2026届高考数学一轮总复习提能训练练案63两个计数原理排列组合

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案63两个计数原理排列组合，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
[答案] C
[解析] 首先确定相同的读物，共有Ceq \\al(1,6)种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，有Aeq \\al(2,5)种，共有Ceq \\al(1,6)·Aeq \\al(2,5)＝120种，故选C.
2．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A．Ceq \\al(45,400)·Ceq \\al(15,200)种 B．Ceq \\al(20,400)·Ceq \\al(40,200)种
C．Ceq \\al(30,400)·Ceq \\al(30,200)种 D．Ceq \\al(40,400)·Ceq \\al(20,200)种
[答案] D
[解析] 根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×eq \f(400,600)＝40人，高中部共抽取60×eq \f(200,600)＝20，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有Ceq \\al(40,400)·Ceq \\al(20,200)种．故选D.
3．(2024·黑龙江龙西北高中名校联盟联考)将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A．90 B．135
C．270 D．360
[答案] B
[解析] 在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有Ceq \\al(2,6)＝15种，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为15×3×3＝135种选法．故选B.
4．(2025·江苏南京调研)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为( )
A．4 B．6
C．8 D．12
[答案] C
[解析] 甲、乙名次相邻有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12种情况，其中丙为第一名的情况有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝4种，故四人名次排列情况有12－4＝8种．故选C.
5．(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A．120 B．60
C．40 D．30
[答案] B
[解析] 不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有Aeq \\al(2,4)＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.
6．(2024·江苏扬州模拟)重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节目，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为( )
A．288种 B．144种
C．72种 D．36种
[答案] B
[解析] A，B相邻，捆绑作为一个节目与E、F进行全排列，然后把C、D插入其中的四个空档中，排法总数为Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝144.故选B.
7．(2025·广西摸底)有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为( )
A．40种 B．60种
C．80种 D．120种
[答案] B
[解析] 根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录用，有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)＝24种不同的录用情况；②四人都被录用，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有Ceq \\al(2,4)×Aeq \\al(3,3)＝6×6＝36种不同的录用情况；所以共有36＋24＝60种不同的录用情况．故选B.
8．(2024·河南顶级名校联盟期中联考)玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木(四个侧面有各不相同的图案)时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，各面棱的颜色都不同，则染法总数为( )
A．216 B．360
C．720 D．1 080
[答案] D
[解析] 根据题意，如图：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，则有Aeq \\al(4,4)＝24种染法，③对于下底A1B1C1D1，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×1×1＝9种染法，则共有5×24×9＝1 080种染法．故选D.
9．(2024·河南洛阳创新发展联盟阶段测试)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是( )
A．180 B．320
C．345 D．360
[答案] D
[解析] 若6支救援队按1,1,4分成3组，则不同的安排方法种数是eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,5),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝30，若6支救援队按1,2,3分成3组，则不同的安排方法种数是Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝240，若6支救援队按2,2,2分成3组，则不同的安排方法种数是eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90，故不同的安排方法种数是360.
二、多选题
10．(2024·河北石家庄摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
[答案] BD
[解析] 由eq \f(A\\al(5,5),A\\al(3,3))＝20(种)知A错误；由Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72(种)知B正确；若甲在最右端有Aeq \\al(4,4)＝24(种)排法，若甲不在最右端有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝54种排法，54＋24＝78(种)知C错误；由Aeq \\al(4,4)＝24(种)知D正确．故选BD.
11．(2025·广东深圳外国语学校摸底)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A．所有可能的方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
[答案] BCD
[解析] 所有可能的方法有43种，A错误；对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则共有Ceq \\al(1,3)×3×3＝27种安排，第二种：若有两名同学去工厂甲，则有Ceq \\al(2,3)×3＝9种安排，第三种情况，若三名同学都去工厂甲，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确；对于C，若A必去工厂甲，则B，C两名同学各有4种安排，共有4×4＝16种安排，C正确；对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有Aeq \\al(3,4)＝24种安排，D正确．故选BCD.
12．(2024·云南曲靖一中月考)下列说法正确的是( )
A．11×12×…×20可表示为Aeq \\al(11,20)
B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次
C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D．4名老师派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法
[答案] BC
[解析] Aeq \\al(11,20)＝10×11×12×13×…×20，故A错误；5人两两握手，共握Ceq \\al(2,5)＝10(次)，故B正确；在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有Aeq \\al(3,5)＝60(种)，其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有60－1＝59(种)，故C正确；将4人按3,1分派，共Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝8种；将4人按2,2分派，共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6种．故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误．故选BC.
三、填空题
13．(2025·鄂豫皖五十三校联考)已知集合A，B，C均是集合{1,3,5,7,9}的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合{A，B，C}的个数为________.
[答案] 4 060
[解析] 集合A，B，C均是集合{1,3,5,7,9}的非空真子集，则集合A，B，C的总数为25－2＝30.然后从30个中任选3个组成集合即可．则组合数为Ceq \\al(3,30)＝4 060.
14．(2024·浙江名校新高考研究联盟联考)杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有________种．(用数字作答)．
[答案] 140
[解析] 若从只会韩语中选3人，则Ceq \\al(3,4)(Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,1))＝4×20＝80种，若从只会韩语中选2人，则Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(3,5)＝6×10＝60种，故不同的选人方案共有60＋80＝140种．
15．(2024·浙江新阵地教育联盟联考)首个全国生态主题日活动于2023年8月15日在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程，若要求A，B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有________种．(用数字作答)
[答案] 252
[解析] 分两种情况，第一种，A，B议程中只有一项在上午，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝216种选择，第二种，A，B议程都安排在下午，有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝36种选择，综上：不同的安排方案一共有216＋36＝252种选择．
B组能力提升
1．(2025·广东大湾区调研)甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．48种
[答案] D
[解析] 因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有n！种排法，由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有eq \f(n！,n)＝(n－1)！种排法．甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有(5－1)！种坐法，又因为甲、乙2人可换位，有2！种坐法，故所求坐法为(5－1)！×2！＝48种．故选D.
2．(2025·辽宁新高考研究联盟诊断)把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为( )
A．36 B．45
C．72 D．165
[答案] B
[解析] 先在编号为2、3的盒子里分别放入1个、2个小球．只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，在10个空位中任取2个，插入挡板，有Ceq \\al(2,10)＝45种方法，即盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选B.
3．(2023·广东茂名一中模拟)由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为( )
A．42 031 B．42 103
C．42 130 D．42 301
[答案] C
[解析] 由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，1在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；2在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；3在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；4在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数.4在万位0在千位的有Aeq \\al(3,3)＝6(个)；4在万位1在千位的有Aeq \\al(3,3)＝6(个)；4在万位2在千位的有Aeq \\al(3,3)＝6(个)，则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数.4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为：42 013,42 031,42 103,42 130,42 301,42 310则从小到大排列第88个数为42 130.故选C.
4．(多选题)(2024·广东佛山S71联考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为Aeq \\al(4,5)Ceq \\al(1,4)
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3))Aeq \\al(3,3)
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)
[答案] AD
[解析] 每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)种安排方法，B错误；先将5人分为3组，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有Aeq \\al(3,3)种情况，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))Aeq \\al(3,3)种安排方法，C错误；①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)种安排方法，D正确．故选AD.
5．(2024·南京师大苏州实验学校调研)有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法．
[答案] 480
[解析] 先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1,2,3,4号位置，因为甲、乙两人都在丙的同侧，当丙在1号位置有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，当丙在2号位置有Aeq \\al(2,2)＝2种排法，当丙在3号位置有Aeq \\al(2,2)＝2种排法，当丙在4号位置有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，共有16种排法；又因为有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余两个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，有5Ceq \\al(2,4)＝30种排法，所以共有16×30＝480种排法．
C组拓展应用(选作)
(2025·湖南长沙六校联考)十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有________种．(用数字作答)
[答案] 114
[解析] 将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2.人数组合是1,1,3时，共有eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(3,3),A\\al(2,2))×Aeq \\al(3,3)＝60种情况，其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))×Aeq \\al(3,3)＝18种，从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60－18＝42种；人数组合是1,2,2时，共有eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3)C\\al(1,1),A\\al(2,2))×Aeq \\al(3,3)＝90种情况，其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)×Aeq \\al(3,3)＝18种，从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90－18＝72种．所以不同安排方法共有42＋72＝114种．