2026届高考数学一轮总复习提能训练练案67离散型随机变量及其分布列均值方差

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案67离散型随机变量及其分布列均值方差，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2024·陕西西安八校联考)已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差D(X)＝( )
A．120 B．160
C．200 D．260
[答案] C
[解析] 由题可知m＋2m＋m＝1，解得m＝eq \f(1,4)，则E(X)＝0×m＋40m＋40m＝80m＝20；故D(X)＝eq \f(1,4)(0－20)2＋eq \f(1,2)(20－20)2＋eq \f(1,4)(40－20)2＝100＋0＋100＝200.故选C.
2．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(2X＋1)＝( )
A．eq \f(11,6) B．eq \f(11,3)
C．eq \f(14,3) D．eq \f(22,3)
[答案] C
[解析] 由分布列可得eq \f(1,3)＋a＋eq \f(1,6)＝1，解得a＝eq \f(1,2)，则E(X)＝1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(11,6)，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝eq \f(14,3).故选C.
3．(2023·江苏镇江一中阶段练习)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq \f(2,9)
[答案] C
[解析] 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，∴P(X＝1)＝eq \f(2,3)，E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq \f(2,9)＝2，故C错误；在D中，D(X)＝eq \f(2,9)，故D正确．故选C.
4．(2023·山东枣庄模拟)口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(4,9)
C．eq \f(2,27) D．eq \f(8,3)
[答案] A
[解析] 由题意，X可能取值为2,3，
X＝2包含事件为取出的两个球为1,2，
所以P(X＝2)＝eq \f(1,C\\al(2,3))＝eq \f(1,3)，
X＝3包含事件为取出的两个球为1,3或2,3，
所以P(X＝3)＝eq \f(2,C\\al(2,3))＝eq \f(2,3)，
E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，
D(X)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(8,3)))2＋eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(8,3)))2＝eq \f(2,9).
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或DX＝22×\f(1,3)＋32×\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2＝\f(2,9))).
故选A．
5．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1 617,2 106，2 329，2 896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量X＝eq \f(1,2)，当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量X＝1，则E(X)＝( )
A．eq \f(11,12) B．eq \f(5,6)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] 从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，
|1 617－2 106|＝489，|1 617－2 329|＝712，
|1 617－2 896|＝1 279，|2 106－2 329|＝223，
|2 106－2 896|＝790，|2 329－2 896|＝567，
所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，
故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(1,2)))＝eq \f(1,3)，不小于500的结果有4种，故P(X＝1)＝eq \f(2,3)，
所以E(X)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(5,6)，故选B.
6．(2025·四川成都石室中学模拟)A、B两位同学各有2张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完6次硬币时游戏终止的概率是( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(3,32)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(3,16)
[答案] C
[解析] 设A赢得B卡片为事件A，B赢得A卡片为事件B，依题意，在第6次硬币投掷时游戏结束，如果是A赢了B的卡片，则必然是以下4种情形中的一种：ABABAA，ABBAAA，BABAAA，BAABAA；如果是B赢得了A的卡片，则必然是以下4种情形中的一种：BABABB，BAABBB，ABABBB，ABBABB，所以第6次投掷硬币游戏结束的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6×2×4＝eq \f(1,8)，故选C.
7．(2024·河南南阳一中开学考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
A．3 B．eq \f(7,2)
C．eq \f(18,5) D．4
[答案] B
[解析] 由题意知，ξ的可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ＝2)＝eq \f(A\\al(2,2),A\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq \f(A\\al(2,2)C\\al(1,3)C\\al(1,2)＋A\\al(3,3),A\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq \f(A\\al(3,3)C\\al(2,3)C\\al(1,2)＋A\\al(3,3)C\\al(1,3)C\\al(1,2),A\\al(4,5))＝eq \f(6,10)，所以E(ξ)＝2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,10)＋4×eq \f(6,10)＝eq \f(7,2).故选B.
二、多选题
8．(2025·河南调研)随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X，掷出的点数之和为Y，则( )
A．事件“X＝2”和“Y＝4”相等
B．事件“X＝4”和“Y＝6”互斥
C．X为奇数的概率为eq \f(1,8)
D．Y