2，故B正确；
z的实部为0，故C错误；
当z=2i时，z+z2=2i+(2i)2=−4+2i，复数z+z2在复平面内对应的点(−4,2)在第二象限，
当z=−2i时，z+z2=−2i+(2i)2=−4−2i，复数z+z2在复平面内对应的点(−4,−2)在第三象限，故D错误．
故选：AB．
先求出复数z，再结合复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：令x=0，y≠0，则f(0)=0，
若xy≠0，则f(y)y−f(x)x=y2−x2，
即f(y)y−y2=f(x)x−x2，
所以f(x)x−x2=C(x≠0,C为常数)，
则f(x)=x3+Cx(x≠0)，
又因为f(0)=0，
所以f(x)=x3+Cx，
所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误；
f′(x)=3x2+C，当C≥0时，f(x)在R上单调递增，故C正确．
因为f′(x)=3x2+C，f′(x)≤0不可能恒成立，故D错误．
故选：AC．
令x=0，y≠0，可得f(0)=0，若xy≠0，则f(y)y−y2=f(x)x−x2，从而得f(x)=x3+Cx(x≠0)，由f(0)=0，可得f(x)=x3+Cx，即可判断函数的奇偶性，从而判断A，B；求导得f′(x)=3x2+C，从而即可判断C，D．
本题考查了判断抽象函数的奇偶性、单调性，考查了导数的综合运用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：椭圆C：x28+y2m=1(0
椭圆的短轴长为2 2，所以A不正确；
以原点为圆心， 6为半径的圆与椭圆有公共点，所以C上存在点P，使得PF1⊥PF2.所以B正确．
点P在椭圆上，PF1⋅PF2≤(a+c)(a−c)=a2−c2=8−2=6，
PF1⋅PF2≥(− 6,− 2)( 6,− 2)=−6+2=−4，
所以C上存在点P，使得PF1⋅PF2= 3，所以C正确．
曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2，满足椭圆的定义，曲线C与曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2重合，所以D正确．
故选：BCD．
利用已知条件求解m，求解焦距，长轴长，结合选项判断即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，向量的数量积的应用，是中档题．
12.【答案】−4
【解析】解：由条件知：AD=AC+CD=(4,6+m)，AB=(2,1)，由于A，B，D三点共线，故4−2(6+m)=0，解得m=−4．
故答案为：−4．
直接利用共线向量基本定理求出m的值．
本题考查的知识点：共线向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：当n=1时，
S1+S2=6+m，即2a1+a2=m+6，即a2=m+2，
Sn+Sn+1=2n2+4n+m,m为常数①，
当n≥2时，Sn−1+Sn=2(n−1)2+4(n−1)+m②，
两式相减可得，an+an+1=4n+2(n≥2)，
则an+1+an+2=4n+6(n≥2)，两式相减可得，an+2−an=4，
故等差数列{an}的公差为2，
则a2=a1+d=4，
故m+2=4，解得m=2．
故答案为：2．
根据已知条件，结合通项公式，依次求出关于n的等式，再通过作差，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
14.【答案】486
【解析】解：依题意，甲、乙、丙恰好去三个不同的社区有A33种方法，
除甲、乙、丙外的余下4人，每个选择一个社区的方法有3种，4人去社区的方法种数为34，
所以所有不同的选择种数为34A33=486．
故答案为：486．
先安排甲、乙、丙去三个社区，再让余下4人选择所去社区，然后利用分步乘法计数原理列式计算即得．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为 3bcsC−csinB= 3a，所以由正弦定理可得 3sinBcsC−sinCsinB= 3sinA，
又A=π−(B+C)，所以 3sinBcsC= 3sin(B+C)+sinCsinB，
所以 3sinBcsC= 3sinBcsC+ 3csBsinC+sinCsinB，
即 3sinCcsB+sinCsinB=0.因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csB+ 33sinB=0，即tanB=− 3，又B∈(0,π)，所以B=2π3；
(2)由余弦定理可知b2=a2+c2−2accs2π3，即a2+c2+ac=36，
因为a2+c2≥2ac，所以36≥3ac，解得ac≤12，当且仅当a=c=2 3时，等号成立，
则△ABC的面积为12acsinB≤12×12× 32=3 3，即△ABC面积的最大值为3 3．
【解析】(1)先根据正弦定理可得B；(2)根据余弦定理，基本不等式即可求最值．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
16.【答案】解：(1)甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1=34×23×12=14，
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1+P2=1724；
(2)由(1)知，不需要培训就获得资格证书的概率为14，
X的可能取0，1，2，3，显然X～B(3,14)，
则P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×(34)2×14=2764，
P(X=2)=C32×(14)2×34=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以X的分布列为：
期望E(X)=3×14=34．
【解析】(1)根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得．
(2)由(1)中信息，求出X的可能值，利用二项分布求出分布列及期望．
本题考查了互斥事件的概率及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：取G为AC′的中点，连接EG，GF，
因为E为棱AC的中点，所以EG//CC，且EG=12CC′，
又F为棱BB的中点，所以BF=12BB′，
因为BB′//CC′且BB′=CC′，
所以EG//BF且EG=BF，
所以四边形EGFB为平行四边形，
所以EB//GF，
又EB⊄平面AFC′，GF⊂平面AFC′，
所以BE//平面AFC′；
(2)取O为BC的中点，H为B′C′的中点，连接AO，OH，
因为ABC−A′B′C′为正三棱柱，
所以OC，OA，OH两两垂直，
以O为坐标原点，OC，OH、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0, 3)，F(−1,1,0)，C′(1,2,0)，
AC′=(1,2,− 3)，FC′=(2,1,0)，
设平面AFC′的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC′=x+2y− 3z=0,m⋅FC′=2x+y=0．
令x=1，则y=−2，z=− 3，
可得m=(1,−2,− 3)，
又n=(0,1,0)是平面ABC的一个法向量，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n|m||n||=22 2= 22，
所以平面ABC与平面AFC夹角的余弦值为 22．
【解析】(1)构造平行四边形证明线线平行，然后用线面平行的判定定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量坐标法求夹角的余弦值即可得解．
本题考查线面平行的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
18.【答案】(1)解：双曲线中，设一个焦点F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0．
∴焦点F到渐近线的距离为bc a2+b2=b= 2．
∵实轴长是虚轴长的 2倍，所以a= 2b=2，
∴双曲线的标准方程为x24−y22=1；
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C恰有1个公共点，
则l的方程为x=±2，∴|PQ|=2 2，S△OPQ=12×2×2 2=2 2．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，且k≠± 22．
由y=kx+m,x24−y22=1,得(1−2k2)x2−4mkx−2m2−4=0，
Δ=16m2k2+4(1−2k2)(2m2+4)=0，可得4k2=m2+2．
由y=kx+m,y= 22x,得x=2m 2−2k．
设l与y= 22x的交点为P，则xP=2m 2−2k，同理xQ=−2m 2+2k，
∴|xP−xQ|=|2m⋅2 2( 2−2k)( 2+2k)|，
∴|PQ|= 1+k2|xP−xQ|=2 2|m| k2+1|1−2k2|．
∵原点O到直线l的距离d=|m| k2+1，∴S△OPQ=12⋅|PQ|⋅d= 2m2|1−2k2|．
∵4k2=m2+2，∴S△OPQ=2 2，故△OPQ的面积为定值，且定值为2 2．
【解析】(1)根据双曲线的性质可得方程；
(2)利用弦长公式，可将三角形面积表示出来即可证明．
本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
19.【答案】(1)解：由题可知任意x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，
即ax12−ax222>x1−x2x1+x2，解得a>2(x1+x2)2，
因为x1+x2∈(2,+∞)，所以a≥12，即a的取值范围为[12,+∞)．
(2)(i)证明：设x1，x2∈(0,+∞)，
则g(x1)−g(x2)2−x1−x2x1+x2=lnx1−lnx22−x1−x2x1+x2=lnx1x22−x1x2−1x1x2+1，
令x=x1x2，且x∈(1,+∞)，h(x)=lnx−2(x−1)x+1，x∈(1,+∞)，
则h′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，则h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以h(x)>h(1)=0，即g(x1)−g(x2)2>x1−x2x1+x2，
所以g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)证明：由(i)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx1−lnx22>x1−x2x1+x2，
令x1=2n+1，x2=2n−1，n∈N*，则ln(2n+1)−ln(2n−1)2>12n，即ln(2n+1)−ln(2n−1)>1n，
故ln3−ln1+ln5−ln3+⋯+ln(2n+1)−ln(2n−1)>11+12+13+⋯+1n，
化简可得ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
【解析】(1)由“好函数”的定义可得ax12−ax222>x1−x2x1+x2，分离参数可得a>2(x1+x2)2，从而可得a的取值范围；
(2)(i)利用作差法，结合“好函数”的定义即可证明；
(ii)由(i)可知当x∈(1,+∞)时，lnx1−lnx22>x1−x2x1+x2，令x1=2n+1，x2=2n−1，n∈N*，可得ln(2n+1)−ln(2n−1)>1n，再利用累加法即可证明不等式成立．
本题主要考查函数的新定义，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．X
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1
2
3
P
2764
2764
964
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