2022-2023学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.i为虚数单位，i3=( )
A. −iB. iC. −1D. 1
2.平面直角坐标系中，已知A(1,1)，B(−1,0)，C(0,1)，则AB+AC=( )
A. (−1,1)B. (−3,−1)C. (3,−1)D. (0,2)
3.已知事件A，B互斥，若P(A)=15，P(A∪B)=815.则P(B)=( )
A. 13B. 23C. 715D. 815
4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m//n，n⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β
5.已知直角三角形三边长分别为3，4，5，以其中一条边所在直线为轴旋转一周后得到一个几何体，则该几何体的最大体积为( )
A. 485πB. 12πC. 16πD. 32π
6.从正五边形的5个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是锐角三角形的概率为( )
A. 15B. 13C. 12D. 25
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a= 3，b=3，B=2A，则c=( )
A. 32B. 3C. 3D. 2 3
8.利用向量方法研究函数f(x)=asinx+bcsx(x∈R,a,b不同时为0)，过程如下：
设m=(b,a)，n=(csx,sinx)
则f(x)=m⋅n=|m||n|cs⟨m,n⟩= a2+b2cs⟨m,n⟩.
所以当m与n方向相同时，f(x)取到最大值 a2+b2
当m与n方向相反时，f(x)取到最小值− a2+b2；
根据以上研究，下列关于函数g(x)=3sinx+4csx的结论正确的是( )
A. 最大值为5，取到最大值时tanx=34B. 最大值为5，取到最大值时tanx=43
C. 最大值为 5，取到最大值时tanx=34D. 最大值为 5，取到最大值时tanx=43
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z的共轭复数为z−，则下列说法正确的是( )
A. z+z−一定是实数B. z⋅z−一定是实数
C. z−z−一定是纯虚数D. z2=|z|2
10.底面为平行四边形的四棱柱称为平行六面体，连接平行六面体不在同一面上两个顶点的线段称为平行六面体的体对角线.以下关于平行六面体的命题，正确的是( )
A. 平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分
B. 平行六面体的8个顶点在同一球面上
C. 平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和
D. 各棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，则体对角线AC1的长为 6
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为60∘，则a⋅b=______.
12.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是______.
13.一个圆台的上、下底面圆周在同一球面上，已知圆台上、下底面的半径分别为3cm和4cm，球的表面积为100πcm2，则该圆台的高为______cm.
14.某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如表：
则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为______，方差为______.
(注：由人教版高中数学必修第二册习题9.2拓广探索可知以下结论：
已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则s2=1m+n{m[s12+(x−−ω−)2]+n[s22+(y−−ω−)2]})
15.魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：
如图，为测量山顶松树的高AB，在山底C所在水平面内，选择D、E两点，使C、D、E三点在同一直线上，在D点测得A点和B点的仰角分别为60∘、45∘，在E点测得A点的仰角为30∘，测得基线DE的长为100米.由以上测量数据可得出：
①松树的高AB=______米(精确到0.1)；
②∠ADB和∠AEB分别是人在D点和E点观测松树的视角，其大小关系为：∠ADB______∠AEB(填“>”，“<”或“=”).
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F，G满足AB=2AE，AD=2AF，BC=2BG，设AB=a，AD=b.
(1)用a，b表示EF，EG；
(2)若EF⊥EG，求|a||b|.
17.(本小题8分)
某企业生产口罩、防护服、消毒水等物品，在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70),…，[90,100]，得到如下频率分布直方图.
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数(精确到0.01)；
(3)规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标不小于70的口罩为一等品.采用样本量比例分配的分层随机抽样，从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？
18.(本小题8分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcsA=( 2c−a)csB.
(1)求B的大小；
(2)若△ABC为钝角三角形，且a=4，b=3，求△ABC的面积.
19.(本小题8分)
如图，四面体A−BCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，点F在BD上，E为AC的中点.
(1)证明：平面FAC⊥平面BDE；
(2)若DE⊥BE，DE=1，四面体A−BCD的体积为 33，若∠AFC恰为二面角A−BD−C的平面角，求△AFC的面积.
20.(本小题8分)
阅读材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为S= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2].这个公式称之为秦九韶公式.
材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12(a+b+c)，这个公式称之为海伦公式.
材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学水平.
材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即设凸四边形的四条边长分别为a，b，c，d，p=12(a+b+c+d)，凸四边形的一对对角和的半为θ，则凸四边形的面积为S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcs2θ.这个公式称之为婆罗摩笈多公式.
请你结合阅读材料解答下面的问题：
(1)在下面两个问题中选择一个作答：(如果多做，按所做的第一个问题给分)
①证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；
②已知圆内接四边形MNPQ中，MN=2，NP=4，PQ=5，QM=3，求MNPQ的面积：
(2)△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为6，其内切圆半径为1，a=4，b答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：i3=i2⋅i=−i.
故选：A.
直接利用虚数单位i的运算性质得答案．
本题考查虚数单位i的运算性质，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A(1,1)，B(−1,0)，C(0,1)，
则AB=(−2,−1)，AC=(−1,0)，
所以AB+AC=(−3,−1).
故选：B.
根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，
则P(B)=P(A∪B)−P(A)=815−15=13.
故选：A.
根据题意，由于事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，由此变形计算可得答案．
本题考查互斥事件的概率性质，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：若m⊥n，n//α，则m⊂α或m//α或m与α相交，相交也不一定垂直，故A错误；若m//n，n⊥α，则m⊥α，故B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n//α，故C错误；
若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，故D错误．
故选：B.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判断，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设斜边的高为h，则3×45=125，
当以3为底，以4为高旋转时，这时几何体的体积V1=13π⋅32⋅4=12π，
当以4为底，以3为高旋转时，这时几何体的体积V2=13π⋅42⋅3=16π，
当以斜边的高h为底，以5为高旋转时，这时几何体的体积V3=13π⋅(125)2⋅5=485π.
所以该几何体的最大体积为16π.
故选：C.
由题意可知斜边的高h的大小，分别以3为底，以4为高旋转，以4为底，以3为高旋转，以斜边的高h为底，以5为高旋转时，求出该几何体的体积．
本题考查旋转体条件的求法，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：从正五边形的5个顶点中任取3个构成三角形，共有C53=10种情况，
其中有5个锐角三角形，有5个钝角三角形，
所以所得三角形是锐角三角形的概率为510=12.
故选：C.
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为a= 3，b=3，B=2A，
所以由正弦定理asinA=bsinB，可得 3sinA=3sinB=3sin2A=32sinAcsA，
可得csA= 32，
因为A∈(0,π)，
所以A=π6，可得B=π3，C=π−A−B=π2，
所以c= a2+b2=2 3.
故选：D.
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦公式可求得csA= 32，结合A∈(0,π)，可求A的值，由已知可得B，利用三角形内角和定理可求C的值，进而利用勾股定理即可求解c的值．
本题考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形内角和定理以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为g(x)=3sinx+4csx=5sin(x+φ)，tanφ=43，
A中，函数的最大值为5，此时x+φ=π2，x=π2−φ，可得tanx=tan(π2−φ)=ctφ=34，所以A正确；
B，C，D不正确．
故选：A.
将函数g(x)由恒等变换的解析式，进而可得函数的最大值及此时角的大小，进而求出x的正切值，判断出所给命题的真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：∵复数z的共轭复数为z−，设z=a+bi，a、b∈R，则z−=a−bi，
∴z+z−=2a，为实数，故A正确．
z⋅z−=a2+b2=|z|2为实数，故B正确．
∴z−z−=2bi，可能是实数也可能是纯虚数，故C错误．
∵z2=a2−b2+2abi，z−2=a2+b2−2abi，故D不正确．
故选：AB.
由题意，利用共轭复数的定义和性质，得出结论．
本题主要考查共轭复数的定义和性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：如图，连结AC1，BD1，A1C，
依题意，AB//CD，CD//C1D1，AB=CD，CD=C1D，
所以AB//C1D1，AB=C1D1，即ABC1D1为平行四边形，
则AC1，BD1相交且互相平分，同理BD1，A1C相交且互相平分，
则AC1，BD1，A1C，B1D相交于中点O，
所以平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分，选项A正确；
若平行六面体的8个顶点在同一球面上，
则平行四边形ABCD四个定点在一个圆周上，
而圆的内接四边形对角互补，
而平行四边形ABCD对角不一定互补，选项B错误；
∵AC1=AB+BB1+BC，BD1=BB1+BC+BA，
∴AC12=(AB+BB1+BC)2=AB2+BB12+BC2+2AB⋅BB1+2AB⋅BC+2BB1⋅BC，
BD12=(BB1+BC+BA)2=BB12+BC2+BA2+2BB1⋅BC−2BB1⋅AB−2BC⋅AB，
则AC12+BD12=2BB12+2BC2+2BA2+4BB1⋅BC，
又A1C =AB+BC+B1B，DB1=CB+AB+BB1，
∴A1C2=AB2+BC2+B1B2+2AB⋅BC+2AB⋅B1B+2BC⋅B1B，
DB12=CB2+AB2+BB12−2BC⋅AB+2CB⋅BB1−2AB⋅B1B，
则A1C2+DB12=2AB2+2CB2+2B1B2+4BC⋅B1B，
所以AC12+BD12+A1C2+DB12=4AB2+4CB2+4B1B2，
即平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和，选项C正确；
根据题意，三棱锥A1−ABD为棱长为1正三棱锥，
所以A1在平面ABD上的投影S为正△ABD的中心，
则AS= 32×23= 33，cs∠A1AS=ASAA1= 33，
所以cs∠ACC1=− 33，
由余弦定理AC12=AC2+CC12−2AC⋅CC1cs∠ACC1=( 3)2+1+2× 3× 33=6，
所以AC1的长为 6，选项D正确．
故选：ACD.
由平行四边形对角线互相平分可证选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选项B错误；由平行四边形ABC1D1对角线的平方和等于四条边的平方和性质，可得选项C正确；由三棱锥A1−ABD为棱长为1正三棱锥，可求出cs∠A1AS，从而在ΔACC1中利用余弦定理求解，可判断选项D正确．
本题考查棱柱的结构特征，考查空间中点，线，面的距离夹角等知识，属中档题．
11.【答案】3
【解析】解：a⋅b=|a|⋅|b|cs60∘=2×3×12=3.
故答案为：3.
根据平面向量数量积的定义求即可求解．
本题考查平面向量数量积的定义，属基础题．
12.【答案】12
【解析】解：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)=12，P(B)=13.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C=AB−+A−B，且AB−和A−B互斥．
故两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率为：
P(C)=P(AB−+A−B)=P(AB−)+P(A−B)
=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=12×(1−13)+(1−12)×13=12.
故答案为：12.
设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C=AB−+A−B，且AB−和A−B互斥．由此能求出两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
13.【答案】7或1
【解析】解：根据题意，设该圆台外接球的半径为R，
由于圆台的外接球的表面积为100πcm2，则有4πR2=100π，解可得R=5，
又由圆台上、下底面的半径分别为3cm和4cm，
则球心到上底面的距离d1= 25−9=4，到下底面的距离d2= 25−16=3，
若球心在圆台的内部，此时圆台的高h=d1+d2=7，
若球心不在圆台的内部，此时圆台的高h=d1−d2=1，
故该圆台的高为7或1.
故答案为：7或1.
根据题意，求出圆台的外接球的半径，由此可得球心到上底面和下底面的距离，分球心在圆台的内部和球心不在圆台的内部两种情况讨论，求出圆台的高，综合可得答案．
本题考查球与圆台的位置关系，涉及球的表面积计算，属于基础题．
14.【答案】165 55
【解析】解：根据题意，样本总体的平均数x−=100×170+100×160200=165，
样本总体的方差S2=100200[(170−165)2+22]+100200[(160−165)2+38]=55，
由此可以估计：该校高一年级的全体学生的身高平均数为165，方差为55.
故答案为：165；55
根据题意，由总体的平均数、方差公式求出样本总体的平均数和方差，由此可以估计高一年级的全体学生的身高平均数、方差，即可得答案．
本题考查总体的平均数、方差的计算，注意两者的计算公式，属于基础题．
15.【答案】36.6>
【解析】解：由题意得∠BDC=45∘，∠ADC=60∘，∠AEC=30∘，DE=100，
所以∠ADE=120∘，所以∠DEA=DAE=30∘，
所以AD=DE=100，
在Rt△ADC中，AC=ADsin∠ADC=100× 32=50 3，
CD=ADcs∠ADC=100×12=50，
在Rt△BDC中，BC=CDtan∠BDC=CD=50，
所以AB=AC−BC=50 3−50≈50×1.732−50≈36.6，
设△ABE的外接圆半径为r1，△ABD的外接半径为r2，由图可知r1>r2，
由正弦定理得ABsin∠AEB=2r1,ABsin∠ADB=2r2，
所以ABsin∠AEB>ABsin∠ADB，所以sin∠ADB>sin∠AEB，
因为∠ADB，∠AEB都为锐角，所以∠ADB>∠AEB.
故答案为：36.6，>
由题意可得∠DEA=DAE=30∘，则可得AD=DE=100，然后求出AC，BC可求得AB的值，由图可知△ABE的外接圆大于△ABD，然后分别在两个三角形中利用正弦定理比较即可．
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由题意，E，F，G分别是AB，AD，BC边的中点，
则法一：
EF=EA+AF=−12a+12b，
EG=EB+BG=12a+12b；
法二：
EF=AF−AE=12b−12a，
EG=BG−BE=12b−(−12a)=12a+12b；
(2)若EF⊥EG，则EF⋅EG=0，
所以(−12a+12b)⋅(12a+12b)=14b2−14a2=0，
所以|a|2=|b|2，
所以|a||b|=1.
【解析】(1)由题设知E，F，G分别是对应边的中点，由平面向量的线性运算可用a，b表示EF，EG；
(2)若EF⊥EG，则有EF⋅EG=0，根据此关系式即可求解．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属基础题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，
解得m=0.030；
(2)因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5，
所以中位数在第4组，设中位数为n，
则0.1+0.15+0.15+0.03(n−70)=0.5，
解得n≈73.33，
所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33；
(3)由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，
所抽取的5个口罩中一等品有5×60100=3个，二等品有5−3=2个．
【解析】(1)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出m的值；
(2)根据中位数的定义求解；
(3)根据分层抽样的定义求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为bcsA=( 2c−a)csB，
所以bcsA+acsB= 2ccsB，
由正弦定理可得sinBcsA+sinAcsB= 2sinCcsB，
即sin(A+B)= 2sinCcsB，
可得sinC= 2sinCcsB，
因为在△ABC中，sinC≠0，
所以csB= 22，
因为B∈(0,π)，
所以B=π4.
(2)因为B=π4，a=4，b=3，
所以由正弦定理有4sinA=3 22，
则sinA=2 23，
则csA=13或−13，
若csA=13，则csC=−cs(A+B)=−( 22×13− 22×2 23)>0，
此时△ABC为锐角三角形，不满足条件，
若csA=−13，此时△ABC为钝角三角形，
则sinC=sin(A+B)=( 22×(−13)+ 22×2 23)=4− 26，
可得S△ABC=12absinC=4− 2.
【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得csB= 22，结合B∈(0,π)，可求B的值．
(2)由正弦定理可求sinA的值，利用同角三角函数基本关系式可求csA的值，利用两角和的余弦公式可求csC的值，可求sinC的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：因为AD=CD，E为AC的中点，
所以AC⊥DE，
在△ABD和△CBD中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDB=DB，
所以△ABD≌△CBD，
所以AB=CB，
又E为AC的中点，
所以AC⊥BE，
又DE，BE⊂平面BDE，DE∩BE=E，
所以AC⊥平面BDE，
又AC⊂平面FAC，
所以平面FAC⊥平面BDE.
(2)连接EF，
因为∠AFC是二面角A−DB−C的平面角，
所以AF⊥BD，CF⊥BD，
又AF，CF⊂平面AFC，AF∩CF=F，
所以BD⊥平面AFC，
因为EF⊂平面AFC，
所以BD⊥EF，
因为AD⊥CD，AD=CD，DE=1，
所以AC=2，
又由(1)知AC⊥平面BDE，
所以四面体A−BCD的体积VA−BCD=13×S△DBE×AC，
又因为四面体A−BCD的体积为 33，
所以 33=13×(12×1×BE)×2，
解得BE= 3，
因为S△BDE=12DE⋅BE=12BD⋅EF，
即DE⋅BE=BD⋅EF，1× 3= 12+( 3)2EF，
所以EF= 32，
又AC⊥平面BED，
所以AC⊥EF，
所以S△AFC=12AC⋅EF=12×2× 32= 32.
【解析】(1)由AD=CD，E为AC的中点，得AC⊥DE，可证明△ABD≌△CBD，则AB=CB，又E为AC的中点，即AC⊥BE，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，进而可得答案．
(2)连接EF，由∠AFC是二面角A−DB−C的平面角，可得AF⊥BD，CF⊥BD，进而可得BD⊥平面AFC，则BD⊥EF，推出AC=2，四面体A−BCD的体积VA−BCD=13×S△DBE×AC，解得BE，由等面积法可得EF，又AC⊥平面BED，则AC⊥EF，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若选择①：证明：
由秦九韶公式证明海伦公式：
S△ABC= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]
= 14(ac+c2+a2−b22)(ac−c2+a2−b22)
= 14((a+c)2−b22)(b2−(a−c)22)
= a+b+c2⋅a+c−b2⋅b+a−c2⋅b+c−a2
设p=12(a+b+c)，
所以S△ABC= a+b+c2(a+b+c2−b)(a+b+c2−c)(a+b+c2−a)
= p(p−a)(p−b)(p−c)，
上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的．
若选择②：
因为p=12(a+b+c+d)，且MN=2，NP=4，PQ=5，QM=3，
所以p=12(2+4+5+3)=7，
所以S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcs2θ= 120−abcdcs2θ，
因为四边形MNPQ是圆内接四边形，对角和为180∘，
所以θ=90∘，代入可得S=2 30.
(2)设内切圆半径为r，因为S△ABC=12(a+b+c)r，
代入S△ABC=6，a=4，r=1，可得b+c=8，①，
又p=12(a+b+c)=S△ABCr=6，
由海伦公式S△ABC= p(p−a)(p−b)(p−c)，
可得6= 6(6−4)(6−b)(6−c)，
整理可得bc−6(b+c)+36=3，
代入①可得bc=15，②，
联立①②，b+c=8bc=15，
又因为b可得b=3，c=5.
【解析】(1)若选择①：设p=12(a+b+c)，由秦九韶公式即可证明海伦公式，由每一步均为等价变形，可得秦九韶公式与海伦公式是等价的．
若选择②：由题意可求得p=7，可得S= 120−abcdcs2θ，由四边形MNPQ是圆内接四边形，对角和为180∘，可得θ=90∘，进而可求S的值．
(2)设内切圆半径为r，由S△ABC=12(a+b+c)r，可求得b+c=8，由海伦公式可得bc=15，联立方程，又b本题考查了秦九韶公式，海伦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．性别
样本量
样本平均数
样本方差
男
100
170
22
女
100
160
38